Z变换和差分方程

1、第三节第三节 差分方程差分方程 对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值刻的输出值 y(k) y(k) 不仅与这一时刻的输入值不仅与这一时刻的输入值 r(k)r(k)有有关，而且与过去时刻的输入值关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)r(k-1)、 r(k-2)r(k-2)有有关，还与过去的输出值关，还与过去的输出值y(k-1)y(k-1)、 y(k-2)y(k-2)有关。可有关。可以把这种关系描述如下：以把这种关系描述如下：)()1()()()1()(101krbmkrbmkrbkyankyankymn差分方程的定义差分方程的定义: :差

2、分方程的物理意义差分方程的物理意义 1.1.差分方程给出了沿时间顺序差分方程给出了沿时间顺序输出量的若输出量的若干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值干个采样瞬时值与输入量在采样瞬时的值的关系。的关系。 2.2.通常，若系统的连续部分是一个通常，若系统的连续部分是一个 n n 阶的阶的线性环节，则构成离散系统时，其相应的线性环节，则构成离散系统时，其相应的差分方程也是差分方程也是 n n 阶的线性差分方程。阶的线性差分方程。 3. 3. 一个一个n n 阶差分方程中，一般包括有阶差分方程中，一般包括有n n 个个过去采样瞬时的输出值。过去采样瞬时的输出值。典型的采样系统典型的采样系统)(sR)(

3、*sE)(sCT)(shG)(sE)(sEhs1统的差分方程。这就是上述采样控制系输出)()() 1(:kTTekTcTkc差分方程的差分方程的 求解方法求解方法)()()1)1(kTrkcTkc（上式可以改写为)0()0()1 () 1 (0TrcTck)0()0()1 ()0()1 () 1 () 1 ()1 ()2(12TrTrTcTTrcTck101)()1()0()1()(kiikkirTTcTkc)()()()()()1(:kckrkekTTekTcTkc由于输出迭代法求解示例迭代法求解示例 例题：若描述某离散系统的差分方程为：例题：若描述某离散系统的差分方程为：)()2(2) 1

4、(3)(kfkykyky),(2,2)1 (,0)0(kkfyyk）（激励)(ky 解：解： 将方程中除将方程中除 y y（k k）以外的各项都移到等号右边，以外的各项都移到等号右边， 得：得： 对于对于 类似的依次迭代可得：类似的依次迭代可得：)()2(2) 1(3)(kfkykyky代入上式，得：将已知初始值2) 1 (, 0)0(, 2yyk2)2()0(2) 1 (3)2(fyyy10)4()2(2)3(3)4(10)3() 1 (2)2(3)3(fyyyfyyy迭代法的迭代法的 特点特点思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程思路清楚，便于编写计算程序，能得到方程 的数值的数值解。解。

5、2. 2. 但不容易得出输出在采样时刻值的通解。但不容易得出输出在采样时刻值的通解。 直接求解差分方程是比较困难直接求解差分方程是比较困难的，因此考虑到：能否借用的，因此考虑到：能否借用类似类似于拉斯变换于拉斯变换的数学方法来简化方的数学方法来简化方程求解？程求解？第四节第四节 Z 变换变换0)()()(nnTtnTftf?0*)()(nSnTsenTfsF?0*)()()(,nnSTZnTftfZzFeZs?zTseZssTln1? 引入变量：引入变量：zTssln1ssTez Z Zf f* *( (t t) ) = F = F( (z z) )F F (z)(z)是采样脉冲序列的是采样脉

6、冲序列的 变换，变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。它只考虑了采样时刻的信号值。Z Z 变换的实质变换的实质n 级数求和法级数求和法 部分分式法部分分式法 留数计算法留数计算法4.2 4.2 Z 变换的方法变换的方法1. 1. 级数求和法级数求和法 将离散函数根据定义展开将离散函数根据定义展开, ,然后逐项进行拉斯然后逐项进行拉斯变换，变换， F *(t) = 0)()(nnTtntf例例 8-1 见教材见教材339339页页 例题例题8 84 41.1.ate 001220111akTkaTaTkaTaTF zeze zezezzezze解：例例 8-2 求求 的的 F(Z)见教材见教材33

7、9339页例题页例题8 84 42 2例例8-3 求解求解 的的 Z 变换变换 。( ) ()aF ss sa 1111( )(1)( )1(1)()ataTaTaTABF sssassaL F stezzzeF zzzezze解：因为而所以2. 2. 部分分式法部分分式法 当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。当连续函数可以表示为指数函数之和时，可以利用这种方法。见教材见教材339339页例题页例题8 84 43 322221()2211111121211222222sin11111( )2 12 1sinsin11 2cosjtj Tj Tj Tj TssjjjjLtsss

8、jsjLesjF zzsjezjezzTzTezezzzTz解：因为所以例例8-4 求求sin)(tZzFniiniTpiRezzpFrestfZzFi11*)()()(TppsiezzsFpsR)()(lim111TpqqqpsiezzsFpsdsdqR)()(lim)!1(111114.2.3 4.2.3 留数计算法留数计算法例例8-4-5tcos)()(22jsjsssssFTjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim1TjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim2例例86ttf)(21)(ssF20220) 1(lim1)0(limzTzezzdsdezzs

