方差分析教材

1、方差分析一、单因子方差分析：三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件强度是否相同？工厂零件强度甲10310198110乙113107108116丙82928486首先我们来熟悉一下概念：1） 因子：对指标有影响的因素称为因子，因子通常用大写字母A、B、C等表示。在上例中，工厂别是因子。2） 水平：在试验中因子所处的状态称为因子水平，（即因子的属性有多少个即称多少水平）用因子的字母加标来表示，譬如因子A的水平用A1、A2、A3来表示。上例有三个工厂分别为：甲、乙、丙，我们分别用A1、A2、A

2、3来表示。3） 试验条件：在一次试验中每一个因子总取一个特定的水平，若干个因子各取一个特定的水平的组合，称其为一个试验条件。上例中只有一个水平，所以，一个水平便是一个试验条件。4） 指标：衡量试验条件好坏的量称为指标，用y来表示，它是一个随机变量。在例中零件强度就是试验指标。工厂零件强度yij（i为不同水平:厂，j为同一水平内数排列）(同水平)和均值甲A1103 y11101 y1298 y13110 y14412 T1103 1乙A2113 y21107 y22108 y23116 y24444 T2111 2丙A382 y3192 y3284 y3386 y34344 T386 3总平均值

3、1001、平方和分解：1）总的偏差平方和用ST（otal）来表示：为总平均值ST即所有的值同总平均值差的平方和。总数据为n个（nr×m），故自由度fTn-12、组间偏差平方和，也称为因子A的偏差平方和，用SA来表示：SAm(103-100)2+(111-100)2+(86-100)2，自由度fAr-13、组内偏差平方和即随机偏差：Se （STSASe，所以只需计算两个即可。）Se每组内数同组内平均值的平方和，然后三组的平方和相加。自由度fer（m-1）4、因子或误差的均方和：MSASA/fA，MSeSe/fe5、F比与拒绝域：FMSA/ Se/fe，当H0成立时，统计量F的分布为自由

4、度是fA、fe的分布。当FF1（fA，fe）时，认为因子A是显著的，即诸均值不全相等；当FF1（fA，fe）时，认为因子A不显著。上述例子得出的结果：当0.05时，F31.21，F0.95（2，9）4.26，由于F4.26，所以在0.05水平上我们的结论是因子厂家是显著的。结论：因为因子A显著，这就表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。·备注：如果每个水平下的试验次数不同时，即mi不同时，步骤仍然相同，只是在计算中有两个改动：n；SA其他一样。二、双因子方差分析：如果在一个试验中需要同时考察两个因子A与B，并设因子A有r个水平，因子B有s个水平，这时共有nrs个不同的试验条件，也

5、就是说有n总体。为了减少某种钢材淬火后的弯曲变形，对四种不同的材质（B1B4）分别进行五种不同的淬火温度（800880记为A1A5）进行试验，测得淬火后样品的眼神率数据如下：Ai BjB1B2B3B4行和Ti平均A1: 8004.4 y115.2 y124.3 y134.9 y1418.84.700A2: 8205.3 y215.0 y225.1 y234.7 y2420.15.025A3: 8405.8 y315.5 y324.8 y334.9 y3420.05.250A4: 8606.6 y416.9 y426.6 y437.3 y4427.46.850A5: 8808.4 y518.3

6、y528.5 y537.9 y5433.18.275列和 T.j30.5 T.130.9 T.229.3 T.329.7 T.4总和T：120.4平均 6.10 6.18 5.86 5.94 ：6.020这里r4，s5，nrs20现在做这样的假设：每一个总体的分布是正态分布，其均值为，它与因子A及B的水平有关，方差相同，数据相互间是独立的。·无交互作用 ·有正向交互作用 ·有反向交互作用A1 A2 A1 A2 A1 A2B1B2B1B2B1B21、 ·交互作用：·无交互作用：无论B因子取何种水平，因子A两个水平时所得到的指标均值关系都是一样。即

