几个著名不等式

1、2.2 几个著名不等式2.2.1 著名不等式柯西不等式 对于任意两组实数和有上述不等式只有当时，等号才能成立证明 因为对任意x，有将上式展开得上述二次三项式对任意x均大于等于0，故其判别式不能大于0，所以当判别式等于0时，上述方程有重根，设重根为x=k，则这时所以上述不等式只有当时等号才能成立。如令，则得柯西不等式在高等代数中的意义是：两个向量的数积不大于两个向量长度的乘积若则其中例 若都是正数，求证证明 构造两个实数列则由柯西不等式得即*赫勒德尔不等式 由柯西不等式可得但所以有同理有一般地有现在证明上述不等式对任意不等于2m的正整数也成立（假定所有数列均为正数列）设共k个实数列设共k个再令则

2、有但 所以所以即该不等式对任意不等于2m的整数k也成立上述不等式的证明有些麻烦，不好记，现用反归纳法给出一个简洁的证明由证明知，不等式对无穷多个自然数k=2m成立现在假设不等式对m=k成立（是k个数列）但是左边所以即不等式对m=k-1也成立。由反归纳法知，不等式对任意整数k均成立例 设非负实数满足求证证明 当n=1时，结论显然正确假设命题在n=k时正确，非负实数满足则成立现设为k+1个非负实数，满足要证令，则由归纳假设但是，因为，所以所以证毕如果令这里均为正实数，则得现在证明下面不等式其中均为正有理数，且证明上面的不等式称为赫勒德尔不等式当为正无理数且满足条件时，上述不等式当然也成立，只要根据

3、“每一无理数都有理数的极限”，便可证明最后，再应用“算术平均值大于几何平均值”来证明赫勒德尔不等式对于，得即 于是有所以上式是两个实数列的赫勒德尔不等式对三个实数列情况，即令这时即赫勒德尔不等式对三个实数列也成立同理可得赫勒德尔不等式又四个实数列也成立。令这里则得当时，上式就是柯西不等式由上述不等式可得其中，所以即上述不等式称为明可夫斯基不等式当k=2时，它的几何意义是两个向量和的模小于每个向量模的和 凸函数下面我们给出凸函数定义及其性质定义2.1 如果函数f(x)满足以下条件：对任意x1和x2，有其中，则称f(x)为下凸函数如果函数f(x)满足下面条件，对任意的x1和x2有其中，则称f(x)

4、为上凸函数凸函数的几何意义分别用图和图表示下凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在相应弦的下方，而上凸函数的几何特征是曲线f(x)上的点均在弦的上方显然，当时，即是x1与x2中间的点反之，当x是x1与x2中间的点时，即x1<x< x2，令有，且，有所以闭区间中所有点均为的形式反之，也是区间中的点定理2.1 若f(x)是下凸函数，则下面不等式成立：其中证明 当n=2时，上式即为下凸函数定义，所以定理成立现假设k=n时定理成立当k=n+1时，令这时所以所以定理对k=n+1也成立同理，对上凸函数f(x)也有其中例 由图形知是上凸函数所以令，则有除去对数符号，得如果令，上式的意义即为算术平均值大于几何平均值例 设这时（以后说明为什么下凸函数，所以是下凸函数消去，得除去对数符号，得令，则得即几何平均值大于等于的调和值例 求证圆内接n边形中，以正n边形面积为最大证明 设圆的半径为，内接n边形的面积为，n边形各边所对应的圆心角为则因为都区间是上凸函数所以上式只有在时等号才能成立，也就是说