人教版选修21直线与圆锥曲线讲义

1、案例（二）-精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系根据曲线和方程的理论,如果直线和椭圆有交点,那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程,否则就不满足,因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系,也就是:设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y得关于x的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a0),>0,直线与椭圆有两个交点,直线与椭圆相交；=0时,直线与椭圆有个公共点,直线与椭圆相切；<0时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆

2、相离.在直线与椭圆相交的问题中,两公共点之间的距离,也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),直线方程为y=kx+m(k0）则|AB|=|x1-x2|或者|AB|=|y1-y2|；当k=0时直线平行于x轴,|AB|=|x1-x2|.(2)直线与双曲线的位置关根据曲线和方程的理论,如果直线和双曲线有交点,那么交点坐标就应该to同时满足直线和双曲线的方程,否则就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系,也就是:设直线方程y=k

3、x+m,若直线与双曲线方程联立,消去y得关于x的一元二次方程:ax2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时,直线与双曲线有一个交点,直线与渐近线平行;当二次项前面的系数不为零时,>0,直线与双曲线有两个交点,直线与双曲线相交;=0时,直线与双曲线有一个公共点,直线与双曲线相切;<0时,直线与双曲线没有公共点,直线与双曲线相离.在直线与双曲线相交的问题中,两公共点之间的距离,也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.直线和双曲线的位置关系的判别比较复杂,需要耐心细致地处理,主要原因在于双曲线不是封闭的曲线. (3)直线与抛物线的位置关系的处理 在处理直线与抛物线的交点问题

4、,特别是抛物线的弦的问题时,往往采取设而不求的方法,以及直线方程和抛物线方程联立方程组,借助根与系数关系来解,可达到化繁为简的目的.这里要注意:当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样,它们都是不封闭曲线,因此在处理直线和抛物线的问题时,要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式. 另外,前面所提的弦长公式仍然适用. 利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村. 知识点二 直线与圆锥曲线位置关系的三种题型. (1)直线与圆锥曲线的交点问题 常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方

5、法中,要注意二次项前面系数是0的情况,在几何方法中,要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件. (2)与弦的中点有关的问题 常用方法是韦达定理和点差法. (3)弦长问题 求弦长的方法:公式法；如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式. 典型例题分析 题型1 直线与圆锥曲线的交点问题 【例1】直线1:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l与C有:(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点. 解析 讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,一般都将两个方程联立. 答案 将l和C的方程联立 消去y得k2x2+(2k-4)x+1=0. 当k=0时,方程只有一个解x

6、=,此时y=1. 直线l与C只有一个公共点(，1),此时直线l平行于抛物线的对称轴. 当k0时,方程是一个一元二次方程, =(2k-4)2-4k2=-16k+16=-16(k-1).(1) 当>0,即k<1,且k0时,l与C有两个公共点,此时称直线1与C相交(2) 当=0,即k=1时,与C有一个公共点,此时称直线l与C相切；(3) 当<0,即k>1时,与C没有公共点,此时称直线l与C相离.综上所述,当k=0,或k=1时,与C有一个公共点；当k<1时,与C有两个公共点；当k>1时,与C没有公共点.规律总结 (1)直线与抛物线相切,则直线与抛物线只有个公共点.反

7、过来,直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线不一定是相切的； (2)解析中方程的二次项系数带有字母,不可忽视对字母k的讨论. 【变式训练1】直线l:ax+by-3a=0与双曲线=1只有一个公共点,则l共有 条,它们的方程是 . 答案 (1)当b=0时,l:x=3,=1, y=0,此时,l与双曲线只有一个公共点. (2)当b0时, 得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(9a2+4b2)=0. a.若462-9a2=0,即=±时,只有一个公共点,此时l:y=±(3-x),即2x+3y-6=0.b.4b2-9a20,即±时,二次方程=542a4+36(4b2-9

