专题训练蚂蚁爬行地最短路径

1、蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点 0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5, -3, +10, -8, -9, +12 ,-10.I I II I £Y-109-7-6-5-4-3-2-1 0 I 2 3 4 5 7 T 9W回答下列问题：(1) 蚂蚁最后是否回到出发点0 ；(2) 在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.解：(1)否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到 0;(2) (|+5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜9|+|+12|+卜10|) X2=114 粒2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正

2、方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.第6题解：如图将正方体展开，根据两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线.AB= 2 125 .3. ( 2006?)如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B的最短路程是cm解：由题意得，从点 A沿其表面爬到点 B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4 .路线是（）A. A? P? BB. A? Q? BC. A? R? BD . A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A.故选A.5.如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2,蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）解：

3、如图，AB= , 1 2 2 12,10 .故选 C.6.正方体盒子的棱长为 2,BC的中点为M，只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）解：展开正方体的点 M所在的面，/ BC的中点为M ,1所以 MC= BC=1 ,2在直角三角形中 AM=.7如图，点 A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在 盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是 cm。解：将盒子展开，如图所示：1111AB=CD=DF + FC= EF+ GF= X20+ X20=20cm.2 2 2 2故选C.8. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为 M, 只蚂蚁从 A点爬行到 M点的最短距离为.解：

4、将正方体展开，连接 M、D1,根据两点之间线段最短，MD = MC+CD=1+2=3，MD1= . MD2 DU2. 32 22.13 .9. 如图所示一棱长为 3cm的正方体，把所有的面均分成 3X3个小正方形.其边长都为1cm, 假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 A沿表面爬行至侧面的 B点，最少要用 2.5 秒钟.解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.(1) 展开前面右面由勾股定理得 AB= = cm；(2) 展开底面右面由勾股定理得 AB= =5cm；所以最短路径长为 5cm,用时最少：5吃=2.5秒.10. (2009?州)

5、如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20，点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是 。解：将长方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短，AB= =25 .11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示)，问怎样走路线最短？最短路线长为 .解：正面和上面沿 AiBi展开如图，连接 ACi, ABCi是直角三角形,- ACi= ： AB BCi41 24 3512如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从 A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。解：由题意得

6、，路径一：AB=；路径二：AB= =5 ；路径三：AB=; > 5, 5米为最短路径.13.如图，直四棱柱侧棱长为 4cm,底面是长为5cm宽为3cm的长方形.一只蚂蚁从顶点 A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B.求：(1 )蚂蚁经过的最短路程；(2 )蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.解：(1) AB的长就为最短路线.然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为(cm);若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为(cm),或(cm)所以蚂蚁经过的最短路程是cm.(2)5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm,最长路程是30cm.14.如图，在一个长为50cm

7、,宽为40cm,高为30cm的长方体盒子的顶点 A处有一只蚂蚁,它要爬到顶点B处去觅食，最短的路程是多少?解：图1中，cm.图2中，cm.图3中，cm.采用图3的爬法路程最短，为cm15.如图，长方体的长、宽、高分别为6cm, 8cm, 4cm. 只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是 解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm,则所走的最短线段是 =6 cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm,所以走的最短线段是 =cm;第三种情况：把我们所看到的前面和右

8、面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm,所以走的最短线段是 =2 cm；三种情况比较而言，第二种情况最短.16. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm. A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B的最短路程为 cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm,宽为(2+3) X3cm,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm,由勾股定理得：x2=202+ ( 2+3) X32=252,解得x=25 .故答案为25.17

9、. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是 cm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=3X3+1X3=12 , BC=5, 所以 AB2=AC2+BC2=169,所以 AB=13 (cm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm.18. ( 2011?荆州)如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达 Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为

10、cm.解：/ PA=2X (4+2) =12, QA=5 PQ=13.故答案为：13.19. 如图，一块长方体砖宽 AN=5cm,长ND=10cm, CD上的点B距地面的高 BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少?解：如图1在砖的侧面展开图 2上，连接AB, 则AB的长即为A处到B处的最短路程.因为 AD=AN + ND=5+10=15 , BD=8,所以 AB2=AD2+ BD2=152+82=289=172.所以 AB=17cm.故蚂蚁爬行的最短路径为17cm.20. (2009?)如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙) 蚂蚁从柜角A

