高考数学理科导数大题目专项训练及答案

1、高一兴趣导数大题目专项训练班级姓名1.已知函数f(x)是定义在-e,0) (o,e上的奇函数，当x(o,e时，有f(x)二axl n x (其 中e为自然对数的底，a =. R ).(I)求函数f (x)的解析式；(H)试问：是否存在实数a ：0 ,使得当x：=-e,O) , f (x)的最小值是3 ?如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由；(川)设 g(x)e,O)U (0 ,e),求证：当 a = _1 时，|f(x)|>g(x) + 1 ；|x|22.若存在实常数 k和b，使得函数 f (x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)_kx b和g(xkx b，

2、则称直线i：y=kx b为f(x)和g(x)的“隔离直线” 已知 h(x) ”2,(x) =2elnx (其中e为自然对数的底数).(1)求 F(x)二 h(x)- (x)的极值；(2)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明 理由.2性2x3.设关于x的方程x -mx -1 =0有两个实根a、 B,且卜。定义函数f(x) =2x(I)求:f C-)的值；(Il)判断f(x)在区间c /-)上单调性，并加以证明；a + pB(iii)若I为正实数，试比较 f(：j f(一)，f(J的大小；证明 I f ( )一 f ()卜:|一 1 I 4.若函数f(

3、x) =(x2 - ax b)ex_2(xR)在x =1处取得极值.(I) 求a与b的关系式(用a表示b)，并求f (x)的单调区间；(II) 是否存在实数 m,使得对任意a (0,1)及xX2 0,2总有| f (xj - f (x2)卜：(m 2)a m2e J 1恒成立，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由.5.若函数x =ln x,g x 二(1 )求函数，x=g x kf x k R的单调区间；(2)若对所有的x，e, 都有xf x ax-a成立，求实数a的取值范围326、已知函数 f (x)二 ln(2 3x) - x .(I) 求f(x)在0, 1上的极值；1 1(II)

4、若对任意x -,不等式a1 nx| Jnlf (x)3x . 0成立，求实数a的取值范围;6 3(III) 若关于x的方程f (x)二-2x b在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围7.已知f (x) =ln axb;x，其中a - 0,b - 0 . (I)求使f (x)在0,血卑上是减函数的充要条件；(n )求f (x)在0,； 上的最大值；(川)解不等式< In 2 -11 28.已知函数f (x) x In x.2(1) 求函数f (x)在1,e上的最大值、最小值；(2) 求证：在区间1, V)上，函数f (x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方;(3) 求证：f (

5、x)n - f(Xn) > 2n-2(n N*).a9.已知函数 f(x)=l nx,g(x) (a : 0)，设 F (x) = f (x) g (x)。x(I)求F (x)的单调区间；1(n)若以y二F(x)(xw 0,3)图象上任意一点 P(xo> y0)为切点的切线的斜率k < -恒成立，求实数a的最小值。q a(川)是否存在实数m ,使得函数y = g( 2a ) m -1的图象与y = f(1 x2)的图象x +1恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。1 210.已知函数f(x)=2X 2x, g( x) aogXa > 0，且

6、a丰1 )，其中为常数.如果 h(xf (x) g(x)是增函数，且h (x)存在零点(h(x)为h(x)的导函数).(I)求a的值；(n)设 A (%，%)、B (X2，y2)(冯。2)是函数 y= g (x)的图象上两点，g H(x0 yy1X2 一 N(g'(x)为g(x)的导函数)，证明：洛：冷：x2.参考答案数得-f(x) - -ax In(-x)二 f (x) =ax-In(-x),1 .解：(I)当 x ：二_e, 0)时，-x ：= (0 , e，故有 f (_x) - -ax ln( -x)，由此及 f (x)是奇函 因此，函数f (x)的解析式为f(x)ax _ l

7、n(x) ax In x(-e _ x ： 0)；(0 ： x 岂 e)'(n)当 x _e, 0)时，f (x)二 ax -1n( -x) 若 _丄_a ：0，贝卩f (x) = a _丄_ -1 _丄ex ex1 ax 1f (x) = a _ _ =:x x1 10 = f (x)在区间-e , 0)上是增函e e综上所述，当a二-1时，有| f (x)| - g(x)1 ；4数，故此时函数 f(x)在区间_e,0)上最小值为f (-e) =a(-e) -1ne=3，得a ，不符合e1 1 . 1 1a ：0 ,舍去。若 a ,则令 f (x)二 0= x(-e, 0)，且 f

