第三节勾股定理及逆定理的综合-学而思培优

1、第三节勾股定理及逆定理的综合-学而思培优第三节勾股定理及逆定理的综合、课标导航I和in工旌宇因冷:逆彳月吃口自t h，i颊二、核心纲要1 .勾股定理与逆定理勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其逆定理是判断直角三角形的一种方法.综合应用勾殴 定理及逆定理，可以解决很多几何问题，其一般步骤是：先应用勾股定理的逆定理证明已知图形（或添加 辅助线后的图形）中的某个三角形为直角三角形，然后再应用勾股定理解决问题.2 .直角三角形的性质(2)角的关系边的关系:两锐角互余.勾股定理.边角关系:30角所对的直角边等于斜边的一半.这些性质在求线段的长度，证明线段的倍分关系，证明线段的平方关系等问题时有广泛

2、的应用.3 .勾股定理及逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体，通常既要通 过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解 决.掌握一些常见的基本图形：本节重点讲解:勾股定理及逆定理的应用门4.折叠的常见基本图形三、全能突破基础演练1.下面的判断:2. 22在 ABC中,a b c，则 ABC不是直角二角形；'ABC直角二角形，C 90 ,则2.222.22a b c ;若 ABC中，a b c，则 ABC是直角二角形；若ABC直角二角形，则2（c a）（a c） b ;以上判断正确的有（）

3、.A. 4个 B .3个 C .2个 D .1个2.图17 -3 1所示是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m和8m.按照输油中心0到三条支路的距离相等来连接管道，则0到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O为点）是（）.A2m B.3m c.6mD.9mXLr r3.如图 17-3-2 所示，在4ABC中，C 90 , B30 ,AB的垂直平分线交 BC于点D,垂足为E, BD=4cm.则CD的长为图 17 3-29 17-3-44.如图17-3-3所示，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的 A处；另一只爬到树顶

4、 D后直接跃到 A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高 米.5.一张直角三角形的纸片，按图17-3-4所示折叠，使两个锐角的顶点 A B重合，若 B 30 ,AC J3,则DC的长为6 .如图17-3-5所示，折叠长方形的一边 AD,使点D落在BC边的点F处，已知AB 8cm,BC 10cm, 求 EFC的面积.图 17 3 S7 .如图 17-3-6 所示，在 ABC 中，B 45 , C 30 , AB J2,求 sABC 的面积.能力提升8 .某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图17-3-7所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，其中 A 150 , AB

5、20米，AC 30米，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要元.9.如图17-3-8所示，长方形 ABC邛，ABK AFC的面积是8, BC 4,将长方形沿AC折叠，点D落在D/处，则重叠部10 .如图17-3-9所示，把长方形 ABCD氏片折叠，使点 B落在点D处，点C落在C/处，折痕EF与BD交于点0,已知AB=16, AD=12则折痕EF的长为11 .如图 17 -3 -10 所示，在 ABC 中， ACB 90 ,AC BC, P 是 ABC内的一点，且 PB 1, PC 2,PA 3,将4PBC绕点C旋转后，与 AP/C重合，连接PP/,则PP/ , BPC的度数为12

6、 .等腰三角形的一边长是 12,另一边长是10,则其面积为 13 .如图17 -3 -11 所示，公路 MNffi公路PQ在点P处交汇，且 QPN 30，点A处有一所中学，AP=160m.假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上?gPN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒？14 .如图17 -3 -12 所示，在一笔直的公路 MN的同一旁有两个新开发区 A B,已知AB=10千米，直线AB与公路MN的夹角 AOM 30，新开发区B到公路MN勺距离BC=3千米.(1)求新开发区A

7、到公路MN的距离；(2)现要在MN±某点P处向新开发区 A、B修两条公路 PA PB,使点P到新开发区A、B的距离和最短.请你用尺规作图在图中找出点P的位置(不用证明，不写作法，保留作图痕迹)，并求出时PA+P即才直.15 . (1)如图17 -3 -13 所示，已知，在等腰 Rt ABC , AC BC 4, ACB 90，点P在线段BC上,且 PC 2,若点D在线段AB上运动，求PD的最小值；若点P从初始位置先运动到 AC边上，再运动到 AB边上，求点P运动的最短路径.*ACffl 17-3-13(2)如图17 -3 -14 所示，已知，在 ABC中，AC 8, BC 6, AC

