线性代数 清华版 1.1

1、有关要求：有关要求：1、作业每周交一次，每周五交，由各班学习委员、作业每周交一次，每周五交，由各班学习委员 收齐后放到收齐后放到3楼东边的教师休息室。楼东边的教师休息室。 作业情况及到课情况均计入期末总评成绩。作业情况及到课情况均计入期末总评成绩。2、学习过程中碰到的问题，可在课间提问，或者、学习过程中碰到的问题，可在课间提问，或者 通过纸条、通过纸条、Email将问题给我将问题给我, 我会尽快回答。我会尽快回答。课程简介课程简介线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题问题. 线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式线性关系是指数学对象之间

2、的关系是以一次形式来表达的来表达的. 最简单的线性问题就是解线性方程组最简单的线性问题就是解线性方程组.行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，也推动了线性代数的发展也推动了线性代数的发展. 向量概念的引入，形成了向向量概念的引入，形成了向量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论以讨论. 因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上

3、它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。强这些方面的训练。 第一章第一章 行列式行列式第二章第二章 矩阵矩阵第三章第三章 线性方程组线性方程组第四章第四章 向量空间与线性变换向量空间与线性变换基础基础基本内容基本内容用向量的观点讨论用向量的观点讨论基本问题并介绍向基本问题并介绍向量空间的有关内容量空间的有关内容第五章第五章 特征值与特征向特征值与特征向量量第六章第六章 二次型二次型矩阵理论

4、矩阵理论中心内容中心内容参考及辅导书目：参考及辅导书目：1、线性代数学习指南线性代数学习指南 居余马居余马 林翠琴林翠琴 编著编著清华大学出版社清华大学出版社2、线性代数线性代数 第四版第四版 同济大学应用数学系编同济大学应用数学系编高等教育出版社高等教育出版社一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入用消元法解二元用消元法解二元( (一次一次) )线性方程组线性方程组: :1.1 n阶行列式的定义与性质阶行列式的定义与性质 22221211212111bxaxabxaxa(1)(2)(1) a22:a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22,(2) a12:a12a21x1 + a

5、12a22x2 = b2a12,两式相减消去两式相减消去x2, 得得(a11a22 a12a21) x1 = b1a22 b2a12;211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 当当(a11a22 a12a21) 0时时, , 方程组的解为方程组的解为:由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定(3)类似地类似地, , 消去消去x1, 得得(a11a22 a12a21) x2 = b2a11 b1a21;若记若记abDad -bccd= =(4)则方程组的解则方程组的解（3）可以表示为可以表示为122122111221221b a-a

6、bx =a a-a a11121211212121112112212212122ababa b -b ax =.aaa a-a aaa,11222211122122babaaaaaabcdabD =cd称称主对角线主对角线副对角线副对角线二阶行列式的计算二阶行列式的计算= ad bc为二阶行列式为二阶行列式对于二元线性方程组对于二元线性方程组D称为线性方程组称为线性方程组(1)的的系数行列式系数行列式. 22221211212111bxaxabxaxa22211211aaaaD 若记若记(1)22211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2221211ababD

7、22211211aaaaD 22221211212111bxaxabxaxa2121112babaD ,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意: : 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式. .2221121122111122aaaababaDDx 则该二元线性方程组的解则该二元线性方程组的解(3)式式211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax (3)可表示为可表示为: :.1212232121 xxxx1223 D112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx

8、22 . 3721 解解: := 3 (4) = 7 0, 对三元线性方程组对三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa将方程组的第一、第二、第三个方程分别乘：将方程组的第一、第二、第三个方程分别乘：二、三阶行列式二、三阶行列式;a aa aa aa aa aa a223323321332123312231322然后相加得方程：然后相加得方程：()a a aa a aa a aa a aa a aa a ax 1122331223311321321123321221331322311()b a aa a ba b

