第一章晶体结构

1、一一. . 固体物理学的研究对象固体物理学的研究对象 固体物理固体物理研究固体及其组成研究固体及其组成粒子粒子( (原子、离子、电子原子、离子、电子) )之间之间相互作用相互作用与与运动规律运动规律以以阐明阐明其其性能性能与与用途用途的学科。的学科。物质物质: 粒子组成的物质、场粒子组成的物质、场形态形态: 气体、液体、气体、液体、固体固体 （等离子体）（等离子体）(组成固体的原子在组成固体的原子在微米量级微米量级以上排列是有序的以上排列是有序的 （称为（称为晶体晶体单晶：原子、分子在整个固体中排列单晶：原子、分子在整个固体中排列有序。有序。多晶：原子、分子在多晶：原子、分子在微米量级微米量级

2、范围内排范围内排列有序，整个晶体是由这些排列有序的列有序，整个晶体是由这些排列有序的晶粒随机堆砌而成的。晶粒随机堆砌而成的。u晶体（单晶）具有三个宏观特征：晶体（单晶）具有三个宏观特征：1、有规则的几何外形、有规则的几何外形, 晶体是一个凸多面体晶体是一个凸多面体 晶面：构成晶体的表面晶面：构成晶体的表面 晶棱：晶面与晶面的交线晶棱：晶面与晶面的交线2、有确定的熔点有确定的熔点 , 3、物理性质各向异性、物理性质各向异性 非晶体（非晶）非晶体（非晶）：原子排列不具有长程序。：原子排列不具有长程序。 但在仅比原子间距大一个量级但在仅比原子间距大一个量级10-9m的范围内原子排列的范围内原子排列

3、是有序的（称为短程有序是有序的（称为短程有序-短程序）。短程序）。非晶体非晶体特点：无固定熔点，各向同性特点：无固定熔点，各向同性：介于晶体与非晶体之间，原子呈定向有序排：介于晶体与非晶体之间，原子呈定向有序排列，但不做周期性平移重复。列，但不做周期性平移重复。准晶体：准晶体：1984 年年Shechtman等人用快速冷却方法制备的等人用快速冷却方法制备的AlMn准晶体。用准晶体。用XRD测得一种介于晶体和非晶体结构之测得一种介于晶体和非晶体结构之间的物质结构。间的物质结构。一个原子周围最近邻原子的数目。一个原子周围最近邻原子的数目。堆积系数堆积系数)： 晶体中原子排列的具体形式，称为晶体格子

4、。晶体中原子排列的具体形式，称为晶体格子。原子、原子间距不同，但有相同的排列规则，则这原子、原子间距不同，但有相同的排列规则，则这些原子构成的晶体具有相同的晶格（如些原子构成的晶体具有相同的晶格（如Au、Ag、Cu 和和Al, Ge 和和Si, 等等）。等等）。 原子层原子层AAAA简单立简单立方晶格方晶格a02ra 典型晶体：典型晶体：Li、Na、K、Rb、Cs、Fe 等等Fe的体心立方晶格结构的体心立方晶格结构BAAC以以ABC ABC ABC 方式堆积方式堆积典型晶体典型晶体： Au、Ag 、Cu、Al 、Ca BA以以AB AB AB 方式堆积方式堆积典型晶体典型晶体：Be、Mg、Zn

5、、Cd、Ti 构成：由面心立方单元的中心到顶角构成：由面心立方单元的中心到顶角引引8 8条对角线，在互不相邻的条对角线，在互不相邻的4 4条对角条对角线的中点处各加一个原子，就得到金线的中点处各加一个原子，就得到金刚石结构。刚石结构。金刚石由碳原子构成金刚石由碳原子构成. .一个碳原子和其它四个碳原一个碳原子和其它四个碳原子构成一个正四面体。子构成一个正四面体。六、六、NaCl 晶体的结构：晶体的结构：配位数配位数: 6沿立方沿立方体的棱平移体的棱平移1/2棱长棱长)堆积方式堆积方式CsCl 结构是由结构是由两个简立方格子两个简立方格子彼此沿立方体空间对角线位移彼此沿立方体空间对角线位移12

