同济版高等数学教案第五章 定积分

1、高等数学教案 第五章 定积分 第五章 定积分 教学目的：1、 理解定积分的概念。2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：1、 定积分的性质及定积分中值定理2、 定积分的换元积分法与分部积分法。3、 牛顿莱布尼茨公式。 教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。4、 变上限函数的导数。5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y=f(x)在区间a, b上

2、非负、连续. 由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间a, b中任意插入若干个分点a=x0 x1 x2 xn-1 xn =b, 把a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 它们的长度依次为Dx1= x1-x0 , Dx2= x2-x1 , , Dxn = xn -x

3、n-1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形. 在每个小区间xi-1, xi 上任取一点x i , 以xi-1, xi 为底、f (x i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1, 2, , n) , 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值, 即Af (x 1)Dx1+ f (x 2)Dx2+ + f (x n )Dxn. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形

4、的宽度趋于零. 记l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令l0. 所以曲边梯形的面积为. 2. 变速直线运动的路程 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . 求近似路程: 我们把时间间隔T 1, T 2分成n 个小的时间间隔Dti , 在每个小的时间间隔Dti内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔Dti内某点x i的速度v(t i), 物体在时间间隔Dti内 运动的距离近似为DSi= v(t i) Dti .

5、把物体在每一小的时间间隔Dti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 , T 2内所经过的路程S 的近似值. 具体做法是: 在时间间隔T 1 , T 2内任意插入若干个分点T 1=t 0 t 1 t 2 t n-1 t n=T 2, 把T 1 , T 2分成n个小段t 0, t 1, t 1, t 2, , t n-1, t n , 各小段时间的长依次为Dt 1=t 1-t 0, Dt 2=t 2-t 1, , Dt n =t n -t n-1. 相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为DS 1, DS 2, , DS n. 在时间间隔t i-1, t i上任取一个时刻t i (t i

6、-1t i t i), 以t i时刻的速度v(t i)来代替t i-1, t i上各个时刻的速度, 得到部分路程DS i的近似值, 即 DS i= v(t i) Dt i (i=1, 2, , n). 于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即; 求精确值: 记l = maxDt 1, Dt 2, , Dt n, 当l0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程. 设函数y=f(x)在区间a, b上非负、连续. 求直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的曲边梯形的面积. (1)用分点a=x0x1x2 xn-1xn =b把区间a, b分成n个小区

7、间: x0, x1, x1, x2, x2, x3, , xn-1, xn , 记Dxi=xi-xi-1 (i=1, 2, , n). (2)任取x ixi-1, xi, 以xi-1, xi为底的小曲边梯形的面积可近似为 (i=1, 2, , n); 所求曲边梯形面积A的近似值为 . (3)记l=maxDx1, Dx2, , Dxn , 所以曲边梯形面积的精确值为 . 设物体作直线运动, 已知速度v=v(t)是时间间隔T 1, T 2上t的连续函数, 且v(t)0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S . (1)用分点T1=t0t1t2 t n-1tn=T2把时间间隔T 1 , T 2分成n个

8、小时间段: t0, t1, t1, t2, , tn-1, tn , 记Dti =ti-ti-1 (i=1, 2, , n). (2)任取titi-1, ti, 在时间段ti-1, ti内物体所经过的路程可近似为v(ti)Dti (i=1, 2, , n); 所求路程S 的近似值为 . (3)记l=maxDt1, Dt2, , Dtn, 所求路程的精确值为 . 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 在a, b中任意插入若干个分点a =x0 x1 x2 xn-1 xn=b, 把

9、区间a, b分成n个小区间x0, x1, x1, x2, , xn-1, xn , 各小段区间的长依次为Dx1=x1-x0, Dx2=x2-x1, , Dxn =xn -xn-1. 在每个小区间xi-1, xi上任取一个点x i (xi-1 x i xi), 作函数值f (x i)与小区间长度Dxi的乘积f (x i) Dxi (i=1, 2, , n) , 并作出和. 记l = maxDx1, Dx2, , Dxn, 如果不论对a, b怎样分法, 也不论在小区间xi-1, xi上点x i 怎样取法, 只要当l0时, 和S 总趋于确定的极限I, 这时我们称这个极限I为函数f (x)在区间a,

10、b上的定积分, 记作, 即 .其中f (x)叫做被积函数, f (x)dx叫做被积表达式, x叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b叫做积分区间. 定义 设函数f(x)在a, b上有界, 用分点a=x0x1x2 xn-1b时, . 性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 . 证明: . 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 . 这是因为. 性质3 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即 . 这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性. 值得注意的是不论a ,b ,c的相对位置如何总有等式 成立.

11、 例如, 当abc时, 由于 , 于是有 . 性质4 如果在区间a b上f (x)1 则 . 性质5 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 (ab). 推论1 如果在区间a, b上 f (x) g(x) 则 (ab). 这是因为g (x)-f (x)0, 从而 , 所以 . 推论2 (ab). 这是因为-|f (x)| f (x) |f (x)|, 所以 , 即 | . 性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 (ab). 证明 因为 m f (x) M , 所以 , 从而 . 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积

12、分区间a, b上至少存在一个点x , 使下式成立: . 这个公式叫做积分中值公式. 证明 由性质6 ,各项除以b-a 得 ,再由连续函数的介值定理, 在a, b上至少存在一点x , 使 ,于是两端乘以b-a得中值公式 . 积分中值公式的几何解释: 应注意: 不论ab, 积分中值公式都成立. 5. 2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻所经过的路程为S(t), 速度为v=v(t)=S(t)(v(t)0), 则在时间间隔T1, T2内物体所经过的路程S可表示为 及,即 . 上式表明, 速度函数v(t)在区间T1, T2上的定积分

13、等于v(t)的原函数S(t)在区间T1, T2上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ 二、积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间a, b上连续, 并且设x为a, b上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间a, x上的定积分 称为积分上限的函数. 它是区间a, b上的函数, 记为F(x), 或F(x)=. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数 F(x)在a, b上具有导数, 并且它的导数为 F(x)(ax0, 则同理可证F+(x)= f(a); 若x=b , 取Dx0. 证明函数在(0, +)内为单调增加函数. 证明: , . 故.按假设, 当0t0, (

14、x-t)f (t) 0 , 所以, , 从而F (x)0 (x0), 这就证明了F (x) 在(0, +)内为单调增加函数. 例7. 求. 解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则, . 提示: 设, 则. . 5. 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数f(x)在区间a, b上连续, 函数x=j(t)满足条件: (1)j(a )=a , j(b)=b; (2)j(t)在a, b(或b, a)上具有连续导数, 且其值域不越出a, b, 则有. 这个公式叫做定积分的换元公式. 证明 由假设知, f(x)在区间a, b上是连续, 因而是可积的; f j(t)j(t)在区

15、间a, b(或b, a)上也是连续的, 因而是可积的. 假设F(x)是f (x)的一个原函数, 则=F(b)-F(a). 另一方面, 因为Fj(t)=F j(t)j(t)= f j(t)j(t), 所以Fj(t)是f j(t)j(t)的一个原函数, 从而=Fj(b )-Fj(a )=F(b)-F(a). 因此 . 例1 计算(a0). 解 . 提示: , dx=a cos t . 当x=0时t=0, 当x=a时. 例2 计算. 解 令t=cos x, 则 . 提示: 当x=0时t=1, 当时t=0. 或 . 例3 计算. 解 . 提示: . 在上|cos x|=cos x, 在上|cos x|

16、=-cos x. 例4 计算. 解 . 提示: , dx=tdt; 当x=0时t=1, 当x=4时t=3. 例5 证明: 若f (x)在-a, a上连续且为偶函数, 则 . 证明 因为,而 , 所以 . 讨论: 若f(x)在-a, a上连续且为奇函数, 问？ 提示: 若f (x)为奇函数, 则f (-x)+f (x) =0, 从而 . 例6 若f (x)在0, 1上连续, 证明 (1); (2). 证明 (1)令, 则 . (2)令x=p-t, 则 , 所以 . 例7 设函数, 计算. 解 设x-2=t, 则 . 提示: 设x-2=t, 则dx=dt; 当x=1时t=-1, 当x=4时t=2.

17、 二、分部积分法 设函数u(x)、v(x)在区间a, b上具有连续导数u(x)、v(x), 由(uv)=uv +u v得u v=u v-uv , 式两端在区间a, b上积分得, 或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程: . 例1 计算. 解 . 例2 计算. 解 令, 则 . 例3 设, 证明 (1)当n为正偶数时, ; (2)当n为大于1的正奇数时, . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , , 而, , 因此 , . 例3 设(n为正整数), 证明 , . 证明 =(n-1)I n- 2-(n-1)I n , 由此得 . , .特别地 , .因此 ,

18、. 5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义1 设函数f(x)在区间a, +)上连续, 取ba . 如果极限 存在, 则称此极限为函数f(x)在无穷区间a, +)上的反常积分, 记作, 即. 这时也称反常积分收敛. 如果上述极限不存在, 函数f(x)在无穷区间a, +)上的反常积分就没有意义, 此时称反常积分发散. 类似地, 设函数f(x)在区间(-, b 上连续, 如果极限(a0). 解 . 提示: . 例3 讨论反常积分(a0)的敛散性. 解 当p=1时, . 当p1时, . 因此, 当p1时, 此反常积分收敛, 其值为; 当p1时, 此反常积分发散. 二、无界函数的反常积分 定义2 设函数f(x)在区间(a, b上连续, 而在点a的右邻域内无界. 取e0, 如果极限存在, 则称此极限为函数f(x)在(a, b上的反常积分, 仍然记作