8、B 90，点P在线段BC上，且PC=2,若点P从初始位置先运动到 AC边上，再运动到 AB边上，求点P运动的最短路径.16 .在4ABC中，AB BG AC三边的长分别为 瓜J10、JT3,求这个三角形的面积.小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点 ABC(即 ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图17-3-15(a)所示.这样不需求 ABC的高，而借用网格就能计算出 它的面积.(1)请你将ABC的面积直接填写在横线上 思维拓展(2)我们把上述求 ABC面积的方法叫做构图法，若 ABC三边的长分别为 J2a、VT3a、JT7a (a>

9、;0),请利用图17-3-15(b)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的 ABC并求出它的面积填写在横线上探索创新(3)若 ABC中有两边的长分别为J2a、J10a(a 0),且 ABC的面积为2a2,试运用构图法在图17-3-15(c)的正方形网格(每个小正方形的边长为a)中画出所有符合题意的 ABC (全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上一个六边形绿化区 ABCDE酸分割成29,且APQR ABC(Q DER AAPF7个部分,的面积相I 困 17 3-lS|17.如图 17 -3上的点，且-16所示，在等腰直角 ABC中，AB=AC点D是斜边BC的中

10、点，点F、E分别为AB AC边证明:DE± DF.2_22BF CE EF .(4)利用上述解题方法完成下题： 如图17-3-15(d)所示, 其中正方形 ABQP CDRQ EFPR的面积分别为 13、20、 等， 求六边形绿化区 ABCDEF勺面积.(2)若 BF=12, CE=5 求 DEF 的面积.图 17 318.如图17 -3 -17 所示，在 4ABC 中，AM 是 BC边的中线，AE为BC边上的高.试判断AB219.如图17 -3 -18 所示，已知： C 90 ,AMCM ,MP AB 于点 P.求证：BP2 AP2 BC2.20.如图 17 -3 -19 所示，在

11、 RtABC中，ACB90 ,CD AB 于点 D, BE平分/ CBA交 CD点 F,交CA于点E,且FG/AB交CA于点G,若BC13, BD 5,2 .22AC 与AMBM 的关系.并说明理由. 判断 CEF的形状.(2)求AG的长.21 .【背景材料】 小颖和小强在做课后习题时，遇到这样一道题：“已知 RUABC中，ACB 90 ,CACB, MCN 45,如图 17-3-20(a)所示，当点 M N 在 AB 上时，则 MN 2 AM 2 BN 2,.小颖的解题思路：如图17-3-20(b)所示，WA ACM沿直线CM寸折，得 A/CM ,连A/N,进而证明A/CNBCN,结论得证.

12、【解决问题】当 M在BA的延长线上，点 N在线段AB上，其他条件不变，如图 17-3-20 (c)所示，关系 ,、222式MN AM BN是否仍然成立？根据上述材料请你帮助小颖判断结论，并给出 证明.中考连接22 . (2011.山东烟台)如图 17 -3 - 21 所示，在四边形 ABCM, ABC 90 , CD AD, AD2 CD 22AB2(1)求证：AB=BC(2)当BE AD于点E时，试证明：BE AE CD.图 17*3-2123 . (2012.山东荷泽)如图17-3-22所示，OAB%一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，0为原点，点A在x轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上， OA =10, OC=8在OC边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻折，使点0落在BC边上的点E处，求D E两点的坐标，1*1 17 S 22巅峰突破24 .如图17-3-23所示，ABC虚一张长方形纸片，将 AD BC折起，使 A B两点重合于 CD边上的点P,然后压平得折痕 EF与GH.若PF 8cm,PG 6cm,EG 10cm.则长方形纸片 ABC而面积为A.105.6B. 110.4C.115.2D.124.8ffl 17 325 .探究：如图17-3-24所示，C为线段BD上一动