9、ab a aa b aa a b 122331223313232123321223313223若系数若系数)a a aa a aa a aa a aa a aa a a 1122331223311321321123321221331322310则有：则有：b a aa a ba b ab a aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a a 1223312233132321233212233132231112233122331132132112332122133132231类似可得：类似可得：b a aa a ba b ab a aa b aa a bxa

10、a aa a aa a aa a aa a aa a a 2113331231133213231112133133122112233122331132132112332122133132231b a aa a ba b ab a aa b aa a bxa a aa a aa a aa a aa a aa a a 322111231221 1322113212321312213112233122331132132112332122133132231为方便记忆我们引入：为方便记忆我们引入：好复杂哦！好复杂哦！,312213332112322311322113312312332211aaaaaaa

11、aaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa并称它为并称它为. .（横为行，竖为列）（横为行，竖为列）三阶行列式三阶行列式定义定义333231232221131211aaaaaaaaaD 列标列标 行标行标对于由对于由9(3 3)个个元素元素 排成排成3行行3列的式子列的式子( ,1,2,3)ija i j ijai为行标为行标，j为为列标列标323122211211aaaaaa333231232221131211aaaaaaaaaD 312213aaa .332112322311312213aaaaaaaaa (1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计

12、算322113312312332211aaaaaaaaa D322311aaa 332112aaa 332211aaa 312312aaa 322113aaa 即即332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 333231232221131211aaaaaaaaa 注意注意: : 红线上三元素的乘积冠以正号红线上三元素的乘积冠以正号, , 蓝线上三元蓝线上三元素的乘积冠以负号素的乘积冠以负号.243122421-D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则按对角线法则, , 有有D = 1 2 (2) + 2 1 (3

13、) + (4) (2) 4 (4) 2 (3) 2 (2) (2) 1 1 4= 4 6 + 32 24 8 4 = 14对于三元线性方程组对于三元线性方程组111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 如果其系数行列式如果其系数行列式1112132122233132330aaaDaaaaaa 那么可求得方程组的解为那么可求得方程组的解为312123, , DDDxxxDDD其中其中 是用常数项是用常数项 替换替换 D 中的中的()jDj1,2,31,2,3,123b b b第第 j 列所得到的三阶行列式列所得到的三阶

14、行列式 , , 即即1121312222333233baaDbaabaa1111322122331333abaDabaaba1112131222213323aabDaabaab 说明说明2. 二阶行列式包括二阶行列式包括2!项项, 每一项都是位于每一项都是位于不同不同行行, 不同列不同列的两个元素的乘积的两个元素的乘积, 其中一项为正其中一项为正, 一项为一项为负负. 三阶行列式包括三阶行列式包括3!项项, , 每一项都是位于每一项都是位于不同行不同行, , 不不同列同列的三个元素的乘积的三个元素的乘积, , 其中三项为正其中三项为正, , 三项为负三项为负. .说明说明1. 对角线法则（沙路

15、法）只适用于二阶与三阶对角线法则（沙路法）只适用于二阶与三阶行列式行列式 说明说明3. 对于对于n（n3）阶行列式，不能用沙路法定阶行列式，不能用沙路法定义义. . 094321112 xx方程左端为一个三阶行列式方程左端为一个三阶行列式, , 其值为其值为: :D = 3x2 + 4x + 18 12 2x2 9x = x2 5x + 6 由由D = x2 5x + 6 = 0 解得解得:x = 2 或或 x = 3. 对于一阶行列式，我们规定对于一阶行列式，我们规定aa这里这里是行列式符号，不是绝对值符号是行列式符号，不是绝对值符号问题：问题：如何定义一般的如何定义一般的 n 阶行列式阶行