8、a2)(4b2+9a2)=36(81a4+16b4-81a4)=36×16b4>0,此时直线l与双曲线必有两个交点. 综上所述,共有3条,其方程为x3=0或2x+3y-6=0. 题型2 弦长问题 【例2】 已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(mR)截得的弦长为6,求抛物线的标准方程. 解析 直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用. 答案 由得x2-2(4+m)x+16=0, 弦长=2.由2=6,得m=1或m=-9,经检验,m=1或m=-9均符合题意.所求抛物线标

9、准方程为y2=2x或y2=-18x. 规律总结 由于mR,故m的几何意又发生了变化,此时,|m|才表示焦点到准线的距离. 【变式训练2】 椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1相交于A、B两点,若|AB|=2,且AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为,求实数a、b的值.答案 设椭圆与直线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则由可得(a+b)x2-2bx+b-1=0.所以x1+x2=,x1+x2=,所|AB|=·|x1-x1|=·=2,得(a+b)2=a+b-ab.又因为kx=-1=,所以a=b .把代人,得b=,a=.题型3 中点弦问题【例3】设A、B是双曲线x2-=1

10、上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点.(1) 求直线AB的方程.(2) 如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、D四点是否共圆?为什么? 解析 涉及直线截圆锥曲线所得弦长及弦的中点的有关问题,常常要运用根与系数的关系. 答案 (1)显然,AB与x轴不垂直,设其斜率为k,其方程为y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理得 (2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由根与系数的关系及N是AB的中点,知=2. 解得 k=1. 因此,直线AB的方程为y=x+1. (2)线段AB的垂直平分线的方程为

11、 y=-x+3,代入双曲线方程,得 x2+6x-11=0. 设C、D两点坐标分别为(x3,y3)、(x4,y4),由根与系数的关系,得x3+x4=-6,x3x4=-11. |x3-x4|=4, 据弦长公式得 |CD|=|x3-x4|=4.又设CD中点为M,求得M点的坐标为(-3,6)点A(-1,0)到点M的距离|MA|=2.由于C、D是线段AB垂直平分线上的两点,点B到点M的距离等于点A到点M的距离. 这样点A、B、C、D到点M的距离均等于210,因此四点共圆 规律总结 本题考查了直线、圆、双曲线的有关内容,是综合性较强的一个题目；证明四点共圆时,要充分利用CD是直径这一隐含条件. 【变式训练

12、3】 直线l:6x-5y-28=0交椭圆=1(a>b>2)于B、C两点,A(0,b)是椭圆的一个顶点,且ABC重心与椭圆的右焦点F重合,求椭圆的方程. 答案 设B(x1,y1),C(x2,y2),设BC的中点D(x0,y0),F(c,0),A(0,b),可利用|AF|:|FD|=2:1,结合定比分点公式求得x0=c,y0=-.由于点D在BC的直线上,则18c+5b-56=0,将B、C两点坐标代入椭圆方程并作差:=0,KAB·-,2a2=5bc. 由于b2+c2=a2 ,由可得:41c2-194c+224=0,c=2或c=.a>b>2,c=2,从而b=4,a2=

13、20,椭圆方程为:=1题型4 最值及参数范围问题【例4】在直线l:x+y-4=0上任取一点M,过M且以椭圆=1的焦点为焦点作椭圆,问M点在何处,所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆的方程. 解析 椭圆的长轴的长的2倍即为椭圆上点到两焦点距离的和,这样,求过直线l上点M所作长轴最短的椭圆,即转化为求直线l上一点,使这点到两焦点F1、F2的距离之和最小. 答案 a2=16,b2=12, c2=a2-b2=4. 故已知椭圆=1的两焦点F1(-2,0),F2(2,0),过F2向引垂直线l:y=x-2,求出F2关于l的对称点F´2,则F2的坐标(4,2)(如右图),直线F1F2的方程为x-3y+2=