9、sdsdRsTssTs2) 1()(zTzzF322) 1() 1()()(zzzTzFttf例例87 下表列出了一些常见函数及其相应的下表列出了一些常见函数及其相应的 Laplace 变换变换 和和 Z 变换，利用此表可以变换，利用此表可以根据给定的函数或其根据给定的函数或其 Laplace 变换直接查变换直接查出其对应的出其对应的 Z变换，不必进行繁琐的计算，变换，不必进行繁琐的计算，这也是实际中广泛应用的方法。这也是实际中广泛应用的方法。)(tf)(sF)(zF)(t)(1 tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22ss11zz2)1(zzT

10、32)1(2)1(zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz常用函数的常用函数的 Z变换变换（见教材（见教材341341页表页表8 84 41 1）1 1、线性定理、线性定理2 2、滞后定理、滞后定理3 3、初值定理、初值定理4 4、终值定理、终值定理5 5、超前定理、超前定理6 6、复数偏移定理、复数偏移定理4.3 Z 4.3 Z 变换的基本定理变换的基本定理（p342p342）1 1、线性定理、线性定理)()()()()(22111zFazFazFazFazFnnniii)()()()()(22111tfatfatfatfatfn

11、nniii2 2、滞后定理、滞后定理)()(zFzkTtfZk原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z z-k-k, ,算子算子z z-k-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k k个周期。个周期。3 3、初值定理、初值定理设函数设函数f(t)f(t)的的Z Z变换为变换为F F（z z），并且），并且 )(lim)0(zffz)(limzFz4 4、终值定理、终值定理 设函数设函数f f(t)(t)的的 Z Z变换为变换为F F（z z），并且（，并且（1-z1-z-1-1）F(z)F

12、(z)在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有在以原点为圆心的单位圆上和圆外均无极点，则有)() 1(lim)(1zFzfzt5 5、超前定理、超前定理设函数设函数f(t)f(t)的的 Z Z变换为变换为0)()(nnznTfzF10)()()(nnnkkznTfzzFzkTtfZ0)1()()0(TkfTff)()(zFzkTtfZk6 6、复数偏移定理、复数偏移定理设函数设函数f(t)f(t)的的Z Z变换为变换为F F（Z Z），则），则)()(aTatzeFetfZn长除法（幂级数展开法）n部分分式法n留数法（反演积分法）4.4 4.4 Z 反变换反变换Z 反变换是反变换是: :

13、已知已知 Z 变换表达变换表达式式 F(Z) f (nT) 的逆过程的逆过程. .)()(1zFZnTf要点：将要点：将F F（Z Z）用长除法变化为降幂排列的展开形式。）用长除法变化为降幂排列的展开形式。022110110110)(nnnnnnmmmzczczccmnazazabzbzbzF4.4.1 4.4.1 长除法（幂级数法）长除法（幂级数法）)()2()()()(210nTtcTtcTtctctfnncnTf)()2)(1(10)(zzzzF2112231102310)(zzzzzzzF4321150703010)(zzzzzF)3(150)2(70)(30)(10)(TtTtTtt

14、tf步骤：步骤：先将变换式写成先将变换式写成zzF)(，展展开开成部分分式，成部分分式， niiizzAzzF1)(查查Z Z变换表变换表两端乘以两端乘以Z ZniiizzzAZF1)(4.4.2 4.4.2 部分分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）)2)(1(10)(zzzzF110210)2)(1(10)(zzzzzzF110210)(zzzzzF) 12(1010210)(*nntfizzncnZZFsdzZZFjnTf)(Re)(21)(11izznZZFs)(Re1函数函数F(z)zF(z)zn-1n-1在极点在极点Z Zi i处的留数处的留数F(z)zF(z

15、)zn-1n-1全部极点的任意封闭曲线全部极点的任意封闭曲线)()()(Re11limnizzzznzzFzzzzFsii)()()!1(1)(Re1111limnqiqqzzzznzzFzzdzdqzzFsii3.3.留数法留数法 （反演积分法）（反演积分法）)2)(1(10)(zzzzF)2)(1(10)(1zzzzzFnn2121zz10)2)(1(10) 1()(Relim1111zzzzzzFsRnzznnnzznzzzzzzFsR210)2)(1(10)2()(Relim22122121121010)(Re)(inzznRRZZFsnTfi2) 1()(zTzzF21) 1()(zTzzzFnn1znTzTzzdzdRnz) 1() 1()!12(12212121limnTRnTf)(用用 Z 变换变换 解解二阶差分方程二阶差分方程 用用 Z Z 变换法求解下列二阶差分方程：变换法求解下列二阶差分方程：1)1(,0)0(0)(2)1(3)2(ccncncnc0)(2)0(3)(3)1()0()(22zCzczzCzcczzCz2123)(2zzzzzzzzCn