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文档简介

1、运用基本不等式必备的变形技巧基本不等式当且仅当a=b时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其它问题中都起到了十分重要的工具性作用,在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解，有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解下面介绍一些常用的变形技巧 一、配凑 1.凑系数 例1当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值 分析 由0x4得8-2x>0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子的积的形式，但其和不是定值注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可 解0<x<4, 8-2x&g

2、t;0, y=x(8-2x)=8，当且仅当2x=8-2x即二=2时取等号， 当x=2时，y=x(8-2x)的最大值为8. 点评：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑上系数后即可得到和为定值，就可利用均值不等式求得最大值2. 凑项例2己知x<，求函数f(x) =4x-2+的最大值分析 由已知4x-5<0，首先调整符号，又(4x-2)·不是定值，故需对4x-2进行凑项得到定值.解 x<，5-4x>0， f(x)=4x-2+=-(5-4x+)3-2+3=-2+3=1， 当且仅当5-4x=，即x=1时等号成立. 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项，使其积为定值3.

3、分离例3求的值域.分析 本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出(x+1)，再将其分离 解 当x+10, 即x>-1时，=9(当且仅当x=1时取“=”号)； 当x+1<0,即x<-1时, =1(当且仅当x=-3时取“=”号)； 的值域为(-,19,+). 点评：分式函数求最值，通常化成y=Mg(x)+B(A>0,M>0,g(x)恒正或恒负)的形式，然后运用均值不等式来求最值二、整体代换例4 已知a>0,b>0，,求t=a+2b的最小值. 分析 不妨将a+ 2b乘以1，将1用代换. 解 (a2b)·=(a+2b)()=3,当且仅当时取“=

4、”号. 由得即时，t=a+2b的最小值为. 点评：本题巧妙运用“1”的代换，得到t=,而与的积为定值，即可用均值不每式求得t=a+2b的最小值三、换元 例5求函数的最大值分析 变量代换，令t=，则x=t2-2(t0)则，再利用均值不等式即可解 令t=, x=t2-2(t0) ,则当t=0时，y=0； 当t0时，当且仅当2t=,即t=时取“=”号，x=-时,ymax=.点评：本题通过变量代换，使问题得到了简化，而且将问题转化成熟悉的分式型函数的最值问题，从而为构造积为定值创设了有利条件四、取平方例6求函数的最大值分析 注意到2x-1与5-2x的和为定值r解 , 又y>0，0<y，当且仅当2x-1=5-2x.即x=时取“=”号，ymax=.点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等

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