14、0.解得M即为所求的点.此时,|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MF2|=|F1F2|=2.设所求椭圆方程为=1,a=,c=2,b2=a2-c2=10-4=6，所求椭圆方程为=1规律总结 本题的实际几何意义是:待求椭圆与已知直线l相切时，长轴最短.【变式训练4】从椭圆=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM,若Q为椭圆上任一点,F2是右焦点,求F1QF2的最大值. 解析 利用OMAB,得a,b,c的关系,由cosF1QF2的取值范围确定F1QF2的最大值. 答案 如右图,点M的坐标为(-c,), 因为OMA

15、B,所以kCM=kAB, -,即b=c,a=c. 设|QF1|=m,|QF2|=n, F1QF2=由余弦定理,得cos=-1=-1=0.当|QF1|=|QF2|时,等号成立.0cos1.的最大值为,即F1QF2的最大值为.【例5】已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)直线y=kx+m(k0,m0)与该双曲线交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围. 解析 (1)依条件建立ab的关系,求a2,b2； (2)利用直线与圆锥曲线有交点的条件,结合韦达定理作转化.

16、答案 (1)由题设,得解得a2=3,b2=1， 双曲线的方程为-y2=1. (2)把直线方程y=kx+m代入双曲线方程,并整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. 因为直线与双曲线交于不同两点, 所以即k2,且m2+1-3k2>0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=, y1+y2=k(x1+x2)+2m=, 设CD中点为P(x0,y0), 其中则 依题意,APCD,kAP=-,整理得3k2=4m+1. 将式代入式得m2-4m>0, m>4,或m<0,k2,3k21, 4m+11,即m0. 又3k2=4m+1>0,即m>=-,

17、m的取值范围为m>4,或-4<m<0. 规律总结 (1)应熟练掌握研究直线与圆锥曲线相交问题的一般方法； (2)第(2)小题中注意将点C、D都在以A为圆心的同一圆上的条件转化为APCD,进而转化为斜率关系,同时掌握设点不求点的处理技巧. 【变式训练5】已知椭圆的两个焦点为F1(0,-2),F2(0,2),离心率e=. (1)求椭圆方程; (2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN中点的横坐标为-,求直线l倾斜角的取值范围. 答案(1)c=2,a=3,c=2, b2=1. 椭圆方程为+x2=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),且MN中点

18、为P(-,y0),kMN=k(k0),则+x=1,+x=1.相减,得+(x1-x2)(x1+x2)=0.,y0=.由于点(-,)在椭圆+x2=1内部,<1,k2>3,k>或k<-.直线l倾斜角的取值范围是.规律 方法 总结(1) 直线与圆锥曲线的位置关系问题可消元构造一元二次方程,利用判别式来解决,并应注意讨论,不要漏项,也可利用图形的性质来解决. (2)涉及圆锥曲线的弦长,一般用弦长公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|,弦过焦点时,也可用定义或焦点弦来解决.(2) 解决弦的中点问题常用方法:一是用韦达定理及中点坐标公式的构造.二是利用端点在曲线上,坐标满足方程

19、,作差构造出中点坐标和直线的斜率. (4)设而不求的方法,是直线与圆锥曲线位置关系的常用方法. (5)有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般采用假设反证法”或“假设验证法”,同时要注意直线与圆锥曲线的交点是否存在,即判断与0的关系.定时 巩固 检测第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础训练1. 过点A(-p,p)作直线l与抛物线y2=2px仅有一个公共点的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.不能确定 【答案】 C(点拨:注意有一条直线与抛物线的对称轴平行.)2. 直线l:y=k(x-)与曲线x2-y2=1(x>0)相交于A、B两点,则直线l的倾斜角范围是 （ ） A.0

20、,) B.(,)(,) C.0,)(,) D.(,) 【答案】 D(点拨:当直线l与x轴垂直时符合题意；另外,直线l的斜率必须满足k>1或k1<-1)3. 直线y=kx+1与椭圆=1恒有公共点,且椭圆焦点在x轴上,则m的取值范围是 . 【答案】1m<5(点拨:直线y=kx+1过定点(0,1),该点应在椭圆的内部(含短轴的端点).)4. 直线x+y=1与椭圆mx2+ny2=1相交于A、B两点,过A、B中点和坐标原点的直线的斜率为,则的值为 . 【答案】(点拨:利用点差法处理.) 能力提升5. 设直线y=k(x+3)与抛物线y=ax2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则

