山东省青岛版九年级上册课件：3.1圆的对称性(垂径定理)

1、东平县初中数学东平县初中数学圆对称性圆对称性(1)(1)垂径定理垂径定理3.13.1 东平县初中数学东平县初中数学课堂目标 1经历探索圆的对称性及有关性质的过程. 2理解圆的对称性及有关性质. 3会垂径定理解决有关问题.东平县初中数学东平县初中数学复习提问：复习提问：1 1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、线段

2、、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形正方形 圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？ 如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多你能找到多少条对称轴？少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?东平县初中数学东平县初中数学圆是轴对称图形圆是轴对称图形. . 圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线, ,它它有无数条对称轴有无数条对称轴. .O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .东平县初中数学东平县初中数学OACBNMD圆是轴对称图形圆是轴对称图形， 经过经过圆心圆心的的每一

3、条每一条直线直线都是它的对称轴。结论东平县初中数学东平县初中数学练习练习1.判断题判断题(1)直径是弦直径是弦 . (2)过圆心的线段是直径过圆心的线段是直径.(3)半圆是弧半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧两个半圆是等弧.(5)面积不等的两圆不是等圆面积不等的两圆不是等圆.(6)长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧.ACEFGH弧长 FE = 3.84 cm弧长 HG = 3.84 cm（）（）东平县初中数学东平县初中数学看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE东平县初中数学东平县初中数学AM=BM,议一议 AB是是 O的一条的一条弦弦 . 你能发现图中有哪些等量关你

4、能发现图中有哪些等量关系系?与同伴说说你的想法和理与同伴说说你的想法和理由由.n 作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?ABCDMAmBn由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论东平县初中数学东平县初中数学 如图如图,小明的理由是小明的理由是: 连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径

5、CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.东平县初中数学东平县初中数学垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧东平县初中数学东平县初中数学垂径定理三种语言 定理定理: 垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条

6、弧. 老师提示老师提示: 垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD=BD.东平县初中数学东平县初中数学E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧东平县

7、初中数学东平县初中数学 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求 O的半径。的半径。E.ABO典例精讲典例精讲东平县初中数学东平县初中数学 已知：如图，已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半径的半径OA.DOABC 做一做东平县初中数学东平县初中数学MOACBN探索一探索一：结论结论：东平县初中数学东平县初中数学OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它

8、们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。CD东平县初中数学东平县初中数学已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE。 所以，所以，ACBDE.ACDBO只需从圆心作一条与弦垂直的线段

9、只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以就可以利用垂径定理来解决有关问题了利用垂径定理来解决有关问题了.变式：将大圆隐去，连接变式：将大圆隐去，连接OA,OB得得到下图，已知到下图，已知AC=BD,你能证明你能证明OA=OB吗？吗？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则，则 CEDE，AC=BDAC+CE=BD+DE即即AE=BEOE垂直平分垂直平分ABOA=OB东平县初中数学东平县初中数学变式变式 ：如图，已知如图，已知AB为为 O 的直径，的直径，AC为弦，为弦，ODAC，交交AC于点于点D，BC=6cm，求，求OD的长。的长。ACBDO新建 (6).doc东平县初中数学东平县

10、初中数学小结小结: 解决有关弦的问题，经常需要过圆心解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。E.ACDBO.ABOC东平县初中数学东平县初中数学它是它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥多年前我国隋代建造的石拱桥, 它的主桥是它的主桥是圆弧形圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弧所对的弦的长弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的弧的中点到弦的距离距离)为为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？的半径吗？ 实实践践应应用，用，提提

11、升升能能力力东平县初中数学东平县初中数学解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，根据为垂足，根据前面的结论，前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是就是拱高拱高7.218.7解：ABCD,OC是半

12、径,AB=37.4，CD=7.2AD=18.7，OD=R-7.2东平县初中数学东平县初中数学解决求半径的问题解决求半径的问题某居民小区一处圆柱形的水管道破裂，维修人员为某居民小区一处圆柱形的水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，若这个输水管平放置的破裂管道有水部分的截面，若这个输水管道有水部分的水面宽道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方为，水面最深地方为4cm，求这个圆形输水管道截面的半径。，求这个圆形输水管道截面的半径。BAOE东平县初中数学东平县初中数学挑战自我挑战自我画一画画

13、一画 如图如图,M,M为为OO内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OM东平县初中数学东平县初中数学如图，过已知如图，过已知P为为 O内的一点，你能用三角内的一点，你能用三角尺画尺画 O 的一条弦的一条弦AB,使点使点P恰为恰为AB的中点吗？的中点吗？说明你的理由。说明你的理由。OABCBCBC就是所要求的弦就是所要求的弦东平县初中数学东平县初中数学圆是轴对称图形圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦, ,并且平

14、分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. . 在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形解直角三角形的问题的问题 。运用方程思想解决求半径问题运用方程思想解决求半径问题垂径定理：垂径定理：第三关第三关 反思总结反思总结OBCADEDCOABDOBCAOBACE.ACDBO.ABO东平县初中数学东平县初中数学3 3、小结解题的主要方法：、小结解题的主要方法： （1） 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.AEBO.222drAB弦长 （2 2）半径（）半径（r)r)、半弦、弦心距、半弦、弦心距(d)(d)组成的直角三角组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 当堂达标.doc东平县初中数学东平县初中数学判断判断垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( )弦所对的两弧中点的连线弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦垂直于弦,并且经过圆心并且经过圆心 ( )圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分