8、(x)在区间 -e,eea1是减函数，而在区间, 01，故当 X 二一时，f(X)min 二a=1一1 ni -a令 f J =3二 1 -InaI2=3= a - -e综上所述，当a二-1时，有| f (x)| - g(x)1 ；综上所述，当a二-1时，有| f (x)| - g(x)1 ；综上所述，当a = -e2时,F(x)二x - 11nx -2X _ 1 丄(x _1)_丄 J x 丿2 x2 x0 ；2x” 1 F (x) =1- xF(x)在区间2 ,e上是增函数，从而有当2 _x _e时，有1 -In x2x2x x -1 In x2x4-2-1 In 22xIn2 21 因此

9、，当 0 ：x _e 时，有 | f (x)| g(x) 。F(x) -2-1 n2=-(In2)0。2又因为F (x)是偶函数，故当 -e< x . 0时，同样有F(x) 0，即1|f(x)| g(x)-函数f (x)在区间-e,0)上的最小值是 3.1(川)证明：令F(x)=| f (x) | g(x)。当 0 ： x ze 时，注意到 x In x (设 h(x)=x-lnx,2利用导数求h(x)在0 ex We的最小值为1，从而证得x-lnx >1),故有In x 1, In x 1F (x) =| x - In x |x -In x -x 2x 2当0 ： x : 2时，

10、注意到x -1 _ In x，故综上所述，当a二-1时，有| f (x)| - g(x)1 ；2.【解】(I) F(x)二 h(x) 一 ：(x)二 x2 -2elnx(x . 0), F (x)2x 2e _2(x拓)(x+荷当 x = e 时，F，(x)二 0 .当0 ： x ：、e时，F (x) :：: 0 ,此时函数F(x)递减；当x 、,e时，F (x) . 0，此时函数F(x)递增；当 x_e 时，F(x)取极小值，其极小值为 0 .(n )解法一：由(I)可知函数h(x)和(x)的图象在x = . e处有公共点，因此若存在 h(x) 和(x)的隔离直线，则该直线过这个公共点.设隔

11、离直线的斜率为 k ,则直线方程为 ye 二 k(x -fe)，即y 二kx e-k、e .由 h(x) _ kx e-k、e(x R)，可得x2 -kx -e k 0当x R时恒成立.:=(k 一2、.e)2,.由厶-0，得k=2-. e.下面证明(x)乞2】ex-e当x 0时恒成立.令 G(x)二(x)-2、ex e = 2elnx-2、ex e，则G(x)=兰-2.2 心飞询,当 xe 时，G(x)=0 .xx当0 ： x ： '.e时，G (x)0 ,此时函数G(x)递增；当xe时，G (x) : 0 ,此时函数G(x)递减；当xe 时，G(x)取极大值，其极大值为 0 .从而

12、 G(x) = 2eln x - 2ex e 乞 0 ,即卩：(x)乞 2 . ex - e(x 0)恒成立.函数h(x)和(x)存在唯一的隔离直线 y=2.ex-e .解法二：由(I )可知当x - 0时，h(x) 一 :(x)(当且当x二e时取等号). 7分若存在h(x)和:(x)的隔离直线，则存在实常数 k和b，使得h(x)亠 kx b (x 二 R)和(x)込 kx b (x - 0)恒成立,令 x = . e，贝U e _ k、e b 且 e _ k e bk.eb=e，即 b=e-ke .后面解题步骤同解法一.23.(I)解：；：，：是方程x -mx-1=0的两个实根,2： -(、

13、； ):- 1& + P = m,ct P = 1.2a mf G )2Ct(II) f(x)二2x -mx21，f(X)=2(x21)-(2x-m) 2x22(x -mx_1)(x2 1)(x2 1)2当 x (：,：)时,x2 mx -1 = (x - ： )(x -) :：: 0.而 f (x)0 ,.f (x)在G , )上为增函数。3分4分5分7分(III)并乜0,丄乜0,且:-:-Axx + Pp-«Z + R+ RP 九+ U - g + PP a <& + P:- - (n ) ：Z + P厂-C 巧+ M0,& + 4(: - -)0.