6、的长度套构而成。的长度套构而成。七、七、CsCl 晶体的结构：晶体的结构：配位数配位数: 8八、八、闪锌矿闪锌矿(zinc blende) 晶体的晶体的结构结构立方系的硫化锌具有和金刚石类似立方系的硫化锌具有和金刚石类似的结构，其中的结构，其中硫和锌分别组成面心硫和锌分别组成面心立方立方结构的子晶格而沿空间对角线结构的子晶格而沿空间对角线位移位移14 的长度套构而成。这样的长度套构而成。这样的结构统称闪锌矿结构。的结构统称闪锌矿结构。配位数配位数：4九、钙钛矿结构九、钙钛矿结构许多重要的介电晶体，例如，许多重要的介电晶体，例如，BaTiO3, PbZrO3, LiNbO3, LiTaO3等都属

7、于这种类型的结构。等都属于这种类型的结构。Ba、Ti 和和OI、OII、OIII 各自组成的简单各自组成的简单立方晶格（共立方晶格（共5 个）套个）套构而成的构而成的典型单元典型单元钙钛矿结构是指钙钛矿结构是指钛酸钙（钛酸钙（CaTiO3）的结构）的结构。晶体内部结构的周期性可以借助于晶体内部结构的周期性可以借助于基元基元、原胞原胞、基矢基矢和和格子格子等物理概念和术等物理概念和术语来描述。语来描述。晶格的共同特点是周期性。晶格的共同特点是周期性。看成是一个或一组看成是一个或一组(n个个)原子以某种方原子以某种方式在空间周期性重复平移的结果。式在空间周期性重复平移的结果。C60晶体的典型单元晶

8、体的典型单元(晶胞晶胞)晶体基元是一个包含晶体基元是一个包含60个碳原子个碳原子的巴基球的巴基球(buckyball）也称富勒也称富勒球（球（Fullereneball）有着有着60个顶点和个顶点和32个面的多面体个面的多面体.其中其中12个是五角形、个是五角形、20个是六角个是六角形形.正好是一个足球形状正好是一个足球形状基元：是构成晶体的基元：是构成晶体的完全相同完全相同的原子、分子或的原子、分子或原子团。原子团。“完全相同完全相同” 的含义：原子的化学性质完全的含义：原子的化学性质完全相同，且原子的几何环境完全相同相同，且原子的几何环境完全相同基元是基元是一种原子一种原子的晶体：铜、金、

9、银等；的晶体：铜、金、银等；基元是基元是两种或两种以上原子组成的原子团两种或两种以上原子组成的原子团：金刚石、氯化钠、磷化镓等金刚石、氯化钠、磷化镓等.格点格点每个代表点都必须选择在各个基元的相同位置上。每个代表点都必须选择在各个基元的相同位置上。格点在空间分布的周期性与晶体中原子排列的周格点在空间分布的周期性与晶体中原子排列的周期性完全一致。期性完全一致。 如选择基元的重心，也可以选择在基如选择基元的重心，也可以选择在基元中的某个原子上。元中的某个原子上。RlO a1a2321,aaa321,aaa321.aaa21aaS二维点阵二维点阵基矢和原胞基矢和原胞对于同一点阵，对于同一点阵，原胞可

10、以有多原胞可以有多种不同的取法种不同的取法. .但不管如何选取都但不管如何选取都要满足要满足: :u原胞中只含有一原胞中只含有一个格点个格点. .u原胞的面积均相原胞的面积均相等（最小）。等（最小）。RlO a1a2ijk1a2a3a对于同一空间对于同一空间点阵，原胞可点阵，原胞可以有多种不同以有多种不同的取法的取法. .但不管如何选取但不管如何选取都满足都满足: :u原胞中只含有原胞中只含有一个格点一个格点. .u原胞的体积均原胞的体积均相等（最小）。相等（最小）。惯用的取法惯用的取法123,()aaj aai aa jk 空间点阵空间点阵最小的周期性重复单元最小的周期性重复单元.每个原胞中