7、可称A、B因子间无交互作用。·正向交互作用：A因子的两个水平总是总是呈现相同的趋势，但是在另一个因子B的影响下，趋向更大。·反向交互作用：如上图2、无交互作用时的两因子方差分析：ST=SA+SB+Se，fT=fA+fBfe；ST，fT=rs-1；SA，fAr-1；SB，fBs-1；Se，fe fTfAfB利用上述例子得到如下数据表格：来源偏差平方和自由度均方和F比因子A36.397 SA4 fA9.0992 MSA66.76因子B0.32030.10670.78误差e13635120.1363总计T38.35219查表得：在0.05，从F分布表中查得F0.95（4，12）3

8、.26，F0.95（3，12）3.49。结论：·由于求得的FA66.76>3.26，所以，在0.05水平上，因子A对延伸率有显著影响；·由于求得的FB0.78<3.49，所以，在0.05水平上，因子B对延伸率没有显著影响。·因为因子B不显著，这表明不同材质的延伸率间没有明显的差异，因为因子A是显著的，这表明淬火温度对延伸率的均值有显著影响。一看即可清楚不同淬火温度下的指标值才是关键因子。3、有交互作用时的两因子方差分析：当需要考察两因子A与B的交互作用时，重复试验是不可缺少的。在各种因子搭配下，每次都要重复进行m次试验，（这里分析的是重复数一样，即m一

9、样。）压板工序盒厚同压合的温度合压力有关，现对其进行试验，并取得结果如图： B温度 B压力B1·60B2·70B3·80行和T.j平均A1: 2.04.6 4.3 y111 y112y11mT118.94.6+4.36.1 6.5y121 y122y12mT1212.66.8 6.4y131 y132y13mT1313.2T.1：34.78.9+12.6+13.21.5.78A2: 2.56.3 6.7Y211 y212: r2T2113.03.4 3.8Y221 y222: T227.24.0 3.8Y231 y232: T237.8T.2：28.02.5.02

10、5A3: 3.04.7 4.3y311 y312: r3T319.03.9 3.5y311 y312: T327.46.5 7.0y311 y312: T3313.5T.3：29.93.5.250列和 Ti.T1.=30.9(8.9+13+9)T2.=27.7T3.=34.5总和:92.6平均 .i. 5.15 .1.4.53 .2 .5.75.3. ：6.020·其中i表示不同的因子A的水平，即不同行中的i不同，第一行中i1，第二行中i2，一直到r。即压力因子A有r个水平。·其中j表示不同因子B的水平，即不同列中的j不同，第一列中j1，第二列中j2，一直到s。即温度因子B

11、有s个水平。·其中k表示不同的因子搭配中的重复试验结果，1表示第一个试验结果，2表示第二个试验结果，直到m，即每个搭配都试验了m次。类似前面一样进行平方和分解：·总偏差的平方和可以分解为四项：ST=SA+SB+SA×B+Se，fT=fA+fB+fA×B+fe其中SA、SB、SA×B、Se分别为因子A、因子B、交互作用A×B及误差的偏差平方和，fA+fB+fA×B+fe分别为它们的自由度，它们的表达式合计算公式如下： ST，fTn1rsm1每个值同差值平方和 SA，fAr-1，每行中的平均值5.78、5.025、5.250和总

12、平均值6.02之间差的平方和。 SB=，fB=s-1，即每列的平均值5.15、4.53、5.75同总平均值6.02之间差的平方和。 SA×BfA×BfA×fB（r1）（s1）ij.的平均值即是每个因子搭配中的重复数据的平均值比如11.（4.6+4.3）/2（总体为每个搭配中的重复数据的平均值加上总平均值，减去同列平均值，再减同行平均值）的平方和。 SeSTSASBSA×BfefTfA+fB+fA×Brs（m1） nrsm。方差分析表来源偏差平方和自由度均方和偏差平方和/自由度F比因子ASAfA=r1MSA=SA/ fAFA=MSA / MSe因子BSBfBs1MSBSB/ fBFB=MSB / MSe交互作用A×BSA×BfA×B（r1）（s1）MSA×BSA&#