14、+ P由(H)，可知 fg<f(F9分10分同理，可得f()：:： f () < f (J九+ Af c)- f C)： f(>JCL + PP丸+ P)-Pa +扎P& + »厂：f( J - fc )| f()1 计 f(：J- f( )11又由(1),知 f(o()= ,f(P) = oP = aP11P-a©|f(： )-f()W-冃-I十-：|.apaP才、/+ PP、.所以1I'4.解：(I) f (x) =x2 +(a+2)x+a+bex2，由条件得：厂耳.2a b 3 =0 , . b =-3 _2a.f (x) =x2 +

15、(a+2)x_3_aex2：>o 得：(x _1)x _(_3-a) >0 .当a =/时，x =1不是极值点，.ax 4.当 a 乜-4 时，得 x .1 或 x ： -3 -a ;当 a ： / 时，得 x 丫3 -a 或 x ： 1.综上得：当a 时,当a ： 4时，f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为 f(x)的单调递增区间为 单调递减区间为(-：,-3 a)及(1, ：) ($ -a, 1).(-：,1)及(_3a, ：)(1, 3a).(II) a(0,1)时，由(I)知f(x)在0, 1)上单调递减，在(1,2上单调递增 .当 x 0, 2时，f(x)mm = f

16、(1)=(1 * a b)e=(-2a)e.又 f (0) =(£2a)e2， f (2) =4 -2a b =1，贝y f (2) . f (0).当 x 0, 2时，f(x) (-a)e，1.由条件有:(m 2)a m2e丄 1f (xj - f (x?)max = f (x)max - f (x)min =1 (2 a)e丄.(m - 2)a - m22 a .即(m - 1)a - m2 -2 0 对 a (0,1)恒成立.令 g(a(m1)a m2 -2，则有:g(0flg(1) = m m -1 _0解得:12分14分(1 分)(2 分)(4分)(5分)(6分)(8 分)

17、(10分)(14 分)5.【解】:(1)由题意知：'x的定义域为 0：，2X kx 22x2令 p x = x kx 2=k2 -8当厶二 k2 -8 乞 0 时，即-2 2 <k< 2 2 时, x _0当& =k2 -80 时，即 k 2 2或k < -2.22 _k _ k2 -8_kI万程x kx0有两个不等实根，为,x2 :2 2若 k 2、2 则 x - x2 : 0,则在 0,亠j上 丁 x j 0若 k ： 一2 、. 2 则 0 ： Xi ： x2,当i0,Xi, x0,当I：xi,x?, X : 0,当1X2,： , x 0所以：综上可得：

18、当-2 2时，x的单调递增区间为|0,k 、k2 82*2-8,垃，单调递减当k 2 2, x的单调递增区间为0,=解法一：因为 x e,：；上辽，所以xln x_ax-a= a“ xln x-x-1t x In x =丄 l nt . x In x 1令 h x, x e, ：，贝 V h xx1(x1),i当 x le,壯辽时， x - In x -1 =10 ,故 x - In x -1 _ e - In e-1 = e - 2 0xx Inx -1所以：h x厂 0 . h X min =h e 二2(x1)eeT解法二：xf x _ax-a = xInx-ax a_0a 一令 h x

19、 = xln x -ax a当E,址)时 h(x).0h x = lnx1a,由h x =0得：x =ea'当x0,ea时h x ：0,当x"ea，=时h x . 0所以当h x 0,eaJ上单调递减，在ea，：单调递增 a _2时，eaJ < e,h x在上单调递增，h x mine<e1当a 2 时，h e _ 0= e a _ ae若 2 : a : e，贝U e a ： 2： ae ；若 a _ e，贝U e a 三 2a ： ae 故a . 2不成立，综上所得：a 一旦e1农、3。3(x+1)(3x1)6解：(I) f (x)3x 二2+3x3x+21令

20、f (x) =0得x或x = -1 (舍去)31.当0乞x J时，f (x)0, f(x)单调递增；33x 21当：x乞1时,f (x) : 0, f (x)单调递减.311 f()=1 n3- 为函数f(x)在0,1上的极大值3 6(II)由 | a _ln x| ln f (x) 3x0得a In x Tn 3或a ： In x In 3 ,2+3x2+3x3 2x +3x2设 h(x)冷,g (x) = In x In 3 In,2+3x2+3x1 1a h(x)或a g(x)在x，,上恒成立,6 3依题意知g (x)2 3x3x3(2 3x) -3x 3(2 3x)2x(23x)1(2