11、只含有一个格点每个原胞中只含有一个格点 （必要判据）（必要判据）.对于同一空间点阵，原胞的体积均相等对于同一空间点阵，原胞的体积均相等. Wigner-Seitz Wigner-Seitz原胞（对称原胞）原胞（对称原胞）cba,在一些情况下，晶胞就是原胞，而在一些情况下，晶胞不在一些情况下，晶胞就是原胞，而在一些情况下，晶胞不是原胞。是原胞。sc格子的立方单元是最小的格子的立方单元是最小的周期性单元周期性单元 选取其本身选取其本身为为原胞。原胞。123,aai aaj aaksc由立方体的顶点到三个近邻由立方体的顶点到三个近邻的格点引三个的格点引三个基矢基矢：原胞原胞-由立方体的由立方体的中心

12、中心到三个近到三个近邻格点邻格点(顶点顶点)引三个基矢：引三个基矢：123222aaijkaaijkaaijk 3123212bccaaaa原胞原胞a1a2a30bcc原胞原胞由立方体的顶点到三个近邻由立方体的顶点到三个近邻格点格点(面心面心)引三个基矢：引三个基矢：1a3a2a123,222aaaajkakiaij31234aaaa原胞14fcc原胞所有原子的化学成分和所处环境所有原子的化学成分和所处环境上都是完全等同的上都是完全等同的.ZnS 等等u由由不同原子或离子不同原子或离子构成的晶体构成的晶体.u由由相同原子但几何位置不等价相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体的原子构成的晶体.

13、21,aa3a复式晶格复式晶格1a2a3aABAB氯化铯（氯化铯（CsCl)Cl-Cs+红点是基元的代红点是基元的代表点表点, ,即格点即格点. .红红点的总体就是布点的总体就是布拉伐格子拉伐格子332211alalalRllR321,aaa123,l ll 为整数格矢是描述晶格中任意格矢是描述晶格中任意两格点两格点相对位置的矢量相对位置的矢量. .任意格矢都可由任意格矢都可由O点开始以点开始以 重复平移得到重复平移得到,所以表示式所以表示式 中的中的 321,aaa332211alalalRl123,l ll 必为整数基矢基矢321,aaa改变时改变时,123,l ll相应改变相应改变,但不

14、管怎样改变但不管怎样改变,123,l ll 必为整数一组一组123( , )l l l的取值可以囊括所有的格点。的取值可以囊括所有的格点。任一格点位置都可以用格矢任一格点位置都可以用格矢332211alalalRl表示表示,布拉伐格子布拉伐格子:确定确定.332211alalalRl可由可由332211alalalRl332211alalalRl用格矢用格矢表示一个空间格子表示一个空间格子晶体可以看作是在布拉伐格子的每一个格点上晶体可以看作是在布拉伐格子的每一个格点上放上一组原子（放上一组原子（Basis 基元）构成的基元）构成的.晶系晶系轴和角度轴和角度布拉伐格子布拉伐格子斜方斜方 a b

15、90简单斜方简单斜方长方长方 a b = 90简单长方简单长方中心长方中心长方正方正方 a = b = 90简单正方简单正方六角六角 a = b=120简单六角简单六角baababba基元是基元是1 个原子，布拉伐格个原子，布拉伐格子是三维斜方格子时，晶体子是三维斜方格子时，晶体的构成的构成基元是多个原子，二维基元是多个原子，二维布拉伐格子是斜方格子布拉伐格子是斜方格子时晶体的构成时晶体的构成CuSi金刚石晶格金刚石晶格面心立方晶格面心立方晶格NaCl晶格晶格NaCl面心立方格子面心立方格子布拉伐格子布拉伐格子位置坐标描述晶格周期性：位置坐标描述晶格周期性：332211alalal321,aa

