大学物理力学答案5

1、第5章角动量及其规律习题解答39第5章角动量及其规律习题解答v1RF/m 0.4 10 3/10 2 0.2m/s第五章基本知识小结L力矩力对点的力矩orF力对轴的力矩zk?rF2 .角动量质点对点的角动量Lorp质点对轴的角动量Lzk?rp3 .角动量定理适用于惯性系、质点、质点系质点或质点系对某点的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该点的力矩之和dLo外出质点或质点系对某轴的角动量对时间的变化率等于作用于质点或质点系的外力对该轴的力矩之和dLz出4 .角动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系若作用于质点或质点系的外力对某点的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该点的角动量保持

2、不变若作用于质点或质点系的外力对某轴的力矩之和始终为零，则质点或质点系对该轴的角动量保持不变5 .对质心参考系可直接应用角动量定理及其守恒定律，而不必考虑惯性力矩。5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km,远地点高度d远=2384km,地球半径R地=6370km,求卫星在近地点和远地点的速度之比。1.29力（有心力）的作用，星对地心的角动量守恒解：卫星在绕地球转动过程中，只受地球引力心即为地心，引力对地心的力矩为零，所以卫m月v近（d近+R地）=m月v远（d远+R地）v近/丫远=（d远+R地）/（d近+R地）=（2384+6370）/（439+6370）5.1.2 一

3、个质量为m的质点沿着racost?bsint?的空间曲线运动，其中a、b及3皆为常数。求此质点所受的对原点的力矩。解：vdr/dtasinti?bcost?adv/dta2costi?b2sint?2(acosti?bsint?)2r2FmamrrFm2rr0F (3t2 4t)i? (12t 6)?中运动，其中t是时间。该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时该质点所受的对原点的力矩。解：据质点动量定理的微分形式，Fdt d(mv) dv (m 1)dv (3t2 4t)i? (12t 6)?dtV0 t 2t0 dv ?0(3t2 4t)dt ?0(12t 6)dtv (t3 2t

4、2)? 6(t2 t)?dr vdt (t3 2t2)i? 6(t2 t)?dt rtto dri?。3 2t2)dt 6?0(t2 t)dtr(4t4 ft3)? (2t3 3t2)?r(2)G 24223)i? (2233 22)?3? 4?F(2)(3 2242)? (1226)? 4i?18?(2) r(2) F(2) ( 4? 4?) (4? 18?)? i? ? ? 0,? ? R? ?(2)4 181? 4 4( I?)40k5.1.4地球质量为6.0X 1024kg,地球与太阳相距圆周运动，求地球对于圆轨道中心的角动量。149X 106km,视地球为质点，它绕太阳做解：L mv

5、rm r2 6.0 1024_9 22 (149 10 )365 24 60 606.0 21492365 24 60 60421040 .2 ,2.65 10 kgm /s5.1.5 根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。解：Lrpmrvm(acosti?bsint?)(asinti?bcost?)m(abcos2tl?absin2tk)mabI?5.1.6 根据5.1.3题所给的条件，求质点在t=2时对原点的角动量。解：L(2)r(2)p(2)mr(2)v(2)1(界4n12?16k?5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g小球，沿半

6、径.为40cm的圆周作匀速圆周运动，这，)时从孔下拉绳的力为10-3N。如果继续1IIIifj向下拉绳，而使小球沿半径为10cm口的圆周作匀速圆周运动，这时小球的F速率是多少？拉力所做的功是多少？解：设小球的质量为m=10x10-3kg,原来的运动半径为R1=40cm,运动速率为v1；后来的运动半径为R2=10cm,运动速率为v.先求小球原来的速率v1：据牛顿第二定律，F=mv12/R,所以，第5章角动量及其规律习题解答第5章角动量及其规律习题解答40m viRi=m v2R2,由于各力对过小孔的竖直轴的力矩为零，所以小球对该轴的角动量守恒,v2=viRi/R2=0.2X0.4/0.1=0.8

7、m/s在由Ri-R2的过程中，只有拉力F做功，据动能定理，有d2,2,22,Af12mv22mv12m(v2v1)1m(v2v1)(v2v1)i102(0.80.2)(0.80.2)3103J5.1.8 一个质量为m的质点在o-xy平面内运动，其位置矢量为racosti?bsint?,其中a、b和a是正常数，试以运动学和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。证明：vdr/dtasint?bcost?adv/dta2cost?b2sint?2rt?)显然与时间t无关，是运动学观点：Lrmv(acost?bsint?)m(asint?bcosi?i?0,i?(?)?Lmabcos2t?mab