16、列式？n 阶行列式一般有三种定义方式，第一种是抽象定阶行列式一般有三种定义方式，第一种是抽象定义方法，可以查阅同济大学线性代数教材，第二种是公义方法，可以查阅同济大学线性代数教材，第二种是公理化定义方法，第三种就是本教材所采用归纳定义法理化定义方法，第三种就是本教材所采用归纳定义法方法方法.首先对于三阶行列式首先对于三阶行列式，我们可以用二阶行列式来表示它我们可以用二阶行列式来表示它：,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223313233aaaDaaaaaa()1122332332aa aa a()1

17、221332331aa aa a()1321322231+aa aa a222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa,222321232122111213323331333132aaaaaaMMMaaaaaa这里这里分别称为元素分别称为元素111213a ,a ,a的余子式的余子式，并分别称并分别称1 11 21 3( 1),( 1),( 1)111112121313A=MA=MA=M为元素为元素111213a ,a ,a的代数余子式，于是的代数余子式，于是AA111112121313Da+ a A + a余子式余子式：ija的余子式的余子式就是在

18、就是在 D 中去掉中去掉所在的行所在的行ija与列后与列后，由剩下的元素按原来的次序排列成的低一阶的由剩下的元素按原来的次序排列成的低一阶的行列式行列式.代数余子式代数余子式：ija的代数余子式的代数余子式就是在就是在的余子式前的余子式前ija加上符号加上符号( 1)ij例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,333231232221131

19、21144aaaaaaaaaM .144444444MMA 对于二阶行列式对于二阶行列式11122122aaDaa,112222122121MaaMaa1 11 2( 1),( 1)111122121221A =MaA=M=a同样也有同样也有A11111212Da+ a A从上面的分析可以看到如果分别把从上面的分析可以看到如果分别把A11111212Da+ a AAA111112121313Da+ a A + a看作二阶行列式和三阶行列式的定义，那么这种定义看作二阶行列式和三阶行列式的定义，那么这种定义方式是统一的，即：方式是统一的，即：用低阶行列式定义高一阶的行列式用低阶行列式定义高一阶的行

20、列式.下面我们就用这种方法给出行列式的归纳定义下面我们就用这种方法给出行列式的归纳定义.和和三、三、n 阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义：由由 个数个数 组成的组成的 n 阶行列式阶行列式 2n( ,1,2, )i jnija111212122212nnnnnnaaaaaaD =aaa是一个算式是一个算式.当当n1 时，定义时，定义 1111；D =|a|= a当当 时，定义时，定义2nAAA1111121211111nnnjjj=Da+a A +aa其中其中111( 1)+ jjjA=M(1,2, )na212121231313131111jjnjjnjnnjnjnnaaaaaaaaMj

21、aaa称称 为元素为元素 的余子式，的余子式， 为元素为元素 的代数余子式。的代数余子式。1 jM1 ja1 jA1 ja说明：说明： 1122nn(1)a ,a ,a所在的对角线称为行列式的主对角所在的对角线称为行列式的主对角线线1122nna,a,a称为主对角元称为主对角元项项，且带正号的项和带负号的项各占一半且带正号的项和带负号的项各占一半，每一项都是每一项都是不同行不同列的不同行不同列的 n 个元素的积个元素的积 。（2 2）n 阶行列式由阶行列式由 个元素构成，其展开式中共有个元素构成，其展开式中共有2n!n例例1 1、证明、证明 n 阶阶下三角行列式下三角行列式的值为的值为 n 个

22、主对角元的个主对角元的乘积，即乘积，即000112122112212nnnnnnnaaaD =a aaaaa 主对角线以上的元素全为主对角线以上的元素全为0 0，即当，即当i j 时时，0.ija 证明：对证明：对 n 用数学归纳法用数学归纳法.下三角行列式下三角行列式：(1) 当当 n = 2 时时，112112221220，aDa aaa结论成立结论成立.(2) 假设结论对假设结论对 n1 阶下三角行列式成立，那么阶下三角行列式成立，那么对于对于 n 阶下三角行列式，由定义有阶下三角行列式，由定义有：00011212212nnnnnaaaD =aaa1 1( 1) 11a000223233

