专题12 高考常见应用题（原卷版）.docx

1、专题12高考常见应用题:专题点拨求解简单的应用性问题，可直接应用有关知识解题；用数学解决一些复杂的实际问题, 除了掌握必要的数学基础知识外，还必须注重对以下能力的锻炼与培养.1 .阅读理解能力.首先能层次分明地阅读并理解数学语言表述的实际问题的详尽含义； 其次能用准确的数学语言将题目的已知与求解翻译出来，并注意它的清晰性与完整性.2. 数学的迁移能力.即建立数学模型的能力.能从阅读中抽象出解决问题的数或形， 并判断用哪些数学知识予以解决，将之转化为纯数学问题.3. 解决纯数学问题的能力.能经过综合分析，应用数学的基础知识和基本方法，完整 解答所建立的数学模型.4. 常识能力.平时应关注生活中的

2、点滴常识，对由数学模型解决的结果，进行检验、 判断、修正，得到符合实际的解答.5. 表达能力.解一道主观应用题，就像是写一篇小论文，要做到论点明确，论据确凿， 论证有力，有始有终，能自圆其说.特别注意在表述过程中，用简明的汉语与数学语言的互 补，使语句流畅、自然而清晰.解决复杂的应用题是一件难事，但又无可回避，只有通过不断地体验反思才能达到能力的培养与提高.解答应用题一般分为四个步骤:1. 阅读理解:2. 建立模型:3. 求解模型:4. 还原实际:分析背景材料, 联想数学问题, 运用思想方法, 审视实际问题,分清条件结论, 运用数学语言, 使用知识技能, 验证运算结果,把握数量关系; 建立数学

3、模型; 求得数学结果; 表述最后结论.简单归结为：审题、化成数学问题、建立数学模型、进行推理运算、检验、作答."例题剖析r馈叫心口叫刀一、函数型应用性问题【例1】(2021-黄浦区校级三模)“弗格指数f = log,"是用来衡量地区内居民收益差x-b距的一个经济指标，其中人是该地区的最低保障收入系数，。是该地区收入中位系数，尤是该地区收入均值系数，经换算后，。、b、x都是大于1的实数，当/e(l,2)时，该地区收入均衡性最为稳定.2. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯(射灯的光锥为圆锥)在广告牌上投影出其标识，如图1所示，

4、图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点。、A、B在抛物线上，0C是抛物线的对称轴，于C, AB=3米，。=4.5米(1)求抛物线的焦点到准线的距离(2)在图3中，已知0C平行于圆锥的母线SD, AB. £旧是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小(精确到0.01° )图1图2图33. （2021-徐汇区二模）元宵节是中国的传统节日之一,要将一个上底为正方形ABCD的长 方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C两点距离）的绳子两头分别拴住A、C； B、 。，再用一根绳子OP与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图

5、.花 灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设/PAC2,所有绳子总长 为y米（打结处的绳长忽略不计）（1）将y表示成。的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长（精确到0.01米）4. （2021-浦东新区二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250 万元，每产出尤吨需另外投入可变成本/z（x）万元，已知ax1 + 49x,尤 e （0,5013635-通过市场分析，该中药材可以每吨50万元的价格全51x +860,xg （50,1002x + l部售完，设基地种植该中药材年利润为y万元，当基地产出该中药材40吨时，年利润为1

6、90 万元.（1）求。的值；（2）求年利润y的最大值（精确到0.1万元），并求此时的年产量（精确到0.1吨）.5. (2021-嘉定区三模)数学建模小组检测到相距3米的A,户两光源的强度分别为。，b, 异于A, 8的线段仙上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设AC = x 米.(1) 假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为 常数k(k>0),测得数据：当工=1时，y = k；当工=2时，y = 3k,求A, 8两处的光强4度，并写出函数y = f(x)的解析式；(2) 假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为

7、常数 k(k>0),测得数据：当工=1时，y = %；当x = 2时，y = 2k,问何处的光强度最弱？并 求最弱处的光强度.6. （2021-青浦区三模）某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时 段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y h（单位：摄氏度）与时间，（单位：小时）隹0, 20近似地满足函数关系=1 131+, r + 2其中人为大棚内一天中保温时段的通风量.（1）当如13时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段 的最低温度（精确到0.1°C）；（2）若要保持一天中保温时段

8、的最低温度不小于17°C,求大棚一天中保温时段通风量的最 小值.7. （2021-青浦区二模）由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生 产企业A公司扩大生产提供x（xe0J0）（万元）的专项补贴，并以每套80元的价格收购其 生产的全部防护服：A公司在收到政府尤（万元）补贴后，防护服产量将增如到t = k（6-）（万件），其中k为工厂工人的复工率（Z:e 0.5,1）； A公司生产，万件防护 x + 4服还需投入成本（20 + 9x + 50r）（万元）.（1）将A公司生产防护服的利润y （万元）表示为补贴尤（万元）的函数（政府补贴尤万 元计入公司收入）；（2）对任意

