最大化利润模型(共11页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上广告效应与利润最大化模型摘要如何使商品的利润最大化关系着一个企业的生死存亡。而在此过程中，广告宣传和销售价格测定也是非常重要的环节。科学的分析和预测广告费和售价至关重要。广告费本文依次建立了售价与预期销售量的一元线性回归模型、广告费与销售增长因子的二阶回归模型和利润最大化模型。首先，本文建立了售价与预期销售量的一元线性回归模型。对售价和预期销售量的数据分析，发现两个具有一定的线性相关关系。运用MATLAB软件的画图工具画出两者之间的散点图，发现两者的相关性极其强烈。再运用MATLAB软件对两者数据进行一元线性回归分析，结果显示模型中的两个重要参数的估计值比较理想，模型

2、的拟合效果良好。最后利用MATLAB软件中的曲线拟合工具建立了售价与预期销售量的一元线性回归模型。但是本模型涉及到的参数只有售价和预期销售量，并不能满足题目的要求，准确的预期到利润最大的结果。因此模型也不做预测。其次，本文建立了广告费和销售增长因子的二阶回归模型。模型以广告费和销售增长因子作为参数。在拥有的数据基础上建立了两者间散点图，并模型就行预测为二阶回归模型。对模型进行多项式拟合分析建立了二阶回归模型，但是为了验证该模型的正确性，本文还建立了三阶回归模型。经过比较发现二阶回归模型最优。然而，本模型与第一模型存在同样的问题。模型涉及的参数只有广告费和销售增长因子，并不能准确的估计出最大的利

3、润。再次，本文还建立了利润最大化模型。在综合了模型一和模型二的基础上，提出两个模型中的重要因素，最后以售价和广告费为参数建立模型。本模型利用MATLAB中最优化工具进行分析。但是为了得到最优化问题的最优初始解，本文对模型进行了二维差值运算。接着 ，运用MATLAB中的三维画图工具进行分析。最后得出结论：当售价在5.9113元和广告费在35.2075千元时，商家可以得到最大利润118.9437千元。该模型模型优点是将比较实用，缺点是模型忽略了很多市场上的复杂因素，比如销售地点，销售时间。接着，本文对模型提出了改进成本优化问题和抵御风险优化问题。其中将一系列可能影响到利润最大化的因素和各种因素产生

4、影响考虑进去。使本模型的预测更加准确。最后，本文就得到的结论对商家提出建议。商家在增加售价的时候要适当的增加广告费，但要注意增加的幅度。因为广告费增加到一定程度后继续增加会使利润降低。此外价格较低的商品不宜设立广告。关键词：一元线性回归 曲线拟合 二阶回归模型 利润最大化模型 MATLAB软件一、问题重述广告宣传和销售价格测定是商家在市场竞争中非常重要的环节，关系到企业的生存问题。因此科学的分析和预测广告费和售价至关重要。在此过程中本文以下面所诉的问题进行分析，最终到一般结论：某公司有一批以每桶2元购进的彩漆，为了获得较高的利润，希望以较高的价格卖出，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由

5、表一给出。于是打算增加广告投入来促销。而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述。例如，投入3万元的广告费，销售因子为1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍。根据经验，广告费与销售因子的关系如表2，现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?表1售价200250300350400450500550600预期销售量（千桶）413834322928252220表2广告费（千元）010203040506070销售增长因子100140170185195200195180二、模型假设1售价以元为单位、销售量以千桶为单位和广告费以千元为单位；2成本问题只考虑与进

6、货价一参数相关；3市场对彩漆的需求量是无限且连续的，大于彩漆的供给量；4消费者对彩漆的需求只受到价格的影响；5彩漆在短期内不会被代替；6忽视在生产销售的过程中的自然灾害和遇到后造成的损失；改变7市场需求量相对稳定，产品质量突然不会突然出现问题。三、参数和符号说明， 为模型中的系数x 为售价y 为预期销售量g 为销售增长因子z 为广告费w 为利润x , z 为x与z的分别取值y(x) 为售价与预期销售量的函数关系g(z) 为广告费和销售增长因子函数关系w(x,z) 为利润与售价和广告费的函数关系Q(a) 为抵御风险函数关系C(s) 为改进成本函数关系四、模型的分析、建立与求解（一） 模型一（售价

7、与预期销售量的一次线性回归模型）的分析、建立1模型一的分析该模型以售价和预期销售量为参数。对拥有售价和预期销售量的数据分析，发现两个具有一定的线性相关关系。运用MATLAB软件的画图工具画出两者之间的散点图，发现两者的相关性极其强烈。然后可以考虑运用一元线性回归的方法进行线性拟合，从而得出拟合方程。2模型一建立售价与预期销售量数据如下表：表1售价与预期销售量的数据售价200250300350400450500550600预期销售量（千桶）413834322928252220接着，MATLAB软件对数据进行分析，散点图如下：图1价格与预期销售量的散点图从图中可以看出，随着售价的增加预期销售量也会