16、a321,lll332211alalalri,.,2 , 1ar332211alalal332211alalal如何区别如何区别?晶列和晶面及其描述方法晶列和晶面及其描述方法布拉伐格子的格点在空间规则、周期性的重复排列布拉伐格子的格点在空间规则、周期性的重复排列.在一个平面内，同一晶列中相邻在一个平面内，同一晶列中相邻平行直线之间的距离相等。平行直线之间的距离相等。 晶向用晶向用晶向指数晶向指数来标志：来标志： 123,a aa332211alalal123, ,l ll 是整数,lRuvwu相互平行的直线，都具相同的晶向指数相互平行的直线，都具相同的晶向指数.123,a aa不一定相互垂直一

17、个原子一个原子沿晶向沿晶向到最近的原子的位移矢量到最近的原子的位移矢量.1 2 3l l luvw把化为互质整数也可用也可用晶胞基矢晶胞基矢 为坐标轴，来表示到最近格点为坐标轴，来表示到最近格点的位矢的位矢 ，可得到另一组坐标，化为互质整数，可得到另一组坐标，化为互质整数 来表示晶向。来表示晶向。, ,a b cmnp同一晶格中，晶向指数不同，但同一晶格中，晶向指数不同，但原子排列相同原子排列相同的的所有晶向称为所有晶向称为晶向族。晶向族。uvw等效晶向等效晶向Rl0OA 晶列的晶向指数晶列的晶向指数ABC100OB 晶列的晶向指数晶列的晶向指数010OC 晶列的晶向指数晶列的晶向指数130D

18、OD 晶列的晶向指数晶列的晶向指数2101a2a简单立方晶格简单立方晶格的晶向标志的晶向标志立方边立方边,面对角线面对角线,体对角线体对角线,不止一个不止一个,它们的晶向指数它们的晶向指数确定方法同上确定方法同上.原胞，晶胞一致原胞，晶胞一致1a2a3aOABC100110111立方边共有6 个不同的晶向：1a2a3a由于立方晶格的对称由于立方晶格的对称性性,6,6个晶向是等效个晶向是等效的的, ,晶向族晶向族100,010,001100,010001简单立方晶格简单立方晶格100001面对角线晶向共有12 个1a2a3a101110110由于立方晶格的对称由于立方晶格的对称性性,12,12个

19、晶向是等效个晶向是等效的的,晶向族晶向族简单立方晶格简单立方晶格110101体对角线晶向共有体对角线晶向共有8 个个由于立方晶格的对称性，由于立方晶格的对称性，8 8个晶向是等效的，个晶向是等效的，晶向族晶向族简单立方晶格简单立方晶格123,a aa面心立方晶格面心立方晶格晶向指数晶向指数010, ,a b c晶向指数晶向指数101布拉伐格子为面心立方、布拉伐格子为面心立方、体心立方晶格时，在标志体心立方晶格时，在标志晶向（和晶面）时，常采晶向（和晶面）时，常采用用晶胞基矢。晶胞基矢。原胞，晶胞不一致原胞，晶胞不一致这样可直接借用简立方晶格的一些结果这样可直接借用简立方晶格的一些结果黄线（黄线

20、（面对角线）面对角线）的晶向：的晶向：u同一格子可以有无穷多方向不同的晶面系。同一格子可以有无穷多方向不同的晶面系。u晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距。晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距。u一族晶面必包含了所有格点而无遗漏一族晶面必包含了所有格点而无遗漏. .同一个格子，两组不同的晶面族。同一个格子，两组不同的晶面族。一族晶面必包含了所有格点而无遗漏。一族晶面必包含了所有格点而无遗漏。 一族晶面的取向用一族晶面的取向用晶面指数晶面指数来标志：来标志：知道晶面在三个坐标轴上的截距就可确定该晶面的取向。知道晶面在三个坐标轴上的截距就可确定该晶面的取向。1a2a晶面系中离原点最近的晶面的截距：晶面