11、处沿着木柜表面爬到柜角 C1处.，有一只(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;(2)当AB=4, BC=4, CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长;(3)求点B1到最短路径的距离.解：(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC1D1和ACC1A1.故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AiC'i和ACi. （2分）（2） 蚂蚁沿着木柜表面经线段 AiBi到Ci，爬过的路径的长是 .（3分）蚂蚁沿着木柜表面经线段 BBi到Ci，爬过的路径的长是 .（4分）li> 12,故最短路径的长是.（5分）（3）作 BiE丄 ACi 于 E,则？ ？为所求.（8分）2i 有一

12、圆柱体如图，高 4cm,底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到蚁爬行的最短距离.解：AC的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C, D分别是BE, AF的中点.AF =2 n5=i0 兀 AD=5 兀AC= JaD2 CD2 i6m.故答案为：i6cm.22.有一圆形油罐底面圆的周长为24m,高为6m, 一只老鼠从距底面 im的角B处吃食物，它爬行的最短路线长为 .C处，求蚂A处爬行到对解：AB= v52 i22 i3m23如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AAi的端点A到达Ai,若圆柱底面半径为，高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为6解：因为圆柱底面圆的周长为2nX-6=12，高为5,所以将侧面展

13、开为一长为 12,宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为=13.故蚂蚁爬行的最短距离为 13.24. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为9cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为 24cm,则 AD=24X =i2cm.2又因为 CD=AB=9cm,所以 AC= =15cm.故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15cm.故答案为：15.25. （ 2006?荆州）有一圆柱体高为 10cm,底面圆的半径为 4cm, AA1, BB1为相对的两条母 线.在AA1上有一个蜘蛛 Q

14、, QA=3cm;在BB1上有一只苍蝇 P, PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体 侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm.（结果用带 n和根号的式子表示）解：QA=3, PB1=2 ,即可把PQ放到一个直角边是 4 n和5的直角三角形中，根据勾股定理得：QP =A处爬行到对26. 同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从面的中点B处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.问题：某正方体盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从 A处爬行到侧棱 GF上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图.解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、B分别位于如图所示的

15、位置,连接AB,即是这条最短路线图.如图，将正方体中面图所示的位置，连接 AM，即是这条最短路线图.27. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm,假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点 P处的食物，那么它爬行的最短路程是.解：圆锥的底面周长是n 4180 n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°,在圆锥侧面展开图中 AP=2 , AB=4，/ BAP=90° ,在圆锥侧面展开图中BP= . 20 2 = 5 ,故答案是：2 . 5 cm.28. 如图，圆锥的底面半径 R=3dm,母线l=5dm, AB为底面直径，C为

16、底面圆周上一点，/ COB=150°, D为VB上一点，VD=.现有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到D .则蚂蚁爬行的最短路程是（）解：=,设弧BC所对的圆心角的度数为 n,解得n=90,/ CVD=90°, CD= =4 ,29. 已知圆锥的母线长为 5cm,圆锥的侧面展开图如图所示，且/AOAi=120 ° 只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点 A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为 。解：连接AA',作OC丄AA 于 C,圆锥的母线长为 5cm,/ AOAi=l20 ° AA ' =AC=5、3 .30. 如图，底面半径为

17、1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 .第4题解：由题意知，底面圆的直径为2,故底面周长等于2n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,解得n=90°，4 n180所以展开图中圆心角为90°31. (2006?)如图，底面半径为1,母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面根据勾股定理求得到点 A的最短的路线长是：-,16 16.32 4 2 .周又回到A点，它爬行的最短路线长是 解：由题意知底面圆的直径 =2,故底面周长等于2n设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°4n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2n=4

18、n-180解得n=90° ,所以展开图中的圆心角为 90°根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为4、2 .32. (2009?)如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6, D为PB的中点.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为解：由题意知，底面圆的直径 AB=4,故底面周长等于4 n设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4庐I ,360解得 n=120° , 所以展开图中/ APD=120°吃=60° , 根据勾股定理求得 AD= 3.3 ,所以蚂蚁爬行的最短距离为3.3 .33.如图，圆锥底面半径为 r，母线长为3r，底面圆周上有一蚂蚁位于 A点，它从A点出发 沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径.解：把圆锥沿过点 A的母线展成如图