排列组合与概率知识点及经典练习题

1、一、随机变量. 1. 随机试验的构造应该是不确定的.试验如果满足下述条件：试验可以在一样的情形下重复进展；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.假设是一个随机变量，a，b是常数.那么也是一个随机变量.一般地，假设是随机变量，是连续函数或单调函数，那么也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，那么表称为随机变

2、量的概率分布，简称的分布列.P有性质； .注意：假设随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：其中 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作Bn·p，其中n，p为参数，并记.二项分布的判断与应用.二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进展n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本

3、容量相对于总体来说又比拟小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量的概率分布列.123kPq qp 我们称服从几何分布，并记，其中二.数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，假设离散型随机变量的概率分布为P那么称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. 随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身.当时，即随机变

4、量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和.当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.01Pqp单点分布：其分布列为：. 两点分布：，其分布列为：p + q = 1二项分布： 其分布列为.P为发生的概率几何分布： 其分布列为.P为发生的概率3.方差、标准差的定义：当随机变量的分布列为时，那么称为的方差. 显然，故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.随机变量的方差.a、b均为常数01Pqp单点分布： 其分布列为两点分布： 其分布列为：p + q = 1二项分布：几何分布：

5、 5. 期望与方差的关系.如果和都存在，那么设和是互相独立的两个随机变量，那么期望与方差的转化： 因为为一常数例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最后排其它位置共有 由分步计数原理得例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进展排列，同时对相邻元素内部进展自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3

6、个独唱,舞蹈节目不能连续出场,那么节目的出场顺序有多少种？解:分两步进展第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解: (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，那么共有种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? 插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 几种方法例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配

7、到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法例6.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,那么共有种例7.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有例8.有10个运发动名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差异，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有十. 合理分类与分步策略例10.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有