21、系中离原点最近的晶面的截距：332211,hahaha选取选取原胞原胞基矢为坐标轴时，把晶面指数记作基矢为坐标轴时，把晶面指数记作（h1h2h3).选取选取晶胞晶胞基矢为坐标轴时，把晶面指数记作基矢为坐标轴时，把晶面指数记作 又称为晶面族的称为晶面族的密勒指数密勒指数.用用一一族晶面族晶面中的中的任一晶面任一晶面在三个坐标轴上的截距的在三个坐标轴上的截距的倒数比，简约为三个互质的整数比，这个互质的整倒数比，简约为三个互质的整数比，这个互质的整数比就是该晶面族的数比就是该晶面族的晶面指数晶面指数。2 晶面指数晶面指数所有相互平行的晶面都有相同的晶面指数。所有相互平行的晶面都有相同的晶面指数。（I

22、ndices of Crystallographic Plane）u若晶面和某一坐标轴平行，截距为若晶面和某一坐标轴平行，截距为 ，相应的指，相应的指数为数为0。u若晶面与某一坐标轴的负向相截，则在此轴上的截若晶面与某一坐标轴的负向相截，则在此轴上的截距为一负值距为一负值 (晶面指数中上加一横）。晶面指数中上加一横）。说明说明同一晶格中，晶面指数不同，但同一晶格中，晶面指数不同，但原子排列相同原子排列相同的的所有晶面都属于同一个所有晶面都属于同一个晶面族。晶面族。简单立方晶格简单立方晶格原胞，晶胞一致原胞，晶胞一致几个晶面的密勒指数几个晶面的密勒指数立方晶格中与立方晶格中与(100)面面等等效

23、的晶面效的晶面：3 个个(100),(010),(100:001)立方晶格中与立方晶格中与(110)面面等效的等效的晶面晶面：6 个个(110),(011),(101)(110),(011110:), 101立方晶格中与立方晶格中与(111)面面等等效的晶面效的晶面：4 个个:(111),(111),(111)111, 111符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有意义，在晶体内部这些面都是等效面时才有意义，在晶体内部这些面都是等效的。的。立方边立方边100垂直的晶面（垂直的晶面（100）面对角线面对角线110垂直的晶面（垂直的晶面（110）体对角线

24、体对角线111垂直的晶面（垂直的晶面（111）1( )a i2( )aj3( )aku立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；u立方晶系中，晶面族立方晶系中，晶面族111表示正八面体的面；表示正八面体的面；u立方晶系中，晶面族立方晶系中，晶面族110表示正十二面体的面；表示正十二面体的面；u立方晶系中，晶面族立方晶系中，晶面族100表示正立方体的面。表示正立方体的面。面心立方晶格面心立方晶格晶胞基矢晶胞基矢原胞基矢原胞基矢123,222aaaajkakiaij布拉伐格子为面心立方、体心立方晶格时，在标志布拉伐格子为面心立方、体心立方晶格时，在标志(晶向和晶向

25、和)晶面时，常采用晶面时，常采用晶胞晶胞基矢基矢.原胞，晶胞不一致原胞，晶胞不一致密勒指数密勒指数这样可直接借用简立方晶格的一些结果这样可直接借用简立方晶格的一些结果 mnp:cos:cos:cosh k l222coscoscos1u晶面指数确定了晶面的晶面指数确定了晶面的位向位向和和间距间距。对立方晶系对立方晶系晶面的位向晶面的位向是用是用晶面法线的位向来晶面法线的位向来表示的；表示的；空间任意直线的位向可以用它的空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。方向余弦来表示。abc222)(lkhadhklabc正交晶系：正交晶系：六角晶系：六角晶系：2221hkldhklabc222214