9、的xc0, 10（万元），当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？（精 确到0.01）8. 某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第个月从事旅游服 务工作的人数/(h)可近似地用函数f 3) =Acos (wn+Q) +R来刻画，其中正整数表 示月份且12,例如=1表示1月份，A和k是正整数，w>0, 9G (0, Ti).统 计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： 每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同； 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人； 2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后

10、逐月递增直到8月份达到最多.(1) 试根据已知信息，求f(7?)的表达式；(2) 一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一 年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季” ？请说明理由.9. （2021-徐汇区校级三模）如图，某机械厂要将长6力，宽2m的长方形铁皮ABCD进行剪 裁，已知点F为AD的中点，点E在边BC上，剪裁时先将四边形CDFE沿直线£F翻折到 MNFE处（点、C、。分别落在直线下方点M、N处，F7V交边于点P）再沿直线所 剪裁，若设ZEFP = 0 .（1）试用。表示所的长，并求出。的取值范围；（2）若使剪裁得

11、到的四边形面积最大，请给出剪裁方案，并说明理由.10. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能活得25万元1600万元的投资收益, 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 > (单位：万元)随投资收益了(单位： 万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(即：设 奖励方案函数模型为y=fCx)时，则公司对函数模型的基本要求是：当对25, 1600时，(%)是增函数；(x) W75恒成立；(3) /(%) < I恒成立.)(1) 判断函数f(x)=寿+10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；(2) 己知函数g(x) = aM-5(

12、Q2 1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数。的取值范 围-（1）指出函数g（x）=/=iogm的定义域与单调性（不用证明），并说明其实际意义，经x-b测算，某地区的“弗格指数”为0.89,收入均值系数为3.15,收入中位系数为2.17，则该地区的最低保障收入系数为多少（精确到0.01） ?（2）要使该地区收入均衡性最为稳定，求该地区收入均值系数的取值范围（用a、b表示）.二、三角函数型应用性问题【例2】（2021-浦东新区校级三模）某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图1所示（单位：cm）,将其中一个斜截园柱的侧面沿明

13、剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线A.BCDA,是jrjr函数/(x) = Mcos(x) + M(融 一)的图象，其中M >0, 口>0,如图2所示. co co(1)若& = 5, /? = 13, a - 45° ,求 j = f(x)的解析式;（2）已知函数 = f（x）的图象与x轴围成区域的面积可由公式S = M计算，若制作该种 co类弯管的一节圆管所用材料面积（即斜截圆柱的侧面积）等于与之底面相同且高为QCm的圆柱的面积，求。的值（结果精确到0.01°）.【变式训练1（2021-宝山区校级模拟）第十届中国花博会于2021年5月21日在崇

14、明举办， 其标志建筑世纪馆以“蝶恋花”为设计理念，拥有全国跨度最大的自由曲面混凝土壳体， 屋顶跨度280米，屋面板只有250毫米，相当于一张2米长的桌子，其桌面板的厚度不到2 毫米.图1为馆建成后的世纪馆图：图2是建设中的世纪馆；图3是场馆的简化（图1）（图2）（图3）图.如（图3）是由两个半圆及中间的阴影区域构成的一个轴对称图形，AN/PPIIOOTIBB', 其中AX = 280米；圆心距0。' = 160米：半径R = 75米：椭圆中心P与圆心O的距离PO = 40 米，C、C'为直线辨'与半圆的交点，ZCOB = 60°.（1）设a = ZAA

15、B,并计算sina的值；（2）计算NG9P的大小（精确到1。）.三、数列型应用性问题【例3】(2021-浦东新区三模)流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去 年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者 比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制， 从11月k +1(W 29/uN*)日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人.(1) 若k=9,求11月1日至11月10日新感染者总人数；(2) 若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日， 该市新感染者人数最多？并

16、求这一天的新感染者人数.四、解析几何型应用性问题【例4】某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意 图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、。是南北方向主干道边两个 景点，四个景点距离城市中心。均为5V2/cm,线路AB段上的任意一点到景点N的距离 比到景点M的距离都多10km,线路段上的任意一点到。的距离都相等，线路C。段 上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10如2,以。为原点建立平面直角 坐标系xOy.(1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程； (2)规划中的线路段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G的位置?五、立

17、体几何型应用性问题【例5某加油站拟建造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位为米），其中储油罐 的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，/=2r+l （/为圆柱的高，,为球的半径，IN2）.假 设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为1千元， 半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y千元.（1）写出y关于,的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）若预算为8万元，求所能建造的储油罐中尸的最大值（精确到0.1）,并求此时储油罐 的体积V （单位：立方米，精确到0.1立方米）.【变式训练】某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆 柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去， 剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24ncm,高为30cm,圆锥的母线长为 20cm.（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1cm3）；（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？甲固训