指数对数概念及运算公式

1、指数函数及对数函数重难点根式的概念：定义：若一个数的n次方等于a(n1,且nN),则这个数称a的n次方根.即，若xna,则x称a的n次方根n1且nN),1)当n为奇数时，a的n次方根记作na;a有两个n次方根且互为相反数，记2)当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数作Va(a0).性质：1) G0)n a；2)当n为奇数时，nan a；3)当n为偶数时，Va |a|a(a 0)a(a 0)哥的有关概念:规定：1)anaaa(nn*,2)a01(a0),tjVn个1 m3)ap(pQ,4)anDam(a0,m、nN*且n1)a性质：1)arasars(a0,r、sQ),r、srs,2) (a)

2、a(a0,r、sQ),rrr_3) (ab)ab(a0,b0,rQ)(注)上述性质对r、sR均适用.例求值2)(1)83 (2)25 "1 516 I(3)2(4)81例.用分数指数哥表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)VaVa(2)Jaja1ra(3)3(ab)24) )4/(ab)3(5)Vab2a2b(6)4(a3b3)2例.化简求值(1)2(空)38(0.002)1210(、52)1(、,2,3)0(2)1(0.0273)2.5(3)3a2a3aLa(4)212a3b2(5)指数函数的定义:定义:函数y1)2)3)116a土b3612ax(a32560.125(32户0

3、.11313、a153a6b60,且a1)称指数函数,函数的定义域为R,函数的值域为(0,),a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数.提问：在下列的关系式中,哪些不是指数函数，为什么(1)(2)x(2)(3)(4)(5)(6)4x2(8)(a1)x2)例：比较下列各题中的个值的大小(1)与o.i(2)0.80.2与0.8(3)与例:已知指数函数f(x)xa(a>0且aw1)的图象过点(3,f(0),f(1),f(3)的值.思考：已知a0.80.7,b0.8'0.9,c1.20.8，按大小顺序排列a,b,c.例如图为指数函数(1)ya,b,c,d与1的大小关系为,(2)ybx,(

4、3)yx,(4)ydx(A)ab1cd(C)1abcd(B)ba(D)ab2x11.1、函数y正()2x1A、奇函数B、偶函数C、既奇又偶函数D、非奇非偶函数12、函数y的值域是()2x1A、,1B、，0U0,C、1,D、(，1)U0,3、已知 0 a 1,b1,则函数y ax b的图像必定不经过(A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限x2的值域和单调区间2例若不等式3x2ax>(1)x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为332x(.1.f(x)=('，则f(x)值域为31x2x1,考查分段函数值域.【解析】x(-00,1时，x1<0,0<3x1&l

5、t;1,2<f(x)w1xC(1,+8)时，1-x<0,0<31x<1,.-2<f(x)<1，f(x)值域为(2,1【答案】(-2,-1例、已知f(exex)e2xe2x2,则函数f(x)的值域是例点(2,1)与(1,2)在函数fx2axb的图象上，求fx的解析式例.设函数f(x)2卜1*1,求使f(x)2亚的x取值范围.例已知定义域为R的函数f (x)2 b是奇函数。2x 1 a(i)求a,b的值;(n)若对任意的t R,不等式f (t222t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围;对数的概念:N ,那么数b称以a为底N的定义：如果a(a0,且a1)的b

6、次哥等于N,就是ab对数，记作logaNb,其中a称对数的底，N称真数.1)以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN,2)以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN记作lnN基本性质：1)真数N为正数(负数和零无对数)，2) 10ga10，3) logaa1,4) 对数恒等式：alogaNN例将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式1(1) 54=645(2) 264(4) 10gl 164(5) log10 0.012例：求下列各式中X的值一、，2， C C(1) log64 X(2) log X 8 631 m(3) (-)5.7332(6) loge10 2

7、.303(3) lg100 X (4)2ln e x分析：将对数式化为指数式，再利用指数塞的运算性质求出X.练习：将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值.114X1(1)52忑(2)10gMX351 x5(4)(-)x64(5)lg0.0001x(6)lne5x4例 利用对数恒等式alogaNN ,求下列各式的值:1、log43,1.log54,1.log35(1)(4)(5)(3)log1 4(2)3 31010g 0.01 2log 1 27 7(3)2510g524910g73100lg61210g412310g9275*3运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则1) loga(MN

8、)logaMlogaN；M2) lOga-lOgaMlOgaN；N3) logaMnnlogaM(nR).换底公式：logaN10gmN(a0,a0,m0,m1,N0),logma1)logablogba1，2)logambnlogab.m对数函数的运算规律例.用logaX,logay,logaZ表示下列各式:(1) loga'；Z解：(1) logaxyzloga(xy) loga ZlogaX loga y loga Z ;例.求下列各式的值：(2)总等loga(X2 y) loga 3 Zloga X2 loga , y 血 3 Z1 .1 .2loga X -loga y -l

9、ogaZ.23(1) log24725；(2)lg5A00解：(1)原式=log24710g225=7log245log22725119；1o22(2)原式=lg10lg10555例.计算：(1)lg1421g7lg7lg18；(2)1g243；3lg9(3)' - - -T 1： J(3)(4)lg2 lg50+(lg5)2lg25+lg2lg50+(lg2)2解：(1)lg14 2lg7 lg7 lg183-一一 2 一lg(2 7) 2(lg7 lg3) lg7 lg(3 2)例.解:例.(2)(2)计算:lg2lg7 2lg72lg3lg7 2lg3 lg2 0；5lg 243

10、 lg 35lg9lg 3251g32lg3(1)(1)原式:1 10g 0.23 .5，5510g0”15;log4 3 log9 2 log2 4/32 .，、1 . c 1 ,，,5, 八(2) 原式=510g2 3 log3 2 log2 2求值： 。叫3 + 1叫领叫2+1叫2)；1喝"log2T32 .15 34 4 2例.9g-求值(1)log89log2732log32logaJ-log3ilogj(2) -3-晦2ggz：；2+lQgi36)(4)(1og2125+1og425+1og85)(1og1258+1og254+1og52)对数函数性质典型例题例.比较下列

11、各组数中两个值的大小：(1)10g23.4,log28.5；(2)10g0.31.8,log0.32.7；解：(1)对数函数y10g2X在(0,)上是增函数，于是log23.4log28.5；(2)对数函数ylog0.3X在(0,)上是减函数，于是10g0.31.810g0.32.7；2、比较大小(1)log 2 2log2(a2a 1)(2) log alogae,(a 1)23 若 loga(a 1) loga2a 0 ,a的取值范围是(A) (Q1)-1、(B) (0,-) 2(C)1(2,1)(D) (1,)4 已知 a log 0.7 0.8, b 10gl.10.8,0.7c 1

12、.1,则a,b,c的大小关系是(A) a b c(B) b a例 比较下列各组数中的两个值大小:(C) ca b (D) b c a,(3), (a>0且 awl),c, d与1的大小关系.0V c< d提示：作一直线y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数v1vavb例求下列函数的定义域.1)-1y=工(2)y=ln(ax-k2x)(a>0且awl,kCR).例.求函数ylog1(x222x3)的单调区间解：设ylogu22_2x3,由u0得x2x30,知定义域为1)(3,2(x1)4,则当x(,1)时，u是减函数；当x(3,)时,u是增函数，而ylog1

13、u在R上是减函数(x23x3)ylog，的单调增区间为(,1),单调减区间为(3,)2例函数ylog0.52xlog0.5x2的单调减区间是。例已知y=log4(2x+3x2).(1)求定义域；(2)求f(x)的单调区间；(3)求y的最大值，并求取最大值时x值.考点考查对数函数、二次函数的单调性、最值.【解】(1)由2x+3x2>0,解得i<x<3.f(x)定义域为x|1<x<3(2)令u=2x+3-x2,贝Uu>0,y=log4u由于u=2x+3-x2=-(x-1)2+4再考虑定义域可知，其增区间是(一1,1),减区间是1,3又y=iog4u为(0,+8)

14、增函数，故该函数单调递增区间为(一1,1,减区间为1,3)(3) u=2x+3x2=(x1)2+4<4y=log4U<10g44=1故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.例求函数y10g3(x26x10)的最小值.变式.求函数f(x)lg(x28x7)的定义域及值域.例已知函数y=f(2x)定义域为1,2,则y=f(log2x)的定义域为()A.1,2B.4,16C.0,1D.(8,0考查函数定义域的理解.【解析】由1WxW22<2x<4,.y=f(x)定义域为2,4由2w10g2xw4,得4<x<16【答案】B例作出下列函数的图像，并指出其单调区间.

15、(1)y=lg(-x),(2)y=log2|x+1|(3)y=|log2(x-1)|,(4)y=log2(1x).2例已知函数f(t)=log2t,tV2,8.(1)求f(t)的值域G;(2)若对于G内的所有实数x,不等式x2+2mxm2+2mw1恒成立，求实数m的取值范围.12x例已知函数f(x)=lg2a4xa,其中a为常数，若当xe(8,11时，f(x)有意义，求实a1数a的取值范围.分析：参数深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与其它变元(x)的依存关系，利用新的函数关系，常可使原问题“柳暗花

16、明”解:xx124a2Z-aa1>0,且a2a+1=(a1)2+3>0,241+2x+4x当xe(811、a>0,a>()4x2x1时，y=1与y=3都是减函数,4x2x11、.1y=()在(8,11上是增函数，(不a>-,故a的取值范围是(一3,+8).442x)max=例已知a>0且aw1,f(logax)=(x1)a1x(1)求f(x);(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；(3)对于f(x),Hx(-1,1)时，有f(1m)+f(1m2)<0，求m的集合M.解：(1)令t=logax(tR),则xat,f(t)Fa-(atat),f(x)-a(a

17、xax),(xR).a1a1(2) f(x)(axax)“刈,且*R,f(x)为奇函数.当a1时,a-0,a1a1u(x)axax为增函数，当0a1时，类似可判断f(x)为增函数.综上，无论a1或0a1,f(x)在R上都是增函数.(3) f(1m)f(1m2)Qf(x)是奇函数且在R上是增函数，f(1m)f(m21)又x(1,1)1 1m11m2111m2.1mm21.，一一11x例已知函数f(x)2log2LW，求函数f(x)的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.x1xkx1一例、已知函数f(x)lg",(kRMk0).x1(i)求函数f(x)的定义域；(n)若函数f(x)在10,+

18、8)上单调递增，求k的取值范围1.函数f(x)3x21lg(3x1)的定义域是1,1,、A-(,)B.(-1)33.1/1、c(,1D.(,)332.已知函数f(x)=lg(2xb)(b为常数)，若xC1,+8时,f(x)>0恒成立，则D. b=1( )D. 1 3, 11y=32f (x) ,y=1+ 2 ,y=f2 f(x)a、y3y1yb、 yYiy3C、 Y1Y3Y2D、YiY2Y3()A.b<1B.b<1C.b>13 .函数y=Jx22x3的单调递减区间为A.(00,-3)B.(00,-1)C.1,+°°H4 .设f(x)是定义在A上的减函

19、数，且f(x)>0,则下列函数:(x),y=1jf而，其中增函数的个数为()A.1B.2C.3D.45、 .若集合M=y|y=2x,P=y|y=Jx1,MnP=()A.y|y>1B.y|y>1C.y|y>0D.y|y>01.56、设y140.9,y280.48,y31,则()27、在blog(a2)(5a)中，实数a的取值范围是A、a 5或a 2C、2a5D、3a48、已知函数f(n)n3ff(n5)n10，其中nN,则f(8)的值为(n10(A)2(B)4(C)6xax9、函数y百(0a1)的图象的大致形状是(D)7()01一1C10.当a>0且awl,x>0B.lOgaX=nlOga；/Xy>0,nCN*,下列各式不|亘等.的是)A.lOganx=1logaxn一 log a x