21、的值是 （ ） A.- B. C.-3 D.不能确定与k的值有关 【答案】 A(点拨:将直线的方程代入抛物线方程中,利用韦达定理解决.)6. 已知双曲线方程=1,.是否存在直线l,使N(1,)为l被双曲线所截弦的中点.若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由. 【答案】 假设过N的直线交双曲线于A(x1,y1)，B(x2,y2),则作差得=0，所以kAB=1,l为:y=x-，但由得:2x2-4x+9=0,<0,所以无实根,因此直线l与双曲线无交点,这一矛盾说明满足条件的直线l不存在.7.已知直线y=-x+1与椭圆=1(a>b>0)相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线

22、l:x-2y=0上. (1)求此椭圆的离心率； (2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2+y2=4上,求此椭圆的方程. 【答案】 (1)设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由得:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0根据韦达定理,得x1+x2=,y1+y2=-(x1+x2)+2=,线段AB的中点坐标为.由已知得=0,a2-2b2=2(a2-c2),a2=2c2,故椭圆的离心率为=.(2)由(1)知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线l:x-2y=0的对称点为(x0,y0),则=-1且-2×=0,解得x0=b且y

23、0由已知得x+y=4,=4,b2=4,故所求的椭圆方程为=1.8. 若抛物线y=x2上存在两点P,Q关于直线y=m(x-3)对称,求实数m的取值范围. 【答案】 如右图,设P(x1,x),Q(x2,x),过这两点的直线的斜率为k=x1+x2=-,线段PQ的中点坐标x中=+2=-.又由y=m(x3)y中=m（-3)=-m(+3),由于中点总在抛物线之内部,-m(+3)>(-)2(横坐标为-的抛物线上的点的纵坐标),从而有12m3+2m2+1<0,即m<-. 第2课时直线与圆锥曲线位置关系的应用基础训练1.直线y=x+b(b为参数)被椭圆+y2=1截得的弦长的最值是 （ ） A.

24、2 B. C. D. 【答案】 C(点拨:设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得5x2+8bx+4b2-4=0,x1+x2=-,x1x2=,|AB|=,所以所求最大值为.)2.过原点的直线与椭圆=1(a>b>0)相交于A、B两点,若F(-c,0)是椭圆的左焦点,则FAB的最大面积是（ ）A.bc B.ab C.ac D.b2 【答案】 A(点拨:SFAB=c|yA-yB|,因为|yA-yB|max=2b,所以SFAB的最大值为·c·2b=bc.)3.设P(8,1)平分双曲线x2-4y2=4的一条弦,则这条弦所在的直线方程是 . 【答案

25、】 2x-y-15=0(点拨:设弦所在直线的方程为y-1=k(x-8),由消去y得(1-4k2)x2-8(1-8k)kx-4(1-8k)2-4=0,由x1+x2=16得k=2,所以所求直线的方程为2x-y-15=0.)4.抛物线x2=y上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线l:y=x+m对称,若x1x2=-,则m= . 【答案】 设AB中点M(x0,y0),点M在l上,kAB=-1,(x2+x1)(x2-x1)=(y2-y1)2x0=(-1),x0=-y0=-+m,又y0=x+x=(x1+x2)2-2x1x2=m=.能力提升5.直线y=x+3与曲线=1A.没有交点 B.只有一个交点C. 有两个交点 D.有三个交点【答案】 D(点拨:曲线=1的图象是双曲线的y轴右侧部分和椭圆在y轴的左侧部分.)6.椭圆+=1,(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P、Q且OPOQ(O为坐标原点),求证:+等于定值.【答案】由消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,有两个交点,>0,即4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0,即b2(a2+b2-1)>0,b0,a2+b2>1设P(x1,y1),Q（x2,y2),则x1+x2=,x1x2=，由OPOQ得x1x