椭圆问题中最值得关注地基本题型

1、椭圆问题中最值得关注的基本题型题型分析高考展望椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，并且占的分值也较多.分 析历年的高考试题，在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统 的掌握.对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图，焦点在*轴上的椭圆9+9=1的离心率e=；, F、>1分 4 DZZ别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求祚加的最大 值和最小值.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用a、A C之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.x2 v2变式训

2、练1 （2014 课标全国I ）已知点4（0, -2）,椭圆£（给6>0）的离心率 az bz为坐，尸是椭圆£的右焦点，直线彳下的斜率为¥，0为坐标原点.求£的方程； 设过点4的动直线/与£相交于R。两点，当0日。的面积最大时，求/的方程.题型二直线与椭圆相交问题x2 y2例2 （2。15 .山东）在平面直角坐标系*勿中，已知椭圆。：方+坂的离心率 左，右焦点分别是凡以内为圆心、以3为半径的圆与以E为圆心、以1为半径 的圆相交，且交点在椭圆C上.求椭圆。的方程;22设椭圆之£十n, P为椭圆C上任意一点，过点"的直线广

3、公+加交椭圆叶4 8两点，射线外交椭圆£于点Q1）求证的值;（H ）求48。面积的最大值.点评 解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次 方程，由判别式范围或根与系数的关系解决.求范围或最值问题，也可考虑求“交点”，由“交 点”在椭圆内（外），得出不等式，解不等式.变式训练2 （2014 四川）已知椭圆C：弓+告=1 （力力0）的焦距为4,其短轴的两个端点 az bz与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆c的标准方程；（2）设下为椭圆。的左焦点，7为直线x=-3上任意一点,过尸作正的垂线交椭圆C于点P,0.证明0T平分线段例（其中0为坐标原点）；

4、当言最小时，求点丁的坐标.题型三利用“点差法，设而不求思想”解题例3已知椭圆求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程点评 当涉及平行弦的中点轨迹，过定点的弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直 线方程时，用“点差法”来求解.x2 v2变式训练3 （2015 扬州模拟）已知椭圆7+£=1 （力力0）的一个顶点为8（0, 4）,离心率e az bz=唱，直线/交椭圆于M N两点.（1）若直线/的方程为V=x-4,求弦配的长.如果刖的重心恰好为椭圆的右焦点五，求直线/方程的一般式.高考题型精练1. （2015 课标全国I改编）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为:，E的右焦点与抛物 线C： /

5、=8x的焦点重合，A, 8是C的准线与E的两个交点，则彳仁.x2 v22. （2014 大纲全国改编）已知椭圆C： 7+力=1（力力°）的左、右焦点分别为国 &离心 az bz率为坐,过£的直线/交C于48两点.若的周长为4yB则C的方程为.3. （2014 福建改编）设尺。分别为圆/+。-6）2=2和椭圆得+/ = 1上的点，则只。两 点间的最大距离是.4. 若椭圆和双曲线具有相同的焦点离心率分别为会,P是两曲线的一个公共点,且满足所_LQQ,则的值为.e2 e25,椭圆C：善=1 （力力0）的两个焦点为& F”照为椭圆上一点，且祜扁的最大值 az bz的

6、取值范围是c2 2c2,其中。是椭圆的半焦距,则椭圆的离心率取值范围是.x2 , y26. （2014 辽宁）已知椭圆C：5+亍=1，点附与。的焦点不重合.若用关于C的焦点的对称 点分别为4 B,线段仰的中点在C上，则4V+8仁.1x2 v27. （2014 江西）过点 做1,1）作斜率为一5的直线与椭圆C：7+£ = 1（力力0）相交于儿B laz bz两点，若"是线段彳8的中点，则椭圆C的离心率等于.8. （2014 安徽）设国£分别是椭圆所必+净.伏。的左，右焦点，过点£的直线交 椭圆E于/1, 8两点若彳E=3E8,轴，则椭圆E的方程为.9. （

7、2014 江苏）如图，在平面直角坐标系x0y中，F、, £分别是椭圆«y方符=136>0）的左，右焦点，顶点8的坐标为（0, 6）,连接诙 ,；'义 并延长交椭圆于点力,过点力作x轴的垂线交椭圆于另一点Q连结 一:二二5/ ' FC'（1）若点C的坐标为G，g）,且 倏=或，求椭圆的方程； （2）若ECJ_/i8,求椭圆离心率e的值.x2 y210. （2015 重庆）如图，椭圆7+公=1 （a>6>0）的左，右焦点分别为 az DzF,反过后的直线交椭圆于P、0两点，且PQ1PF、,（1）若阳=2+啦，PE=2一卓,求椭圆的标准方

8、程；若PFkPQ,求椭圆的离心率e.11,（2015 陕西）已知椭圆27+力=1（曰>。>0）的半焦距为G原点。到经过两点（G0）, az dz（0, 6）的直线的距离为;c.求椭圆E的离心率；B y如图，彳8是圆例（*+2）2+&-1）2=段的一条直径，若椭圆E经；过人8两点，求椭圆E的方程.12. （2015 泰州模拟）已知椭圆G： |+芸=1 （给力0）的离心率为半，右焦点为（2啦，0）. 斜率为1的直线/与椭圆G交于彳，8两点，以彳8为底边作等腰三角形，顶点为P（3,2）.求椭圆G的方程；求外8的面积.答案精析第29练 椭圆问题中最值得关注的基本题型常考题型典例剖析

9、例1解 设。点坐标为（xo,心.由题意知a=2,C 1222.*.c=1,:,b =a -c =3.a l所求椭圆方程为1+4=1 43-2W*oW2,一木木.又尸（-1,0）,又2,0）,注=（1刈，yo）,P= （2 xo, yb）,东冰=添一此一2 +凶=；竟一为o+1 =；（&-2）L当为。=2时，东或取得最小值0,当“。=-2时，洋冰取得最大值4.变式训练1解（1）设尸©0）,由条件知，2=挛，得c=，5. C O丫又£=算所以a=2 6 =才，=1 a z故E的方程为苧+/=1当/轴时不合题意， 故设 /： y=kx-2, P（xi,句）,0（必封）,将

10、y=x-2代入了+/=1得(1+4)*2_16仃+12 = 0.3 当/=16(4好-3)>0,即2%时,8k±2/4k2-34k2 + 1.从而00=擀市|*一必| =4，k2 + 1 - j4k2-34k2 + 114 J4k2 3所以0R2的面积 5aw=2 * d , PQ 4k2 +1 设4k2-3= t,则t>0,设".2+4=4因为当且仅当t=2,即=±乎时等号成立，且满足 >0, 所以，当40%的面积最大时/的方程为y=*x-2或y= 例2解(1)由题意知2苫=4,则3=2,可得6=1,所以椭圆C的方程为w+，=1x2 v2由(1

11、)知椭圆£的方程为/+=1.16 4(»)设p(孙的),黑=入，由题意知0(-Hxo, - Ayo).因为7+的=1， 一入 xO 2 , 一入 yO 2 4 加入 2，xQ ,又一u+4=1，即才匕+呵=，0Q所以人=2,即而=2.(计)设彳(*1, /I), 8(X2, 72).将V=A*+m代入椭圆E的方程, 可得(1 +4/)/+8侬+4神- 16=0, 由>(),可得加2V4+16，8km4m2 - 16川有 w + *2=一+4k2'1+4k2.所以Im X2I4yl 6k2+4-m21 +4k2因为直线V=4x+m与V轴交点的坐标为(0,而， 所

12、以78的面积S=；|m| |m -xz| =2416k2+4 - m21ml 2弋 16k2+4 - m2 m2=1+4k2=1+4k2将y=A*+勿代入椭圆。的方程， 可得(1 +4/)x +8/c/77x4-4/77 4=0,由Z120,可得zt/WI+4后 由可知0V±W1, 因此 S= 2yj 4-t t = 2/-t2+4t,故S&2小, 当且仅当亡=1,即力=1+4分时取得最大值2班.由(i )知，480面积为3S,所以ABO面积的最大值为673.，a2+b2 = 2b, 变式训练2 (1)解 由已知可得III2c = 2/a2-b2 =解得才=6, 6=2, x

13、2 v2所以椭圆C的标准方程是入+彳=1 O L证明 由可得尸的坐标是(- 2.0),设r点的坐标为(-3,商、m-0则直线正的斜率kiF=-厂=一加-3 2当加力0时，直线内的斜率田= 直线。的方程是x=my2.当m=0时，直线图的方程是*=-2,也符合*=加-2的形式.x=my -2,设P(M,，。(如 力，将直线户。的方程与椭圆C的方程联立，得j立+左 消去不得(步+3)/4成一2 = 0, 其判别式=16淋+8 ("+3) >0,所以 yi4-y2=m2 + 3' »"=m2 + 3.%+ *2=)(弘+-4=所以外的中点附的坐标为（万:，方

14、寸）. m2 十 3 01/十 J所以直线场的斜率2 T又直线07的斜率"=一1所以点都在直线0r上，因此0r平分线段po.解由可得庐=由2 + 1, PQ=I x1-x2 2+ y1-y2 2 = yjm2 + 1 y1 4-y22-4y1y2= l m24-1 2-4 -24 m2 + 1一 m2+ 3.所以当丽最小时，7点的坐标是（一3.1）或（-3, -1）.例3解设弦的两端点分别为做小，R, NJ,， 例的中点为/?（x, y）,则/2 + 2y2 = 2, x2 + 2y2 = 2,两式相减并整理可得，y1-y2 x+x2_x_ x1 x2 2 y1 4-y2=一6 将9

15、芸=2代入式, 得所求的轨迹方程为x+4y=0（一啦底啦）.变式训练3解（1）由已知得6=4,且2=哈，即当=!， a 0 az oa2 b2 127=7» 解传 a =20, az ox2 v2椭圆的方程为r+9=1.ZU 10贝Ij 4x2+5y=80 与 y=x-4 联立，40消去 y 得 9*2-40*=0,.“尸。，*2=q,*0所求弦长 M*=«1+12 x2-xi | =今邑如图，椭圆右焦点尸的坐标为（2.0）,设线段郴的中点为0（河，由三角形重心的性质知 送=2曲又 8(0, 4), /. (2, -4)=2U-2,，故得 Xo = 3, %=-2,即得。的

16、坐标为(3, -2).设做小，yi), NJ, y2) 9则M+ *2=6,卜 + %=-4,cX2 , y? x2 . y2 且元 + 记=1，20+16=1,以上两式相减得x1 +x2 x1 -x220y1+y2y1-y2 =16匕 _y1 一y2 4 xi +x2 “ x1 -x2 5 y1 +y2故直线榔的方程为y+2=|(x-3),EP 6x-5y-28=0.常考题型精练1.612 2解析 因为e=：=5, /=8x的焦点为(2.0),所以。=2,片4,故椭圆方程为为+匕 a zIo 1z将”=一2代入椭圆方程，解得y= ±3,所以48=6.2/+% 32解析由e=乎得，坐

17、又彳£8的周长为4，5,由椭圆定义，得4a=4也，得a=小,代入得。=1, 6=3?2=2,故C的方程为1+9=1. J Z解析 如图所示，设以(0.6)为圆心，以广为半径的圆的方程为 x + (y-6)2=r2(r>0),与椭圆方程除+,= 联立得方程组， 消掉 V得 9/+12y+/-46=0.令4=12-4><9(/-46)=0,解得，=50,即r=5啦.由题意易知只。两点间的最大距离为广+啦=&、P.4.2解析 由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2/77,不妨令。在双曲线 的右支上.由双曲线的定义知I用|一|第|=2勿，由椭圆的

18、定义知I用1 + 1所1=2/ 又 PF4PR, N石夕£=90。, |牛+|阴=4°2, 式的平方加上式的平方得 |用+|用|2=23+2贰由得才+淋=2°2,即赛=2 CZ CZ11.瓦+瓦=2.5.解析 设 例孙 妙），则祜=（c孙 >d） , li?2=（c孙 -a）9- M?2 = xQ -c2 .x20+ yQ= aQ - c 4-h I 1c2籍一'2 + '=豆一/+庆.*。£|一，司，二当xo±6时，M?1 尾2有最大值氏 .*.c W6W2c1 :"W白一3W2c* .*.2c a 3c96.

19、 12解析椭圆堇+?=1中，a=3.如图，设树的中点为伉则%+诙=2&=6.，F、, E分别为他AM,例/的中点，：.BN=2DF2.AN=2DF、,:AN+Bm2（DF、+ DF4 =12.7啦2性+江n a2 b2 解析设力（必，yi）, 8（皿/2）,则外-匡+”=1Ia2 十 b2. x1-x2x1+x2 y1-y2y1+y2一a2b2.y1 y2 _b2 x1 +x2-x1 x2 a2 y1 +y2'.yiy2= 1-x1-x2- T为+ *2=2,必 +%=2,b2 1 .-"a2 21才=26；又一c y才=2（才一尚，.3=21, .£=乎.

20、 a 28.4%=1解析设点8的坐标为（此，yo）."+含."(一十一b2, 0), )5(1-b2, 0)./Q_Lx轴，；.4(Nl-b2,4). /6 = 3月8, /.A？1=3F?B,二. (2/l b2, A) = 3 (xo+41 -b2, y0). 点8的坐标为(一-b2, - y |.将一米斤天，一身代入寸+符=1，得V3 .椭圆£的方程为丁+旷=1.9.解 设椭圆的焦距为2c,则6(-c,0), Q(g0).(1)因为8(0, 6),所以既=7b2+c2 = a又8E=啦，故a=W,因为点得在椭圆上，16 1V 9z所以豆+豆=1解得d=1.故

21、所求椭圆的方程为畀/=1.因为8(0, 6), E(c,0)在直线48上， 所以直线四的方程为汛=Lx2=0,y2=b.2a2ca2+c2'b c2 a2a2 + c2.2a2c b c2 -a2 1所以点”的坐标为a2+c2, -a2+c2 又垂直于x轴，由椭圆的对称性, 可得点C的坐标为|金篇，a2 十 c2a2 十 c2b a2 -c2 0因为直线内的斜率为a2 + c2直线四的斜率为一之且6 aL他 cb a2 c2 ( b所以公klfT又6 =告一"、整理得才=5/1a/5故因此6=看. 0010.解 由椭圆的定义，得2k牛 + 第=(2+/)+ (2-g)=4,故

22、 3=2.设椭圆的半焦距为G由已知所，桁，因此 因=£E=qPF2 + PF2=7 2+9 2+ 2-嫄 2=2y3，即 c=，§,从而=Ma2 c2 = 1.故所求椭圆的标准方程为?+/=1.方法一如图，设点P（X。，用在椭圆上，旦PFdPF"则裳啕n, m+w=d, a 求得 x0= ±- a2 -2b2,J2 妙=±-. c由外； =得尤0,从而"=,由22b2+）+蔡=2 （a- N） + 2 匐 a2 - 2b2 =心+42 - 2b2）2.由椭圆的定义，PF、+ PR=2a、QF、+ QR=2a,从而由 PF、= PQ=P

23、R+QE,有 QF、=4a2PF、.又由牛PFkPQ,知必=也所，因此，（2+g）%=4/即（2+/）Q+#a2 2b2） =4/于是（2+/）（1+、2e2-1）=4,解得方法二如图，由椭圆的定义，得用十所=2d防+ 0R = 2a从而由PFkPQ= PFRQA、有 QF=4a 2PF、.又由牛，图PF、= PQ,知体=娟牛，因此，4a-2PF、=/PF,得所= 2（2啦）a,从而 PF?=2a- PF、= 2a-2 (2-/)a=2 (啦- 1) a由用_L所，知阳+"2 = /V2=(2c)因此c -PF2 + PF2e=-= o a za=、2-/ 2+ /一 1 2 =、9 一研=加一事, 11 .解过点(c,0), (0, 6)的直线方程为"+cy-bc=0,则原点。到该直线的距离 47=一， Mb2+c2 a由得a=2b=2yla2c2,解得离心率'=坐.方法一 由知，椭圆£的方程为+4/=46. 依题意，圆心做一2,1)是线段48的中点，且熊=阪.易知，48与x轴不垂直，设其方程为y=(x+2)+1,代入得(1+40寸+8(2+1)/+4(2+1产 一 49=0, 设 A (xi, yi), 8(x2,曾)，则 乂 + *2 = -8卜1_4 2k + 1 2-4b2