定积分在几何上的应用体积、弧长

1、1. 平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积二、立体的体积二、立体的体积2. 旋转体的体积旋转体的体积xA(x)xab1. 平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积( )dVA x dx ( ).baVA x dx 为积分变量，为积分变量，取取x , ,a bx x dx 在在上上任任取取一一小小区区间间 ，相相应应的的小小片片立立体体的的体体积积微微元元x+dx( )A x已已知知平平行行截截面面面面积积为为的的立立体体，求求其其体体积积. .oRxyx解解取坐标系如图，取坐标系如图，222Ryx ,RRx 任取任取例例1底圆方程为底圆方程为体积体积截面面积

2、截面面积2211( )tan()tan22A xy yRx，dxxRRR tan)(2122 .tan323 R ( )RRVA x dx oRxy思考思考: : 可否选择可否选择 y y 作积分变量作积分变量 ? ?此时截面面积是什么此时截面面积是什么 ? ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ? ?),(yx( ) A y 提示提示: :2|tan xy 222tan y Ry V 02tan R 22y Ry dy .tan323 R 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为，222Ryx xyoRx垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形截面面积截面面积22

3、( )|A xhyh Rx 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR h 一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周一平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2. 旋转体的体积旋转体的体积而成的立体称为而成的立体称为旋转体旋转体定直线称为定直线称为旋转轴旋转轴,bax dxxfdV2)( xdxx xyo则旋转体的体积为则旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 体体积积为为体体积积元元素素，即即为为高高的的扁扁圆圆柱柱体体的的为为底底半半径径、取取以以dxxf)(dxxfVba2)( 注意：注意：该积分公式的适用条件该积分公式的适用条件;1轴轴是是旋旋转转轴轴

4、、 x;)(2轴轴上上在在边边轴轴所所围围成成，即即图图形形的的一一及及、由由连连续续曲曲线线、旋旋转转平平面面图图形形是是一一个个xxbxaxxfy ，任取任取,bax 体积为体积为2221( )( ).baVfxfx dx 轴，轴，作平面垂直于作平面垂直于过点过点xx截截旋旋转转体体的的截截面面为为环环面面，其其面面积积为为2221( )( )( )A xfxfx 1212( )( )( )( )yf xyfxf xfxxaxb abx 一一般般地地，由由连连续续曲曲线线，（0 0），以以及及直直线线，( (所所围围图图形形绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所成成立立体体的的体体积积为为yr解解h

5、Pxhry xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrVh20 23203hrxh 2.13r h 例例3 的直线，直线的直线，直线及点及点连接坐标原点连接坐标原点),(rhPO轴轴，将它绕，将它绕轴围成一个直角三角形轴围成一个直角三角形及及xxhx 的圆锥体，的圆锥体，高为，高为旋转得到一个底半径为旋转得到一个底半径为hr计计算算圆圆锥锥体体的的体体积积xayxb例例4. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性利用对称性)3222312xxa

6、ab0a234aboaV02xy d2x方法方法2 利用椭圆利用椭圆参数方程参数方程tbytaxsincos则xyVad20223202sinabtdt22 ab32234ab1 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343a解解22(2)1.xyx 求 求由由所所的的形形旋旋 一 一周周而而成成的的体体的的体体圆围图绕轴转环积例例 5221,yx上上半半的的方方程程圆为221,yx下下半半的的方方程程圆为11, xx 取取 为为积积分分变变量量，则则，11211( )81VA x dxx dxx处处的的截截面面为为圆圆环环面面，面面积积为为22222( ) 212181A xx

7、xx （） （）所所求求的的体体积积为为24 )(yx cddyxVdc 2 .)(2dyydc 其体积为其体积为xyo2( )A yx 2( )y ， y 处的截面面积处的截面面积dyyVdc2)( 注意：注意：该积分公式的适用条件该积分公式的适用条件;1轴轴、旋旋转转轴轴为为 y;)(2轴轴上上边边在在轴轴所所围围成成，即即图图形形的的一一及及、由由连连续续曲曲线线、旋旋转转平平面面图图形形是是一一个个yydycyyx 24640yxxy 求求例例曲曲线线及及、所所围围图图形形.yyV绕绕轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积解解 440(16)16yyVdy 540164|80y.