8、不断的减少。两者显然，存在相关的关系。故建立一次线性模型y=a(0)*x+a(1)。为了确定一次线性模型中的参数a(0)和a(1),对数据进行曲线拟合。最终得到模型中的两个参数值，。即价格与销售量的一次线性模型为函数图像为：图2模型一的图像图像显示，两者数据具有很强的回归性。故此省略，残差分析。（二）模型二（广告费与销售增长因子的一元二次回归模型）广告费和销售增长因子的数据如下表：表2广告费与增长因子的数据广告费（千元）010203040506070销售增长因子100140170185195200195180对数据进行分析，得到散点图如下图：图3广告费与增长因子间的散点图A由散点图猜测模型为。

9、为了确定多项式中一元二次函数模型中b(0)、b(1)和b(2)的值，对模型函数进行多项式拟合分析。利用MATLAB中的polyfit()函数工具，得到结果、和。故，该猜测模型为。且该模型的函数图像通过MATLAB工具显示如下：图4模型二的图像模型曲线与数据建立起的散点图的拟合程度图形如下：图5模型曲线与数据建立的散点图拟合程度B为确定二阶模型的是比较适合的，特建立三阶回归模型进行比较。结果多项曲线拟合得到结果如下：、和。即模型为。发现模型与上模型一致。证明了二阶回归模型的优越性。（三）模型三（利润最大化模型）综合模型一和模型二中的重要因素，得到利润最大化模型：该模型以x（售价）和z（广告费）为

10、参数。运用MATLAB软件的最优化工具对模型进行分析求解。但在求最优化解之前需要求出最优的初始解。于是该模型数据进行了二维差值分析。（二维差值运算过程中的相关数据间附录四）（1） 二维差值运算A 当售价取一个范围x2 , 6的范围时，用不同的z（广告费）的值代入二维差值运算过程中，得到数据和图像如下：表3x（售价/元）223.16013.51733.65553.73623.7823z（广告费/千元）0102535506065w（利润）019.078949.970872.280798.1579109.7661113.2749图6利润在售价范围固定时不同广告费的函数图形 结论：售价的范围固定下来后

11、，以广告费为变量进行测试。随着广告费的取不同值而引起的图像变化可以看出，无论广告费取何值，当利润的最大的时候，售价总是趋近于一个值（这里约取为3.7）。即售价在3.7元的时候是比较合理的，所以在利润最大化的时候约定x（售价）的初始值为3.7。B 当取广告费z0 , 70范围时，不同的x售价的值代入二维差值运算的过程中，得到的结果，如下数据和图像：表4x（售价/元）22.53.544.55z（广告费/千元）69.596870.080669.758169.919469.919469.2742w（利润）78.947478.771978.1287116.4912116.578997.1057图7结论：

12、广告费的范围固定下来后，以售价为变量进行测试。随着售价的取不同值而引起的图像变化可以看出，无论售价取何值，当利润的最大的时候，广告费总是趋近于一个值（这里约取为70）。即广告费在70千元的时候是比较合理的，所以在利润最大化的时候约定z（广告费）的初始值为70。（2） 模型三求解运用MATLAB软件中的最优化工具进行求解。首先，自变量进行替。在求解最优化的过程中需要变量x。故，如令x(1)=x,x(2)=z.即如下式：f(x)=（x(1)-2）*(-0.0004*x(2).2+0.0409*x(2)+1.0188)*(-5.1333*x(1)+50.4222)-x(2)。其次，最优化过程的初始值

13、点设为x , z=3.7 , 70，即x(1),x(2) =3.7,70。最后，将求解变量中的Display属性设置为iter。最优化处理后得到的最优值为x , z=5.9113 , 35.2075。即是当售价在5.9113元和广告费在35.2075千元时，商家可以得到最大利润118.9437千元。该模型的三维图形（过程如附录五）如下：结论：综合上述分析，可知：当利润最大的时，售价应该为5.9113元。此时预期销售量为20078桶，由广告效应，实际销售量达到了约38000桶。由模型二可知，销售增长因子随广告费先增加后减少。而模型三可知，当利润最大时，广告费为35207.5元，此时销售因增长因子

14、为1.9630。最终可以看到，当售价较少的时候，利润随着广告费增加而减少；但是当售价较大的时候，利润则会随着广告费的增加而先增加后减少。利润的最大值为118.9437千元。所以商家在增加售价的时候要适当的增加广告费，但要注意程度；此外价格较低的时候可不要设立广告。五、模型评价（一）模型一的评价模型一是建立在售价和预期销售量两个参数的基础上的。模型在一次回归后很好的拟合了原有的数据。优点是比较实用，但是本模型涉及到的参数只有售价和预期销售量，并不能满足题目的要求，准确的预期到利润最大的结果。因此，本模型是在为模型三做铺垫。（二）模型二的评价 模型二将广告费和销售增长因子作为参数。经过分析后曲线拟

