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文档简介
1、初中数学“图形与几何”内容八年级上册第十一章 三角形1、三角形中的主要线段(1)三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。(2)在三角形中,连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。(3)从三角形一个顶点向它的对边做垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)。 2、三角形的三边关系定理及推论(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。推论:三角形的两边之差小于第三边。(2)三角形三边关系定理及推论的作用:判断三条已知线段能否组成三角形当已知两边时,可确定第三边的范围。证明线段不等关系。3、三角形的内角和定理及推
2、论三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。推论:直角三角形的两个锐角互余。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。4、多边形知识要点梳理1、n边形的内角和等于(n-2)×180°。 多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于(1)正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释: 各角相等
3、、各边也相等是正多边形的必备条件,二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形,四个角都相等的四边形也不一定是正方形,只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形。(2)多边形的对角线多边形的对角线:连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线. 如图2,BD为四边形ABCD的一条对角线。要点诠释: 从n边形一个顶点可以引(n3)条对角线,将多边形分成(n2)个三角形。n边形共有 条对角线。证明:过一个顶点有n3条对角线(n3的正整数),又共有n个顶点,共有n(n-3)条对角线,但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次,凸n边形,共有 条对角线。(3)多边形的内角和公式公式
4、:边形的内角和为.(4)多边形的外角和:多边形的外角和等于360°第十二章 全等三角形一、全等三角形1、全等三角形的概念(1)能够完全重合的两个图形叫做全等形。(2)能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。(3)两个三角形全等时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边,夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。2、全等三角形的表示和性质全等用符号“”表示,读作“全等于”。如ABCDEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注:记两个全等三角形时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形的性质(1
5、)全等三角形的对应边相等、对应角相等。(2)全等三角形的周长相等、面积相等。(3)全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角相等。几何语言:如图所示ABCDEF A=D,B=E,C=F,AB=DE,BC=EF,AC=DF4、全等三角形的判定方法:几何语言:如图所示 在ABC和DEF中, AB=DE, BC=EF, AC=DF ABCDEF(SSS)(1)边边边:三边对应相等的两个三角形全等。(SSS)几何语言:如图所示 在ABC和DEF中, AB=DE, A=D, AC=DF ABCDEF(SAS)(2)边角边:两边和它们的夹角对应相等
6、的两个三角形全等。(SAS)(3)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)几何语言:如图所示 在ABC和DEF中,A=D, AB=DE,B=E ABCDEF(ASA) (4)角角边:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)几何语言:如图所示 在ABC和DEF中,A=D, B=E BC=EFABCDEF(AAS) (5)斜边、直角边:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(H L)几何语言:如图所示 在RtABC和RtDEF中, AB=DE,BC=EF或AC=DFRtABCRtDEF(性质)几何语言:如图所示 PF平分APB(或APF=BPF),EC
7、PA于C,EDPB于DEC=ED5、角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 6、角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。(判定)几何语言:如图所示ECPA于C,EDPB于D,EC=ED点E在APB的平分线上7、三角形三个角的平分线相交于一点,这个点到三角形三条边的距离相等8、全等变换包括以下三种:(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。第十三章 轴对称一、轴对称图形1、把一个图形沿着
8、一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。2、把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。二、线段的垂直平分线1、概念:经
9、过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。2、线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。(性质)几何语言:如图所示MN是线段AB的垂直平分线(或MNAB于D,ADBD)CA=CB(判定)几何语言:如图所示CA=CB点C在线段AB的垂直平分线MN上3、线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。4、三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等。三、用坐标表示轴对称:在平面直角坐标系中,关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数。关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
10、1、点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);2、点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)。四、等腰三角形1、等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角)几何语言:如图所示 在ABC,ABACBC(等边对等角) (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(简称:三线合一)几何语言:如图所示,在ABC中ABAC,BDDC 12,ADBCABAC,12 ADBC,BDDCABAC,ADBC 12,BDDC2、等腰三角形的判定定理:(1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。(等角对等边)几何语言:如图所示 在ABC,BC ABAC(等角对等边) (2)两边相等的三角形是等腰三角形。几何语言:如图所示 在ABC,ABACABC是等腰三角形五、等边三角形1、等边三角形的性质定理(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60° 。几何语言:如图所示,ABC是等边三角形A=B=C=60°(2)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴。(3)等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一,它们交于一点。2、等边三角形的判定定理:(1)三个角都相等的三角形是等边三角形。(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。(3)三边相等的三角形
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