23、23nnnnaaaaaa()112233nnaa aa故所证结论成立故所证结论成立. n 阶阶对角线行列式对角线行列式00000011221122nnnnaaa aaa 主对角线以外的元素全为主对角线以外的元素全为0 0，即当，即当对角线行列式：对角线行列式：0000001122nnaaa是下三角行列式的特例，故也有是下三角行列式的特例，故也有i j 时时，0.ija 例例2 2、计算、计算 n 阶行列式（副对角线以上的元素全为阶行列式（副对角线以上的元素全为0）.000000nn-121naaDaa其中其中，0 (1,2, )iain，表示元素为任意数表示元素为任意数.12na aa 解：由

24、定义有解：由定义有00( 1)0 -121nnnnaDaaa1 1+ +( 1) nnna D+ +1 1- -1 111( 1) nnna D递推关系（递推公式）递推关系（递推公式）1212( 1)( 1) nnnnnaaD 122132( 1)( 1)( 1) nnnnaaa D21221310( 1)( 1)( 1)nnnnaaaaa (1) (2)2 1121( 1)nnnna aa a (1)2121( 1)n nnna aa a 记清结记清结论哦！论哦！由以上结论容易得到由以上结论容易得到：212Da a 3123Da a a 41234Da a a a512345Da a a a

25、 a四、四、n 阶阶行列式的性质行列式的性质行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的的转置行列式转置行列式. nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112nnTaaaD2211 记记 行列式的行与列互换，其值不变行列式的行与列互换，其值不变, , 即即 DT = D.性质性质1 1说明行列式对行成立的性质都适用于列说明行列式对行成立的性质都适用于列. . 下面仅对行讨论下面仅对行讨论. .性质都是性质都是很重要的！很重要的！由性质由性质 1 1 和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到和前面关于下三角行列式的结果马上可以得到上三角行列式

26、上三角行列式( (主对角线以下的元素全为主对角线以下的元素全为0 0) )的值等于的值等于主主对角元的积对角元的积，即即000111212221122nnnnnnnaaaaaD =a aaa行列式按任一行展开，其值相等，即行列式按任一行展开，其值相等，即11221niiiiininijijj=Da Aa Aa Aa A(1,2, )in其中其中( 1)ij ijijAMijM是是 D 中去掉第中去掉第 i 行第行第 j列的全部元素后剩下的元素列的全部元素后剩下的元素按原来的顺序排成的按原来的顺序排成的 n1 阶行列式阶行列式，称为称为ija的余子式的余子式，ijAija称为称为的的代数余子式代

27、数余子式.nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 即即 （1）行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以同一数中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式. （2） 若行列式的某一行若行列式的某一行( (列列) )的元素都是两数之和的元素都是两数之和, 那么该行列式可以写成两个行列式的和那么该行列式可以写成两个行列式的和. .例如：例如：11121112212niiiiininnnnnaaaabababaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa1112

28、11212niiinnnnnaaabbbaaa（1） 若行列式的某一行若行列式的某一行( (列列) )的元素都是的元素都是 n个数之和个数之和, ,那么该行列式可以写成那么该行列式可以写成 n 个行列式的和个行列式的和. 1112111122212niiiiiiinininnnnnaaaabcabcabcaaa111211212niiinnnnnaaaaaaaaa111211212niiinnnnnaaabbbaaa111211212niiinnnnnaaacccaaa例如例如：（2） 若行列式的某若行列式的某 m 行行( (列列) )的元素都是的元素都是 两两例如例如：说明说明：个数之和个数

29、之和, ,那么该行列式可以写成那么该行列式可以写成 个行列式的和个行列式的和. 2ma+ xb+ yc+ zd + wabc+ zd + wxyc+ zd + wabcdabzwxycdxyzw由性质由性质3马上得到马上得到：某行元素全为零的行列式其值为零某行元素全为零的行列式其值为零. .行列式中两行对应元素全相等，其值为零行列式中两行对应元素全相等，其值为零.证明证明： 当当D为二阶行列式时，结论显然成立为二阶行列式时，结论显然成立.假设当假设当 D 为为 n1 阶行列式时，结论成立。阶行列式时，结论成立。设行列式设行列式 D 的第的第 i 行和第行和第 j 行元素对应相等行元素对应相等.

