特殊四边形和锐角三角函数 首师大版

1、特殊四边形和锐角三角函数一. 本周教学内容：特殊四边形和锐角三角函数 二. 重点、难点：特殊四边形 在四边形中，平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形称为特殊四边形。这些图形本身都有相应的性质及判定定理，即与它们的边、角、对角线有关的性质，及利用这些性质判断是什么特殊图形。同学们要掌握特殊图形的判定及性质，同时要掌握研究特殊四边形的方法。锐角三角函数 了解锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数实质上就是线段比的意义，并会用锐角三角函数解决一些简单问题。熟练运用特殊角三角函数求值，会运用互余角及同角三角函数关系进行适当的变形与解决一些计算问题。体会锐角三角函数的增减性，并会用它们解决一些简单的问

2、题。【例题分析】特殊四边形 例1. 如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分BAD、BCD，且分别交DC、BA延长线于E、F，求证：四边形AECF是平行四边形。 分析：要证四边形是平行四边形，就要利用判定定理，只是需要判断用哪个定理更好些。根据已知条件可知AB/DC，因此只要能确定AFCE或能证明FC/AE即可。由条件可知AE、CF分别是BAD与BCD的平分线，而由已知四边形ABCD是平行四边形，则BADBCD，则易证FC/AE。 证法一：在平行四边形ABCD中，AB/DC，BADBCD 证法二：在平行四边形ABCD中，BD，BADBCD，BCAD，ABDC 例2. 如图，ABC中，AC

3、B90，CDAB于D，BE平分ABC，BE、CD交于F点，过F点作FG/CA交AB于G，求证：FE、CG互相垂直平分。 分析：所证结论是两条线之间的一种位置关系，即两条线之间相互垂直平分。这时要考虑哪些知识可以提供相互垂直平分的结论呢？从我们所学的知识中菱形与正方形都有对角线互相垂直平分的性质，因此可以考虑证明四边形GFCE是菱形，如果我们换个角度想问题，根据已知条件可知BE是角平分线，若有BE垂直平分GC的话，则GBC是等腰三角形，同理若能证ECF也是等腰三角形时也有CG垂直平分EF。 证法一：连结GE 证法二：由证法一可知CECF 例3. 如图，正方形ABCD中，E、F是BC、CD上的点，

4、且EFBEDF，求证：EAF45。分析：要证明EAF45，因BAD90，所以只需要能证明EAF45直接与这两个条件相关。如何利用正方形的条件及如何利用EFBEFD是关键。由求证中EAF45中发现EAF所对的边就是EF，这样就形成BE与FD所对的角之和也应为45，因此我们可以猜想能否把BE或FD所对的角移动位置，重新拼接出BEFD所对的角，只需证明这个角为45即可。 证明：延长CB到M使BMDF，连接AM 例4. 如图中，梯形ABCD，AD/BC，ABDC，且ACBD，若它的面积为a2，求梯形的高h。 分析：欲求梯形高h，因已知梯形的面积，所以必须确定梯形的上、下底或上、下底之和的值，这时就要考

5、虑已知条件中的ABDC及ACBD所起的作用。由于梯形的两腰ABDC，故可以确定对角线ACDB。因对角线既相等又相互垂直，怎样利用这个条件呢？如果我们能把其中一条对角线移动位置，使它们转化为等腰直角三角形的问题就相对好用些，从而可以使问题转化为三角形的面积问题，利用底乘高的问题，可确定梯形高与上、下底的关系。 解法一：过D点作DE/AC交BC延长线于E点，过D点作DFBC于F点 解法二：设AC、DB交于O点，过O点作NMBC于M交AD于N点 锐角三角函数 例1. 分析：欲求cotB的值，同时需要确定B的大小或a比b的值，已知中给出，所以问题的关键就是如何把条件转化为求B或求a与b的比值，因已知中

6、涉及的是A的正弦的倒数与A的正切的倒数和，这时同角三角函数关系不好直接用。因为同角三角函数关系涉及的是正弦与余弦或者正切与余切的关系，所以只能运用它们的各自的定义转化为边关系，再结合勾股定理可解。 解： 例2. 比较下列各式的大小。 分析：由于同名函数比较大小较容易，所以我们给出了一组不同名函数的比较大小问题，不同名三角函数如何比较大小呢？它的关键是什么？如果我们能借助同角三角函数关系把不同名的三角函数转化为同名三角函数即可比较大小，但是这一般适用于正弦与余弦，正切与余切之间的比较大小，由于此例都是不同于这类问题的，因此要考虑选择方法。由于三角函数是边的比，故可利用两个比值比较大小；或者利用同名三角函数的增减性，用放大或缩小的方法比较大小；在所学的锐角三角函数中，因 解：（1）用定义比较大小。 例3. 分析：要化简根式，从形式上看二次根式中的被开方数应具有完全平方的形式，因已知中没有这种形式，所以问题的关键就在于使被开方数化为完全平方的形式，由于有整数1，我们可以理解为sin270cos270，但因2sin70sin20中不具备cos70的形式，不能凑出完