15、合发现该模型的最优形式。即。模型可以比较准确地分析广告费和销售增长因子的关系。并可以预测到广告费变动后，增长销售因子的取值。但是本模型与模型一样，参数只有广告费和销售增长因子，不能满足题目的要求，不可以预测到彩漆的最大利润取值时广告费和售价的取值。因此，该模型同样是在为模型三做铺垫。（三）模型三的评价 该模型综合了模型一和模型二中的重要因素。在根据题目的要求、分析变量之间的关系和建立了售价和广告费两者的函数关系的基础上，确定了模型：。模型符合题目的要求。但是模型的假设条件比较多，不适合在现实中做长期预算，这是本模型的确定。六、模型的改进与推广（一）优化成本问题 模型三中成本问题之考虑到了进价。

16、但是实际上成本远不止在进价上，故本文阐述产本优化成本问题。在原来的模型上添加函数C(s)，即原来模型变成：-C(s)。其中，C(s1，s2)函数中包含的变量销售地点、销售时间、运费和人工费等。由时间关系，这里不做详细说明（二）抵御风险问题 模型三中并没有考虑到风险问题。商品市场的销售盈利与风险的预测有很大的相关。在原来的模型上增加函数Q(a1,a1)。其中函数的变量包括，遇到自然灾害的概率和遇到后造成的损失、市场需求量突然改变和产品质量突然出问题等。在考虑一系列可能影响到利润的因素和各种因素产生影响后将模型改进为-Q(a)。由时间原因这里不做详细说明。七、参考文献1 苏金明、阮沈勇，MATLA

17、B6.1实用指南（下册），北京：电子工业出版社,2002年。2 姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003年。3 马成文，市场调查与预测，北京：中国物价出版社，2001年。4薛定宇、陈阳泉， 高等应用数学问题的MATLAB求解 北京：清华大学出版社，2004 年。5张志勇、杨祖樱， MATLAB教程（R2006aR2007a）， 北京：北京航空航天大学出版社，2006年。附录附录一价格与销售量散点图的代码：x=2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 y=41 38 34 32 29 28 25 22 20 ;z=0 10 20 30

18、 40 50 60 70;g=1 1.4 1.7 1.85 1.95 2.0 1.95 1.8plot(x,y,+)附录二广告费与销售增长因子散点图的MATLAB代码：a=0 10 20 30 40 50 60 70b=10 14 17 185 195 20 195 18plot(a,b,+)多项式拟合代码：p=polyfit(a,b,2)xi=linspace(0,70,1000);z=polyval(p,xi);plot(xi,z)附录三二维差值的数据：x= 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5z=0 10 20 30 40 50 60 70代码：x=2；w1=(

19、x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=2.5；w2=(x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=3.0;w3=(x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=3.5;w4=(x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=4.0;w5=(x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(

20、-5.1333*x+50.4222)-zx=4.5;w6=(x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=5.0;w7=(x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-zx=5.5;w8=(x-2)*(-0.0004*z.2+0.0409*z+1.0188)*(-5.1333*x+50.4222)-za=0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70;19.1478 16.0830 11.5146 5.4426 -2.1329 -11.2120 -2

21、1.7946 -33.8808;35.6807 38.6039 38.7254 36.0451 30.5629 22.2790 11.1933 -2.6941;49.5987 57.5629 61.6325 61.8073 58.0875 50.4730 38.9638 23.5599;60.9018 72.9599 80.2358 82.7294 80.4407 73.3698 61.5167 44.8814;69.5900 84.7949 94.5353 98.8112 97.6227 90.9697 78.8522 61.2702;75.6633 93.0679 104.5311 110

22、.0529 109.6334 103.2724 90.9702 72.7265;79.1217 97.7789 110.2231 116.4544 116.4727 110.2782 97.8707 79.2502;附录四过程代码：f=inline(-(x(1)-2)*(-0.0004*x(2).2+0.0409*x(2)+1.0188)*(-5.1333*x(1)+50.4222)-x(2),x)x0=3.7,70;ff=optimset;ff.Display=iter;x=fminsearch(f,x0,ff)结果：Iteration Func-count min f(x) Procedu

23、re 0 1 -32.6804 1 3 -40.4142 initial simplex 2 5 -56.1365 expand 3 7 -76.3351 expand 4 9 -103.395 expand 5 11 -117.597 expand 6 13 -117.597 contract outside 7 15 -117.597 contract inside 8 17 -117.597 contract inside 9 19 -117.946 reflect 10 21 -118.783 reflect 11 23 -118.783 contract outside 12 25

24、-118.888 reflect 13 27 -118.888 contract inside 14 28 -118.888 reflect 15 30 -118.93 contract inside 16 32 -118.93 contract inside 17 34 -118.936 contract inside 18 35 -118.936 reflect 19 37 -118.942 contract inside 20 39 -118.942 contract inside 21 41 -118.943 contract inside 22 43 -118.943 reflect 23 45 -118.943 contract inside 24 47 -118.944 contract inside 25 49 -118.944 contract inside 26 51 -118.944 contract inside 27 53 -118.944 contract inside 28 55 -118.944 contract inside 29 57 -118.944 reflect 30 59 -118.944 contract inside 31 61 -118.944 contract inside