26、3hkldhhkklacD222)(2lkhadhkl复杂晶胞复杂晶胞要考虑附加面的影响要考虑附加面的影响如1 0 0,1 1 0如1 0 0,1 1 1 .晶面间距愈大，该晶面上的晶面间距愈大，该晶面上的原子排列愈密集；原子排列愈密集；晶面间距愈小，该晶面上的晶面间距愈小，该晶面上的原子排列愈稀疏。原子排列愈稀疏。2221hkldhklabc111金刚石晶体金刚石晶体rk lV rV rR如势能函数如势能函数123, , aaa213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab21321213133211323232132122222

27、2aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab232311233131212312123123222222aaaabaaaaaaabaaaaaaabaaa123aaa 321,bbb1 12233 lRlal al a1 2 31 12 23 3n n nGnbn bn b123,n n n123n n nG称称2 ,2,1,2,30,ijijija bi jij)()()(BACACBCBA三、三、 倒格矢倒格矢 与与正格矢正格矢 间满足：间满足：hGlR2hlGR 为整数332211bhbhbhGh321,bbb321,hhh22.332211332211332211hlhlh lal

28、ala lbhbhbhRGlh22.332211332211332211hlhlhlalalalbhbhbhRGlh11223311223311223322hlGRhbhbhblalalalhlhlh2 ,2,1,2,30,ijijija bi jij证明：证明：为整数利用了利用了推论：推论：（1 1）如果有一矢量与）如果有一矢量与正格矢正格矢点乘后等于点乘后等于22的整数倍的整数倍，这个矢量一定是倒格矢。这个矢量一定是倒格矢。（2 2）如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲的）如果有一矢量与正格矢点乘后为一个没有量纲的数，这个矢量一定能在倒空间中表示出来。数，这个矢量一定能在倒空间中表示出

29、来。2hlGR 由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，由于晶格具有周期性，一些物理量具有周期性，如势能函数。如势能函数。 lV rV rR四、有晶格周期性函数的傅里叶级数展开四、有晶格周期性函数的傅里叶级数展开晶格原胞中任一点：晶格原胞中任一点：将将 看作是以看作是以 为变量，周期为为变量，周期为1 的周期函数的周期函数.123, 其中为变量,不一定是整数( )V x112233112233112233()()VaaaVaaal al al a112233123()Vaaaaaa112233(1)(1)(1)Vaaa123123(,)(1),(1),(1)VV 展成傅里叶级数：展成傅里叶级

30、数：其中：其中： 为整数。为整数。123123(,)(1),(1),(1)VV 展开系数展开系数由由213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab213212131332113232321321222222aaaaaaabaaaaaaabaaaaaaab33221121,21,21bxbxbxjijibaorijji02233221121,21,21bxbxbx系数系数积分在一个原胞中进行积分在一个原胞中进行1 12 23 3

31、1 2 31 2 3()1231( )1( )()h h hi h bh bh bh h hiGVdxeV xdxeV xaaa对与布拉伐格子有相同周期性的物理量做傅对与布拉伐格子有相同周期性的物理量做傅立叶级数展开时，只需对倒格矢展开。立叶级数展开时，只需对倒格矢展开。势能在正格子中的表述势能在正格子中的表述 )(xV321hhhV3 2 3()h h hF G同一物理量在同一物理量在势能在倒格子中的表述势能在倒格子中的表述1 2 3.hliGxRlh h hhVxRVe1 2 3.hiGxh h hhVe( )V x而且这种变换仍然保持物理量的晶格周期性。而且这种变换仍然保持物理量的晶格周期性。232311233131212312123123222222aaaabaaaaaaabaaaaaaabaaa123,aai aaj aakSC正格子基矢正格子基矢123222,bi bj bkaaa倒格子基矢倒格子基矢仍是仍是SC格子。格子。123222,bjkbkibija