8、sin2tk?mabI?个守恒量。动力学观点：r F r ma r m(2r)m 2r r 0,，该质点角动量守恒。5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固 定点A相连。弹性绳的劲度系数为8 N/m,其自由伸展长度为600mm.最初小球的位置及速度且等于800mm,求此时的速率vo如图所示。当小球的速率变为v时，它与A点的距离最大,v及初速率vo.解：设小球B的质量m=0.2kg,原来与固定点离r=0.8m,弹性绳自由伸展的长度为d=0.6m.A的距离ro=0.4m,当速率为v时，与A点距当。=。1时v1Jgl1/cossin 1 29.8 4/<3 2.38m/sB

9、上的力对过A点轴的力矩之和始终为零,小球B的速率由v°-v的过程中，作用在小球因而小球对A点的角动量守恒，有romvosin30o=rmv(最大距离时，rv)(1)另外，在此过程中，只有保守内力(绳的弹力)做功，因而能量守恒,1mv0212k(rd)2mv2(2)为求解方便，将化简，并代入已知数据可得：22vo4v(1)'vo1.6v(2)'解此方程组，求得：vo=1.3m/sv=0.33m/s5.1.10一条不可伸长的细绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动。最初l1=2m,01=30。，后来继续向下拉绳使小球以。2=60

10、。沿水平圆周运动。求小球最初的速度71,最后的速度v2以及绳对小球做的总功。解：隔离小球，受力情况如图示,应用牛顿第二定律，有：_2Fsinmv/lsin(1)Fcosmg(2)2(1)/(2)得色卅jv.gl/cossin(3)第5章角动量及其规律习题解答第5章角动量及其规律习题解答4222当”92时,V222gl212篝(4)由于作用质点上的力对管轴的力矩始终等于零，角动量守恒：mvilisin1mvzLsin2V2端"2%，将(4)式和三角函数值代入，可求得：V23券1329.822.383.43m/s22.3.将v2代入(4)中，可求得l2=0.8m,根据质点动能定理：1 ,

11、22、AFEkEp1m(v2v1)mg(11cos112cos2)10.5103(3.4322.382)0.5103(2号0.84)0.0806J1.2.2 理想滑轮悬挂两质量为m的祛码盘。用轻线拴住轻弹簧两端使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放在一祛码盘上，弹簧上端放一质量为m的祛码。另一祛码盘上也放置质量为m的祛码，使两盘静止。燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与祛码脱离。求祛码升起的高度，已知弹簧劲度系数为k,被压缩的长度为解：设滑轮半径为R,弹簧释放后，弹簧上边的祛码获得的速度为v,方向向上，左边祛码盘获得的速度为v',方向向下，显然右边祛码盘及祛码获得的速度大小也是v',

12、但方向向上（如图示）。v把左盘、左盘上的祛码和右盘及盘中祛码视为一个质点系，作为研究对象。在弹簧释放过程中，作用于质点系的外力对滑轮轴的力矩之和始终为零，故质点系对滑轮轴的角动量守恒，规定垂直纸面向外的角动量为正，则有：-mvR+mv'R+2mv'R=0,即v=3v'另外，在此过程中，只有弹簧的弹力和重力做功，因而质点系能量守恒，忽略重力势能的微小变化，则有：4kl0212mv22(3m)v'2,即mv23mV2kl02(2)左盘中的祛码脱离弹簧获得速度v后做竖直上抛运动，达到最大高度h时速度为零，据能量守恒，gmv2mghhv2/2g（3）由可求得v2=3kl

13、02/4m,代入中得：h=3kl02/8mg1.2.3 两个滑冰运动员的质量各为70kg,以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m,当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。在抓住绳索一端之前，各自对绳索中心的角动量是多少？抓住之后是多少？它们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？绳长为5m时，绳内张力多大？二人在收拢绳索时，各自做了多少功总动能如何变化？解：设每个运动员的质量为m=70kg,收mv绳前相对绳中心。的距离为d=d1=5m,速率dd为v=v1=6.5m/s；当把绳收拢为d=d2=2.5m时，于oJ_Ju,-速率v=v2.d对绳中心。点的角动量各为vmL=mv1d1=70X6.5X5=2275kgm2/s（抓住绳索前后角动量相同）把两个运动员视为一个质点系，在收绳过程中，质点