21、6x)二31 1-g(x)与h(x)都在一，上单增，要使不等式成立,6 3h (x)二32x 3x22 6x2x 3x211 11当且仅当a h()或a g(),即a In 或a : In .36353 2(III )由 f (x) = _2x b= In(23x) x 2x-b = 0.3令(x) =ln(23x) - x222x-b,贝 Kx)32 3x-3x 27 9x22 3x当x引0,时，时(x)>0,于是®(x)在0,上递增;33当X 二1时,(X)：0,于是(x)在二1上递减33而(口)(0),心)，33.f (x)二-2x b即(x) =0在0,1恰有两个不同实

22、根等价于半(0) =1 n2 b 兰0用(乜)=l n( 2 + j7)_7+3Z_b>03661申(1) =1 n5+_b 兰 0I21 -72历.ln 5 b : ln(2 7)2 63aa bax7.解：(1) f (x)1. x > 0,a0, b 0 ,. f (x) < 0 时，ab < 0，即ax +bax +ba < b .当 a < b 时，；a 0,b0,x > 0. ax b 0, a -b -ax < 0 , 即 f (x) < 0 . f (x)在0,匚)上是减函数的充要条件为b > a . (4分)(2)由

23、(1 )知，当b > a时f(x)为减函数，f(x)的最大值为f(0)=l nb ;当 b :a 时，；f(X)=a 一13 , 当 0< x时，f (x)0，当 x时 f (x) ： 0 ,ax +baa即在0,4)上f(x)是增函数，在口，；)上f (x)是减函数，x二口 时f (x)取最大aaa值，ln b (b > a),最大值为 fmax(X)= f(4) =1 na-口 ,即 fmax(X)二a_b(aaIn a (b <a).分)分)(3)在(1)中取 a =b =1，即 f (x) =ln(x 1) _x,由(1 )知 f (x)在0, 二)上是减函数.

24、=In(1 + jx _£) Jx £ w In 2 _1，即 f (卜 < f (1), .二1 > 1，解得 一 w x：0或 x>.V X22故所求不等式的解集为宁 ,0)=卫，；)(8 分)18.解：(1 ) f (x)= x.当 x 1,e时，f (x)>0，f(x)在1,e上是增函数x11 2故 f(X)min=f(1)， f(X)max=f(e) e 1.,22122 312(2)设 F (x) x In x x，则 F (x) = x 2x3x x 1 时， F (x) : 0，故 F(x)在1,：)上是减函数.112又 F(1)0，

25、故在1, ：) 上, F(x) : 0，即一x2l nxx3，623(1 x)(1 x 2x2) ?2 3函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方.31 、(3)v x>0, f (x)n _ f (xn) = |x+_I X丿x£I X丿，当n =1时，不等式显然成立；当 n > 2 时，有f (x)n f(Xn) =cnxnJLCn2X A 命XX1 n -22 n -4n -11二 CnX CnX Cn 芯X1n_212n41= -Cn(X十飞)十6仪+p)+C2xx1> -2C； 2C22Cn-1 =2n 2 f (x)n -f (xn) >

26、2n -2(n N*)10分n .1n佳严)a9解.(I ) F (x) = f (x) g(x) =1 nx(x 0xF'(x)丄弓x xx_a, c、2 (x 0)xa 0,由F(x) 7=(a, ：),. F(x)在(a, :：)上单调递增。由 F(x) ：0= x (0,a),. F(x)在(0,a)上单调递减。F(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(ay：)x ax a 1(n) F (x)2 (0 ： x 弐3), k = F (x0),(0 ： x0 玄3)恒成立xx 22Xoa _ ( - 2 x0' x0 ) min 当 x0 = 1 时，-1 r

27、 a 乏二，二 a nmn202 X0取得最大值1(川)若y = g(12 ,2a 、.1 23) m -1 x2x2121的图象与22 2y二f (1 x ) =1 n(x - 1)的图象恰有四个不同交点,1 2 12即一 x m ln(x1)有四个不同的根，亦即2 21 2x22m = I n( x - 1)令 G(x) =ln (x21)1有四个不同的根。 21 2 x2则 G (x) = ?xX2 +1_ 2x _x3 _x-x2 +1-x(x - 1)(x -1)2 。x21当x变化时G (x).G(x)的变化情况如下表:x(_1)(-1,0)(0,1)(1严)G x)的符号+-+-G(x)的单调性/= G(1) =G(_1) =1 n2 0。1由表格知：G(x)最小值=G(0) = ? ,G(x)最大值可知，当m(丄，1 n2)时,2 2画出草图和验证 G(2)=G(-2)=I门5-2丄2y二G(x)与y二m恰有四个不同的交点,当