30、则当则当D为为 n 阶行列式时，将阶行列式时，将D 按第按第k 行展开得：行展开得：,()ki j .1122kkkkknknD = a AaAa A其中，其中， 为为 k1 阶行列式，阶行列式， (1,2, )jnkjA且有两行元素对应相等，且有两行元素对应相等，= 0, (1,2, )jnkjA故故 0D由归纳假设知由归纳假设知行列式中两行对应元素成比例，其值为零行列式中两行对应元素成比例，其值为零.由性质由性质 3 和性质和性质 4 马上得到马上得到：在行列式中，把某行各元素分别乘以数在行列式中，把某行各元素分别乘以数k，再加到另一行的对应元素上，行列式的值不变再加到另一行的对应元素上，

31、行列式的值不变。（对行列式做倍加行变换，其值不变），即对行列式做倍加行变换，其值不变），即1112112112212niiinjijijninnnnnaaaaaaa+ kaa+ kaa+ kaaaa11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa在行列式的计算中，性质在行列式的计算中，性质3、5以及下面的性质以及下面的性质6经常经常用到，为书写方便，我们先引入几个记号用到，为书写方便，我们先引入几个记号。 用用 表示第表示第 i 行行, 表示第表示第 i 列列. iric交换行列式的第交换行列式的第 i, j 两行两行( (列列),),记作记作 ()ijijrrcc把行

32、列式的第把行列式的第 j 行行( (列列) )的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数 k 然后加然后加到第到第 i 行行( (列列) )对应的元素上去对应的元素上去, , 记作记作行列式的第行列式的第 i 行行( (列列) )乘以数乘以数k, 记作记作 ()iirkck ()ijijr + rkcck注意注意：ijr + r和和jir + r含义不同含义不同. （反对称性质反对称性质）行列式的两行对换，行列式的值反号行列式的两行对换，行列式的值反号.证明证明：11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaaijrr1112111221212nijijinjnjjjnnnn

33、naaaaaaaaaaaaaaajirr1112111221212nijijinjniiinnnnnaaaaaaaaaaaaaaaijrr11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaaijrr11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa 11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa 11121121212njjjniiinnnnnaaaaaaaaaaaa即即 行列式某一行行列式某一行( (列列) )的元素与另一行的元素与另一行( (列列) )

34、的对应的对应,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAaD 证明证明: : 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行展开行展开, , 得得元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零, , 即即10 ()1122nikjkijijinjnka Aa A +a A +a Aij,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 第第 j 行行第第 i 行行所以所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j 把把 ajk 换成换成 aik (k=1, 2, , n ), 当当 i

35、 j 时时, 可得可得关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质;01 jijiDDAaijnkjkik当当当当 .01 jijiDDAaijnkkjki当当当当 .01 jijiij当当当当 其中其中将性质将性质 2 2 和性质和性质 7 7 结合起来可以得到结合起来可以得到对列展开也有对列展开也有.2101044614753124025973313211 D例例1: 计算计算5阶行列式阶行列式解解:2101044614753124022010013211 Dr2 + 3r1r3 2r12101044614753140202010013211 210104435120140202010013211 2220035120140202010013211 r4 3r1r5 4r12220035120201001402013211 r2 r32220021100201001402013211 2220001000201001402013211 r4 + r2r4 + r36200001000201001402013211 r5 + 2r36000001000201001402013211 12 r5 + 2r4解解: 将第将第2, 3, , n 列都加到第一列得列都加到第一列得:例例2: