材料力学：应力状态

应力状态和强度理论概述平面应力状态的分析

主应力空间应力状态的概念应力与应变间的关系空间应力状态下的比能强度理论及其相当应力各种强度理论的应用2§7-1概述§7-2平面应力状态的分析

主应力§7-3空间应力状态的概念§7-4应力与应变间的关系§7-5空间应力状态下的比能§7-6强度理论及其相当应力§7-8各种强度理论的应用32.受力构件内应力特征

一、一点处的应力状态:1.受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合,称为

一点处的应力状态。（1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的；（2）构件同一截面上不同点处的应力状况一般是不同的；（3）构件同一点处，在不同方位截面上应力状况一般是不同的。§7-1概述4FAabcdA二、原始单元体法

1.从受力构件内一点处切出的单元体，如果各侧面（一般为横截面）的上的应力均为已知，则这样的单元体称为原始单元体法。5FAabcdA

A62.单元体特征（1）单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布；（2）任意一对平行平面上的应力相等。三、主应力和应力状态的分类从一点处以不同方位截取的诸单元体中，有一个特殊的单元体，在这个单元体侧面上只有正应力而无切应力。这样的单元体称为该点处的

主单元体。7主单元体的侧面称为

主平面（通过该点处所取的诸截面中没有切应力的那个截面即是该点处的

主平面）主平面上的正应力称为

主应力主平面的法线方向叫

主方向，即主应力的方向8

说明:一点处必定存在这样的一个单元体，三个相互垂直的面均为主平面，三个互相垂直的主应力分别记为

1

，

2

，

3

且规定按代数值大小的顺序来排列，即9（1）单轴应力状态：只有一个主应力不为零（2）平面应力状态：有个二主应力不等于零。10（3）空间应力状态：主单元体上的三个应力均不等于零平面和空间应力状态称为复杂应力状态11

梁上取单元体p（a）Dyzt（b）图（a）为汽包的剖面图。内壁受压强p的作用。图（b）给出尺寸。解：包围内壁任一点，沿直径方向取一单元体，单元体的侧面为横截面，上，下面为含直径的纵向截面，前面为内表面。包含直径的纵向截面横截面内表面（1）横截面上的应力假想地，用一垂直于轴线的平面将汽包分成两部分，取右边为研究对象。n—

n面为横截面。pnnn(d)nnp(C)nn研究对象图（d）研究对象的剖面图，其上的外力为压强p。n(d)nnpF(C)nn研究对象压强p的合力为F

。则横截面上只有正应力

。

假设

正应力沿壁厚均匀分布。

n(d)nnp

nnFD

(因为t«D,所以ADt)18（2）包含直径的纵向截面上的应力pmmnn1用两个横截面mm,nn从圆筒部分

取出单位长的圆筒研究。直径平面由截面法，假想地用直径平面将取出的单位长度的圆筒分成两部分。取下半部分为研究对象。研究对象包含直径的纵向平面

FNFNltpyOR该截面上的应力为正应力

”，且假设为均匀分布。包含直径的纵截面上的内力为轴力FN

。R

是外力在y轴上的投影，yORFNFN取圆心角为d

的微元面积，其弧上为ds微元面积上，压强的合力为d

dsp.1.dsp.1.ds微元面积为dS.1p.1.ds在y

方向的投影为yORFNFNd

p.1.dsds

外力在y

方向的投影为yORFNFNd

p.1.ds

yORFNFNtp1（3）内表面的应力内表面只有压强p,且为压应力包含直径的纵向截面横截面内表面包含直径的纵向截面横截面内表面=

1=

2=

3=

1=

2=

3单元体为空间应力状态

，三个正应力为主应力。=

1=

2=

3由于内壁的压强

=p

远小于

和

，所以可忽略不计。=

1=

2=

3单元体看作平面应力状态

1

2从构件的扭转和弯曲问题看最大应力往往发生在的外表面。因为构件的外表面一般为自由表面，即有一主应力为零。因而从构件表层取出的微分单元体就接近二向应力状态。这是最有实际意义的。注意F例：分析滚珠轴承中滚珠与外圈接触点的应力状态。A包围点A

,以垂直和平行于压力F

的平面截取单元体。AF单元体三个互相垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不为零，于是得到三向应力状态。A

3

1

233xyzbacd平面应力状态的普遍形式如图所示。§7-2平面应力状态的分析

主应力单元体上有

x

，

xy

和

y

，

y

。34xyb1.斜截面上的应力

nef（1）截面法:

假想地沿斜截面ef

将单元体截分为二,留下左边部分的单体元ebf

作为研究对象。efb一、解析法35

：从x

轴到外法线n

逆时针转向为正，反之为负。正应力

：拉应力为正，压应力为负。切应力

：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。xyb

nefefb36ebf

设斜截面的面积为dA,eb

的面积为dAcos

，

bf

的面积为dAsin

efb37对研究对象列

和t

方向的平衡方程并解之得：（2）平面应力状态下,任一斜截面(

截面)上的应力

¸

的计算公式ebf

t38392.主应力和主平面求正应力的极值令：40

1

和

2

确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。41正应力达到极值的面上，切应力必等于零。此平面为主平面,正应力的极值为主应力。42由公式求出

0

就可确定主平面的位置。43将

0代入公式得到

max

和

min

(主应力）（1）主应力}44（2）主平面的位置以

1

代表

max作用面的方位角，

2

代表

min

作用面的方位角。}45（1）若

x

y

，（

1

在

900

范围内取值）则，

1450(2)若

x

y

，则，

1450(3)若

x=y

，则，{

x0，

1=-450

x0，

1=45046应力圆画法47例题：简支梁如图所示。已知m-n

截面上A

点的弯曲正应力和切应力分别为

=-70MPa，=50MPa

。确定A点的主应力及主平面的方位。mnaA

A

l48解：A

因为

x<y

，所以

1=-62.50

与

max

（

1）对应x62.5049

x62.50A}{26-96MPa50例题：图示单元体，已知

x

=-40MPa，y=60MPa，

xy

=-50MPa。试求ef截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位。

x

y

xy

yx300nef51

x

=-40MPa，

y=60MPa，

x=-50MPa。

=-300(1)求ef截面上的应力

x

y

xy

yx300nef52

x

=-40MPa，

y=60MPa，

xy

=-50MPa。

=-300(2)求主应力和主单元体的方位{因为

x<y

，所以对应于

1{53

x

y

xy

yx}{-60.780.7

3

154例题：求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。

55

解：（1）求主平面方位{900-900{56

因为

x

=y，且

xy>0，所以{45057

450（2）求主应力}

1=，2=0，3=-

1

358三、平面应力分析的图解法1.应力圆的概念59作

—

直角坐标系0

60当斜截面随方位角

变化时,其上的应力

，

在

-

直角坐标系内的轨迹是一个圆。圆心位于横坐标轴(

轴)上，离原点的距离为61半径为此圆习惯上称为应力圆

,或称为莫尔圆62

oC632.应力圆作法64（1）在

-

坐标系内,

选定比例尺o

65o

D1

xyB1

x（2）量取OB1=xB1D1=xy得D1点。66o

D2

yxD1

xB1

x（3）量取OB2=yB2D2=

yx得D2点

yB267o

D2

yxD1

xB1

x

yB2（4）连接D1D2两点的直线与

轴相交于C

点,68o

D2

yxD1

xB1

x

yB2以C

为圆心,CD1

或CD2为半径作圆

69该圆的圆心C点到坐标原点的距离为

o

D2

yxD1

xy

x

yB2CB170o

D2

yxD1

xy

x

yB2CB1半径为该圆就是相应于该单元体应力状态的应力圆。71因而D1点代表单元体

x平面（即横截面）上的应力。D1点的坐标为(

x,x

)o

D2

yx

x

yB2CB1

xyD1(

x,x)723.利用应力圆求单元体上任一

截面上的应力从应力圆的半径

CD1

按方位角

的转向转动

2

,得到半径

CE。ef

2Eo

D2

yxB2CB1

xyD1(

x,x)73ef

2Eo

D2

yxB2CB1

xyD1(

x,x)圆周上E点的¸坐标就依次为斜截面上的正应力

，切应力

。（证明略）74（1）点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对

应于应力圆上某一点的坐标。说明（2）夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。752

AB

oc764.利用应力圆求主应力数值和主平面位置（1）主应力数值A1和A2两点为与主平面对应的点，其横坐标

为主应力

1

，

2。o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

77o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

78o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

79o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

80（2）主平面方位由

CD1

顺时针转2

0

到CA1。所以单元体上从x

轴顺时针转

0（负值）即到

1对应的主平面的外法线。

0确定后，

1

对应的主平面方位即确定。o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0(

x,x)81o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0(

x,x)82o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0由此可定出主应力

1

所在平面的位置。由于A1，A2为应力圆的直径，则

2

所在的另一主平面与

1

所在的主平面垂直。(

x,x)83o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0(

x,x)84例题：从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,

x=-1MPa,

y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,

（1）绘出相应的应力圆（2）确定此单元体在=30°和=-40°两斜面上的应力。x解：85

oB1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)C解:(1)画应力圆OB2=y=-0.4MPa和B2D2=yx

=0.2MPa,定出D2点.

OB1=x=-1MPa,B1D1=xy=-0.2MPa,定出D1点;以D1D2为直径绘出的圆即为应力圆。86

o将半径CD1逆时针转动2=60°到半径CE,E点的坐标就代表=30°斜截面上的应力。(2)确定

=30°斜截面上的应力B1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)CE87

oB1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)C(3)确定

=-40°斜截面上的应力将半径CD1顺时针转2=80°到半径CF,F点的坐标就代表

=-40°斜截面上的应力。F88xy89例题：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试绘出C左截面上a,b两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab250kN1.6m2mABC90+200kN50kN+80kN.m解:

首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图Mmax=MC=80kN.mFs，max=Fs，C左

=200kN250kN1.6m2mABC911201515270a9z92横截面C左上a

点的应力为12015152709za93a94由

x，

xy定出

D1点由

y，

yx定出D2点以D1D2为直径作应力圆。o

C(122.5,64.6)(0,-64.6)95o

A1，A2两点的横坐标分别代表a

点的两个主应力C(122.5,64.6)(0,-64.6)A1A296o

C(122.5,64.6)(0,-64.6)A1A2A1

点对应于单圆体上

1

所在的主平面。9798bb点的单元体如图所示。12015152709zb99

bB

点的三个主应力为100

1

所在的主平面就是x平面,即梁的横截面C

。b101a解析法求a

点的主平面和主应力

0=因为

x>y

，所以

1=-22.50102a150-27=103例题：单元体应力状态如图。用解析法求：主应力，并在单元体中画出主应力方向。5020

解：=57-7104因为

x

y，所以5020105xyzo前面右侧面上面一、空间应力状态的概念y,z

平面的定义类似。X平面：法线与X

轴平行的平面。§7-3空间应力状态的概念106xyzo第一下标第二下标

xy表示x

平面上，沿y方向的切应力。第一下标表示切应力所在的平面。第二下标表示切应力的方向。107因而独立的应力分量是6个根据切应力互等定理，在数值上有xyzo108利用应力圆确定该点的最大正应力和最大切应力。已知：受力物体内某一点处三个主应力

1、

2、

3

。二、空间应力状态分析109首先研究与其中一个主平面垂直的斜截面上的应力。例如：与主应力

3所在的平面垂直的斜截面110用截面法，沿求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象。111主应力

3

所在的两平面上是一对自相平衡的力，因而该斜面上的应力

,

与

3

无关,只由主应力

1,

2

决定。与

3

垂直的斜截面上的应力可由

1,

2

作出的应力圆上的点来表示。112

113与

3

垂直的斜截面上的应力可由

1,

2

作出的应力圆上的点来表示。

1

1

2

2

114

1

1

2

2115116该应力圆周上的点对应于与

3

垂直的所有斜截面上的应力。

117与主应力

2

所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

1,

3

作出的应力圆上的点来表示。118与主应力

１

所在主平面垂直的斜截面上的应力

,

可用由

2,3作出的应力圆上的点来表示。119该截面上应力

和

对应的D点必位于上述三个应力圆所围成

的阴影内。abc

截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面abc120结论三个应力圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力。D121122该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标

1A123A最大切应力则等于最大的应力圆上B

点的纵坐标。B124AB最大切应力所在的截面与

2所在的主平面垂直，并与

1和

3所在的主平面成450角。125上述两

公式同样适用于平面应力状态或单轴应力状态，

只需将具体问题的主应力求出，并按代数值

1

2

3

的顺序排列。126例题：单元体的应力如图所示

,作应力圆,并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位。127因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力

z

无关,依据x截面和y截面上的应力画出应力圆.

求另外两个主应力。解:

该单元体有一个已知主应力128

o

A1A246MP-26MP量得另外两个主应力为c129该单元体的三个主应力按其代数值的大小顺序排列为

o

A1A2c130

ocA1A2B根据上述主应力，作出三个应力圆。131例题:已知某结构物中一点处为平面应力状态,

x

=-180MPa,y=-90MPa,x

=y=0,

试求此点处的最大切应力。

3=x

=-180MPa解:

主应力

2=y=-90MPa

1=z=0132例题：用图解法求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位。

133

o

1

3900D1D2A1A2450

1

3134§7-4应力与应变间的关系一、各向同性材料的广义胡克定律三个正应力分量:

拉应力为正压应力为负1.符号规定xyzo135三个切应力分量:

若正面(外法线与坐标轴正向一致的平面),切应力矢的指向与坐标轴正向一致,或负面(外法线与坐标轴负向一致的平面)上切应力矢的指向与坐标轴负向一致,则该切应力为正,反之为负。xyzo136

线应变:以伸长为正,缩短为负；切应变:使直角减者为正,增大者为负；用叠加原理，分别计算出

x

,

y

,

z

分别单独存在时,x

（y，z）方向的线应变

x

（

y，

z），然后代数相加。2.各向同性材料的广义胡克定律137

x

单独存在时

y

单独存在时

Z单独存在时一、x

方向的线应变yZyZyZ138在

x

y

z同时存在时,x方向的线应变x为在

x

y

z同时存在时,y,z方向的线应变为139二、广义胡克定律140

平面应力状态下(假设

Z=0,xz=0,yz=0)xyz

xy

x

y

x

y

xy141广义虎克定律（已知

1，2，3）

1

，

2

，

3

为主应变。在线弹性范围内，任一点处的主应力指向与主应变方向是一致的。142平面应力状态下,设

3=0143例题：已知一受力构件自由表面上的两个主应变数值为。构件材料为Q235钢，其弹性模量E=210GPa，泊松比ν=0.3。求该点处的主应力值，并求该点处另一主应变

2的数值和方向。解；一、一对应。由于构件自由表面，所以主应力

2=0。该点为平面应力状态。144该点处另一主应变

2的数值为145三、各向同性材料的体应变

1

2

3a1a2a3构件每单位体积的体积变化,称为体应变用θ

表示。各向同性材料在三向应力状态下的体应变146

1

2

3a1a2a3单元体的三对平面为主平面三个边长为a1,a2,a3变形后的边长分别为

a1(1+

,a2(1+

2,a3(1+

3

变形后单元体的体积为147体应变为148体应变为149在平面纯剪切应力状态下：材料的体积应变等于零。即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变。150假设一单元体承受三向等值应力，它的三个主应力为

m

m

m单元体的体应变是151

m

m

m

1

2

3a1a2a3152

m

m

m

1

2

3a1a2a3这两个单元体的体积应变相同153

m

m

m图式单元体的三个主应变为154

m

m

m如果变形前单元体的三个棱边成某种比例，由于三个棱边应变相同，则变形后的三个棱边的长度仍保持这种比例。155

m

m

m

在三向等值应力

m

的作用下，单元体变形后的形状和变形前的相似。称这样的单元体是形状不变的。156在任意形式的应力状态下，各向同性材料内一点处的体积应变与通过该点的任意三个相互垂直的平面上的正应力之和成正比，而与切应力无关。在最一般的空间应力状态下，材料的体应变只与三个线应变

x

，

y，

z

有关。仿照上述推导有157例题:

边长a=0.1m的铜立方块,无间隙地放入体积较大,

变形可略去不计的钢凹槽中,如图a

所示。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比

=0.34,当受到

F=300kN的均布压力作用时,求该铜块的主应力。体积应变以及最大切应力。158解：铜块横截面上的压应力为(a)aaaF159变形条件为Zyx

z

x

y160解得铜块的主应力为161体应变和最大切应力分别为162例题：一直径d=20mm的实心圆轴，在轴的的两端加转矩m=126N.m。在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成-450方向的应变

=5.010-4。试求此圆轴材料的剪切弹性模量G。mmA450x163mmA450x解：包围A点取一单元体A164mmA450xA165mmA450xA166Dtmk例题：壁厚t=10mm,外径D=60mm的薄壁圆筒,在表面上k点处与其轴线成45°和135°角即x,y两方向分别贴上应变片,然后在圆筒两端作用矩为m的扭转力偶,如图所示，已知圆筒材料的弹性常数为E=200GPa和

=0.3,若该圆筒的变形在弹性范围内,且

max=80MPa,试求k点处的线应变

x,

y以及变形后的筒壁厚度。xy167Dtmkxy解:从圆筒表面k点处取出单元体,其各面上的应力分量如图所示xyk

2=0450=

y=

x=

z该为纯剪切应力状态，所以168Dtmkxyxyk450

y=80

x=-80

z=0K

点处的线应变

x,

y

为=-5.210-4（压应变）169Dtmkxyxyk450

y=80

x=-80

z=0=5.210-4（拉应变）170圆筒表面上k点处沿径向

(z轴

)的应变为Dtmkxyxyk450=0

y=80

x=-80

z=0171同理可得圆筒中任一点(该点到圆筒横截面中心的距离为

)处的径向应变为因此,该圆筒变形后的厚度并无变化,仍然为t=10mm.Dtmkxyxyk450172bhzb=50mmh=100mm例题：已知矩形外伸梁受力P1，P2作用。弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3,P1=100KN，P2=100KN。求：（1）A点处的主应变

1，

2，3（2）A点处的线应变

x，

y，zxyzaA173bhzb=50mmh=100mmxyzaA解：梁为拉伸