数学建模线性规划

1、线性规划1.简介： 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源. 线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。 在优化模型中，如

2、果目标函数f(x)和约束条件中的g(x)都是线性函数，则该模型称为线性规划。2.线性规划的3个基本要素（1）决策变量（2）目标函数f(x)（3）约束条件（g(x)0称为约束条件）3.建立线性规划的模型（1）找出待定的未知变量（决策变量），并用袋鼠符号表示他们。（2）找出问题中所有的限制或者约束，写出未知变量的线性方程或线性不等式。（3）找到模型的目标或判据，写成决策变量的线性函数，以便求出其最大值或最小值。以下题为例，来了解一下如何将线性规划用与实际的解题与生活中。生产计划问题某工厂生产甲乙两种产品，每单位产品消耗和获得的利润如表试拟订生产计划，使该厂获得利润最大解答：根据解题的三个基本步骤（

3、1）找出未知变量，用符号表示：设甲乙两种产品的生产量分别为x与x吨，利润为z万元。（2）确定约束条件：在这道题目当中约束条件都分别为：钢材，电力，工作日以及生产量不能为负的限制钢材：9x+5 x360，电力：4x+5 x200，工作日：3x+10 x300，x 0 ，x 0，（3）确定目标函数：Z=7x+12 x所以综合上面这三步可知，这个生产组合问题的线性规划的数学模型为：max Z=7x+12 xs.t.4.使用MATLAB解决线性规划问题依旧是以上题为例，将其用MATLAB来表示出来1.将目标函数用矩阵的乘法来表示max Z=(7 12) 2.将约束条件也用矩阵的乘法表示s.t. 编写M

4、ATLAB的程序如下： c=-7 -12; (由于是max函数，因此将目标函数的系数全部变为负数) A=9,5;4,5;3,10; b=360;200;300; Aeq=; beq=; vlb=0;0; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)其运行结果显示如下：x = 20.0000 24.0000fval = -428.00005.MATLAB求解线性规划的语句(1)c= 表示目标函数的各个决策变量的系数(2)A= 表示约束条件中或的式子中的各个决策变量的系数。 （若系数构成了两行以上的矩阵那么则由“；”来分割不同的两行）(3)b= 表示或右边

5、的数字(4)Aeq= 表示约束条件中=的式子中各个决策变量的系数。(5)beq= 表示=右边的数字(6)vlb= 表示决策变量的定义域 中为的数字(7)vub= 表示决策变量的定义域 中为的数字(8)x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 调用了linprog 函数，以此来求解出决策变量的值6.课后习题1.某鸡场有1000只鸡，用动物饲料和谷物混合喂养。每天每只鸡平均食混合饲料0.5KG，其中动物饲料所占比例不能少于20%。动物饲料每千克0.30元，谷物饲料每千克0.18元，饲料公司每周仅保证供应谷物饲料6000KG，问饲料怎样混合，才能使成本最低？解：设动

6、物饲料与谷物饲料分别为与千克，总成本为Z。min Z=0.3+0.18s.t.MATLAB程序：c=0.3 0.18;A=1,1;b=3500;Aeq=;beq=;vlb=700;0;vub=6000;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)运算结果：x = 700.0000 0.0000fval = 210.00005.某工厂生产、两种型号的产品都必须经过零件装配和检验两道工序，如果每天可用于零件装配的工时只有100，可用于检验的工时只有120，各型号产品每件需占用各工序时数和可获得的利润如下表所示：产品可用工时工序装配23100检验42120利润(元/件)

7、64（1）试写出此问题的数学模型，并求出最优化生产方案；（2）对产品的利润进行灵敏度分析；（3）对装配工序的工时进行灵敏度分析；（4）如果工厂试制了型产品，每件产品需装配工时4，检验工时2，可获利润5元，那么该产品是否应投入生产？问题分析： 原问题即是线性规划问题。1、2、3小问也即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的分析Cj的变化范围、分析bi变化范围、增加一个约束条件的分析。于是，上诉问题都可通过灵敏度分析的步骤运用单纯形表法得以解决。第一小问，建立线性规划模型，用单纯形表法求最优解，同时可为第二、三小问做准备。第二小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的Cj的变化范围分析。将A1的利润变

8、为元，以的取值范围进行分析。第三小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的bi变化范围分析。将装配工序工时变为h，按公式1：算出，将其加到基变量列的数字上，然后由于其对偶问题仍为可行解，故只需检查原问题是否仍为可行解。第四小问，即是线性规划问题中关于灵敏度分析中的增加一个约束条件的分析。只需加入约束条件建立新的线性规划模型。 模型的建立和求解：建立模型 （1） Z表示总的利润，x1、x2分别表示两种型号生产数量。通过MATLAB程序计算得到的最优解为x2=x1=20，即最优方案为A1、A2两种型号各生产20件。得最大利润200元。（2）将A1的单件利润改为元，得如下新的线性规划问题，通过变化分析原问题的灵敏度。解的最优条件是：由此推得当时满足上述要求。由此推得 加放产品