8、5256 0 4 , yy 取取 为为积积分分变变量量，则则，y处处的的截截面面为为圆圆环环面面，面面积积为为4( )(16)16yA y 例例7. 计算由摆线计算由摆线 一拱一拱 与与x轴轴 所围的图形绕所围的图形绕 y轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.(sin )(1cos )xa ttyat (02 )t 解解 222120()()yayyxxVdy 22212200()()aay dyyxxdy 323220(sin ) sin(sin ) sintttdttttdtaa 3220(sin ) sintttdta 336a oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 0

9、2 ,yya 取取 为为积积分分变变量量，则则，y处处的的截截面面为为圆圆环环面面，面面积积为为2221( )( )( )A yxyxy dxxdxxxVy 402340422 5256 绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成，求求其其体体积积. (柱壳法柱壳法)dxxfxdV)( 2 体体积积元元素素2( )baVxf x dx 2yx 4x 利用这个公式，可知上利用这个公式，可知上 例例6 中中sin0 0 yxxxy求求、及及所所围围图图形形1.y 绕绕直直线线旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积解解 22210()Vyydx 02)sin2(sindxxx.422 222100()(s

10、in1)Vyydxxdx 常见错误常见错误20(sin1)1xdx 截面是环面截面是环面例例 8 8旋转轴不是坐标轴的情形旋转轴不是坐标轴的情形:已知平行截面面面积已知的立体体积( )baVA x dx 旋转体的体积旋转体的体积2( ) A xy 绕绕 x 轴轴 :2dVxydx 绕绕 y 轴轴 :(柱壳法柱壳法)2( )A yx 2( )byaVxf x dx 2dycVx dy 2bxaVy dx 小结：小结：三、三、平面曲线的弧长平面曲线的弧长 1. 平面曲线的弧长的概念平面曲线的弧长的概念 直角坐标情形直角坐标情形 极坐标情形极坐标情形 参数方程情形参数方程情形 2. 平面曲线的弧长的

11、计算公式平面曲线的弧长的计算公式xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时， 1. 平面曲线的弧长的概念平面曲线的弧长的概念定理定理: : 任意任意光滑光滑曲线弧都是可求长的曲线弧都是可求长的.xoyabxdxx 以以对对应应小小切切线线段段的的长长代代替替小小弧弧段段的的长长 dy小小切切线线段段的的长长22()()dsdxdy弧长微元

12、弧长微元21dsy dx 弧长弧长.12dxysba 2. 平面曲线的弧长计算公式平面曲线的弧长计算公式 (1) 曲线方程为直角坐标表示曲线方程为直角坐标表示21dsxy dy （ ）21( ).dcsxy dy dx注注： 上限大于下限上限大于下限曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长22( )( ) ()stt dt 2.2.曲线方程为参数表示曲线方程为参数表示曲线弧为曲线弧为)( ( ) ( )cos( )sinxy )( 22)()(dy

13、dxds 22( )( ),d 弧长弧长22( )( ).sd 3.3.曲线方程为极坐标表示曲线方程为极坐标表示xo( ) 注意：注意： ()dsd ds解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例2. 2. 解解33cos,sin(0)xat yat a 计计算算星星形形线线的的全全长长. .由由对对称称性性，星星形形线线的的全全长长为为其其在在第第一一象象限限弧弧长长的的4 4倍倍. .22( )3 cossin ,( )3 sincos ,x tatty tatt 22( )( ) 3 sin cos,d

14、sxtyt dtattdt 弧弧长长元元素素故故星星形形线线的的全全长长为为2222004( )( )12sin cos6sxtyt dtattdta0,2tt 选选 为为积积分分变变量量，例例3. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin220 2cos22ta02a8xyoa2d222aa例例4. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aa xa2o a d)()(22 sdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aatan ) t( (令令例例5. 求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cos t22 txysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x422 x解解nnxny1sin ,sinnx dxysn 021dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn