高等代数10群,环和域简介

1、第十章 群，环和域简介 10.1 10.1 群 10.2 10.2 剩余类加群 10.3 10.3 环和域 令是一个非空集合令是一个非空集合,它带有一个代数运算它带有一个代数运算,叫做乘叫做乘:对对于任意于任意(a,b)GGG G, ,有有G G中唯一确定的元素中唯一确定的元素, ,记作记作abab, ,与它对与它对应应, ,叫做叫做a a与与b b的积的积. .如果下列条件被满足如果下列条件被满足, ,那么就说那么就说G G关于这关于这个乘法作成一个群个乘法作成一个群: :(1) 对于任意a,b,cG都有 (ab)c=a(bc)(2)在G中存在一个元素e,叫做G的单位元,它具有性质:对于任意

2、aG, ea=ae=a.定义定义1 1(3)对于G的每一个元素a,存在G的一个元素a-1,使得 a-1a=aa-1=e. a-1叫做a的逆元.一个群的单位元是唯一的一个群的单位元是唯一的. .群中每一个元素群中每一个元素a a的逆元的逆元是由是由a a唯一确定的唯一确定的. . 令Q+是全体正有理数所成的集合.Q+对于数的乘法作成一个群.同样,全体正实数所成的集合R+对于数的乘法作成一个群.例 1定理定理10.1.110.1.1 设a1,a2, ,an是一个群G 中任意n(n1)个元素,只要不调换这n个元素的先后次序,用任何一种加括号的方式作乘法所得的结果都相等. 设G是一个阿贝尔群.G的任意

3、n(n1)个元素a1,a2, ,an的乘积a1a2a3里,因子的次序可以任意调换. 一个数域F上的向量空间V对于向量的加法来说作成一个群.例 2定理定理10.1.210.1.2定理定理10.1.310.1.3 群群G的满足下列条件的非空子集的满足下列条件的非空子集H叫做叫做G的一个子群的一个子群:定义定义2 2 任意群G本身和只含单位元e的子集e显然是G的子群,称作G的平凡子群. 1) 如果aH,bH,那么abH;2) 如果aH,那么a-1H.例 3 设f:G H是一个群同态. 设设G和和H是群是群, f:G H是一个映射是一个映射.如果对于如果对于G的任意元的任意元素素a,b,都有都有定义定

4、义3 3f(ab)=f(a)f(b),那么称f是一个同态映射.1) Imf是H的一个子群,Kerf是G的一个子群;2) F是群同构当且仅当Imf=H而Kerf=eG,这里eG是G的单位元3) 如果f是群同构,那么f-1:H G也是群同构.定理定理10.1.410.1.4定理定理10.2.110.2.1设n是一个正整数.(i)以n为模的剩余类C0,C1，Cn-1都是Z的非空子集。 (ii)每一个整数一定属于且只属于一个上述剩余类。因而这n个剩余类两两不相交，并且 Z=C0C1Cn-1.(iii)两个整数x与y属于同一个剩余类必要且只要 xy(mod n)定理定理10.2.210.2.2Zn对于如

5、上所定义的加法来说作成一个阿贝尔群。定义定义1 1设设R是一个非空集合是一个非空集合.R带有两个运算带有两个运算,分别叫做加法和分别叫做加法和乘法乘法,如果下列条件被满足如果下列条件被满足,就称就称R是一个环是一个环:1.R对于加法来说作成一个阿贝尔群对于加法来说作成一个阿贝尔群;2.R的乘法满足结合律的乘法满足结合律:对于对于R中任意元素中任意元素,a,b和和c,等式等式 (ab)c=a(bc)成立成立;3.加法与乘法由分配律联系着加法与乘法由分配律联系着:对于对于R中任意元素中任意元素a,b和和c等式等式 a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca成立成立;定理定理10.3.110

6、.3.1设设R R是一个环是一个环. .(i)(i)对于任意对于任意a a1 1,a,a2 2,a,an n, bR, bR, , b(a b(a1 1+a+a2 2+a+an n)=ba)=ba1 1+ba+ba2 2+ba+ban n; ; (a (a1 1+a+a2 2+a+an n)b)b=a=a1 1b+ab+a2 2b+ab+an nb b. .(ii)(ii)对于任意对于任意a,b,cRa,b,cR， a(b-c)=ab=ac.a(b-c)=ab=ac. (b-c)a=ba (b-c)a=ba-ca.-ca.(iii)(iii)对于任意对于任意aRaR, , 0a=a0=0. 0

7、a=a0=0.(iv)(iv)对于任意对于任意a,bR,a,bR, (-a)b=a(-b)=-(ab). (-a)b=a(-b)=-(ab). (-a)(-b)=ab (-a)(-b)=ab. . 定义定义2 2若是在一个环若是在一个环R里，里， a0,b0但但ab=0,我们就说，我们就说，a是是R的一个左零因子，的一个左零因子，b是是R的一个右零因子的一个右零因子.一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子一个环的左零因子和右零因子都叫这个环的零因子.定理定理10.3.110.3.1以下两个条件对于一个环以下两个条件对于一个环R来说是等价的：来说是等价的：（i） R没有零因子；没有零因子；

8、（ii）在）在R中消去律成立：中消去律成立： ab=ac 且且a0 = b=c , ba=ca 且且 a0 = b=c ,定理定理10.3.310.3.3在一个有单位元的环里，全体可逆元对与环的乘法来说作成在一个有单位元的环里，全体可逆元对与环的乘法来说作成一个群一个群.定义定义3 3设设F是一个有单位元是一个有单位元10的交换环的交换环.如果如果F的每一个非零元的每一个非零元素都是可逆元，那么就称素都是可逆元，那么就称F是一个域是一个域.定理定理10.3.410.3.4设设n是一个正整数是一个正整数.Zn是以是以n为模的剩余类环为模的剩余类环.(i) 如果如果n是一个合数是一个合数,那么那么

9、Zn有零因子有零因子.(ii) 如果如果n是一个素数是一个素数,那么那么Zn是一个域是一个域.定义定义4 4设设F是一个域是一个域.使得使得p1=0的最小正整数的最小正整数p叫做域叫做域F的特征的特征.如果不存在正整数如果不存在正整数p,使得使得p1=0,那么就说域那么就说域F的特征是零的特征是零.定理定理10.4.510.4.5设设F是一个域是一个域.(i)如果如果charF=0.那么对于那么对于F中任意非零元素中任意非零元素a和和nZ, na=0 n=0.(ii)如果如果charF=p0,那么对于那么对于F的任意非零元素的任意非零元素a,和和nZ, na=0 p | n .定理定理10.4

10、.610.4.6设设F是一个特征为素数是一个特征为素数p的域的域. 在在F里以下等式成立里以下等式成立: (x+y)p=xp+yp , x , yF .定义定义环环R的一个满足以下条件的子集的一个满足以下条件的子集S叫做叫做R的一个子环的一个子环:(i) S对于对于R的加法来说作成加法群的加法来说作成加法群R的一个子群的一个子群;(ii) 如果如果a , b S,那么那么 abS.域域F的一个满足以下条件的子集的一个满足以下条件的子集K叫做叫做F 的一个子域的一个子域:(i) K不只含有一个元素不只含有一个元素;(ii) K是是F的一个子环的一个子环;(iii) 如果如果aK 且且a0,那么那么 a-1K . 定义定义设设R和和R都是环都是环(或域或域) .f:RRR 是一个映射是一个映射. . 如果对于如果对于R R中任意元素中任意元素a,ba,b, ,都有都有 f(a+b)=f(a)+f(b