专题三导数的几何意义及简单应用讲义理

1、专题三数的几何意义及简单应用一(4三年考情纵横研究：卷I卷n卷川2018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程T5利用导数的几何意义求切线方程 T13利用导数的几何意义求参数值T14利用导数讨论函数的单调性T21(1)2017利用导数讨论函数的单调性T21(1)导数的运算、利用导数求函数极值 T11利用导数的极值点求参数T21(1)2016导数的计算与几何意义、直 线方程、斜率计算公式T16函数的奇偶性、利用导数的几何意义求切线方程 T15利用导数公式直接求导T21(1)纵向把握趋势卷I 3年3考，涉及导数 的几何意义以及讨论函数 的单调性，其中利用导数 求切线方程难度偏小，而 用导数讨论

2、函数的单调性 难度偏大预计 2019年 仍会以解答题的形式考查 函数单调性的讨论卷n 3年4考，涉及导数的 运算、几何意义以及利用导 数求函数的极值，题型为选 择、填空题，难度适中预 计2019年高考会考查利用 导数讨论函数的单调性，难 度偏大卷川3年3考，涉及 导数公式及导数几何 意义的应用，题型多 为填空题.预计 2019 年仍会考查导数几何 意义的应用，另外，要 重点关注利用导数研 究函数的单调性横向把握重点1.高考对导数的几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小.2高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题， 多在选择、填空的后几题中出现，难度中等，有

3、时也出现在解答题第一问.3 近几年全国卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能 忽略.保分考法练为主导；导数的几何意义题组全练1. (2018 全国卷I )设函数f (x) = x3+ (a 1)x即 y = x+ In x° 1. X0 因为切线过点(0， 1),则一1= In x° 1,即 X0= 1,所以切线方程为y= x 1,即 x y 1 = 0,+ ax,若f (x)为奇函数，则曲线 y =f (x)在点(0,0)处的切线方程为()A. y = 2xB. y= xC. y = 2xD. y= x32解析：选 D /f (x) = x + ( a

4、1)x+ ax,2'f '(x) = 3x + 2( a 1)x + a.又 f (x)为奇函数， f ( x) = f (x)恒成立， 即一x3 + (a 1)x2 ax= x3 (a 1)x2 ax 恒成立，2 a= 1,. f '(x) = 3x +1, f ' (0) = 1,曲线y = f (x)在点(0,0)处的切线方程为y = x.2. 过点(0， 1)的直线I与曲线y = In x相切，则原点到I的距离为()所以切线方程为1y In xo= (x xo),1A. 1B.1c返C. 2D. 2解析：选C设切点为（X0, In X。）.由 y = I

5、nx，得 y'= x，所以直线I 的斜率 k = y'| x = x° =所以原点到I的距离d =I -11V22兀,故选C.X 13. （2018 唐山模拟）曲线y = x与其在点（0， 1）处的切线及直线 x = 1所围成的封X T I闭图形的面积为（）A. 1 In 2B.2 2ln 2C. 2In 2 1D.In 2X 1x 12x 1解析：选C因为y=，所以y'X + 1/X+ 1=右厂，则曲线y=x+ 1在（°,X一 11)处的切线的斜率k= 2,切线方程为y= 2x 1,则曲线y = 与其在点(0， 1)处的切Z. I I1 X 1求过

6、切点切线问题的基本思路设曲线在（xo, yo）处的切线为l，则根据k切=f 'X。, 切点在切线I上，建立方程组求解.切点在曲线上22线及直线x = 1所围成的封闭图形的面积S= 02x 1 齐dx = 02x 1 1 + XT7dx = x12x + 2ln( x + 1)= 2ln 2 1.04. (2018 全国卷川)曲线y = (ax + 1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为一2，贝U a =x解析:讨'=(ax+ a+ 1)e，二当 x= 0 时，y'= a+ 1, a+ 1 = 2，解得 a= 3.答案：35. 已知曲线y= x+ In x在点(1,1)处

7、的切线与曲线 y= ax过非切点的切线的求法设出切点坐标（X0, f（X0）,先求出在X = X0处的切线方程，然后把所过点的坐标代入即+ ( a+ 2) x+1相切，则a =1解析：由y = x + In x，得y '= 1 + -，则曲线y = x+ In x在点(1,1)处的切线斜率为x222,故切线方程为 y= 2x 1,与 y = ax + (a+ 2)x + 1 联立，得 ax + ax + 2= 0，显然 a*0,2所以由 A = a 8a= 0? a= 8.答案：8系统方法求出Xo，从而得出切线方程.3.由曲线的切线求参数的方法已知曲线在某点处的切线求参数的关键是用“方

8、程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值.考法二利用导数研究函数的单调性x (In a, 0)时，e 12 x设 h( x) =，贝V h'( x) = -,由 h'(x)>0，得 x<2 ;由 h'(x)<0,得 x>2,所以h(x)在(-g, 2)上单调递增，在(2 ,+g)上单调递减，- a>0, h'(x)<0，函数 h(x)单调递减；x (0,+)时，ex - a>0, h'(x)>0，函数 h(x)单调

9、递增. 若a= 1,U In a= 0,所以x R时，h'(x) >0,函数h(x)在R上单调递增. 若 a>1,则 In a>0,所以 x ( g, 0)时，ex-a<0, h'(x)>0，函数 h(x)单调递增；x (0 , In a)时，ex- a<0, h'(x)<0，函数 h(x)单调递减；x (In a,+g)时，ex-a>0, h'(x)>0，函数 h(x)单调递增.综上所述，当aw0时，函数h(x)在(0，+g)上单调递增，在(-g, 0)上单调递减；当0<a<1时，函数h(x)在

10、(一g, In a), (0，+g)上单调递增，在(In a, 0)上单调递 减；当a= 1时，函数h(x)在R上单调递增；当a>1时，函数h(x)在(一g, 0) , (In a,+g)上单调递增，在(0 , In a)上单调递 减.类题通法讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：(1) 最高次幕的系数是否为 0 ；(2) 导函数是否有变号零点；(3) 导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内； 导函数的变号零点之间的大小关系.

11、角度二已知函数的单调性求参数范围x例2 已知函数 f (x) = x+ ax+ b( a, b R). e(1)若函数f (x)在R上是增函数，求实数 a的取值范围;(1) fxxe 2 e 若函数f (x)在(一1,3)上单调，求实数a的取值范围.x 1 x + aex_ + a= xe设g(x) = 1 -x + aex,由题意知g(x) >0在R上恒成立，即1 - x+ aex >0在R上恒成立.x一 1 由ex>0,分离参数可得 a> 在R上恒成立.e1 1所以 h(x)max= h(2) = g ,故 aM所以a的取值范围为1+ 8 函数f (x)在(一1,3

12、)上单调，则函数f (x)在(1,3)上单调递增或单调递减.若函数f (x)在(1,3)上单调递增，则f '(x)1 x+ aexxe>0在(1,3)上恒成立,x一 1即1 x + aex>0在(1,3)上恒成立，所以a> l在(1,3)上恒成立.ex 一 12 一 x设h(x) = -l，贝U h'(x) = -l，所以h(x)在(一1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递e减,1 1所以 h(x)max= h(2) =r(x ( 1,3)，故 a>p ee 1所以a的取值范围为y+8若函数f (x)在(一1,3)上单调递减，则f(x)=.x1 x+

13、aexeW0在(1,3)上恒成立,x一 1即1 x + aex<0在(1,3)上恒成立，所以 aw在(1,3)上恒成立.x 12 x设h(x) = -l，贝U h'(x) = ，所以h(x)在(一1,2)上单调递增，在(2,3)上单调递 ee减.1 13 12又 h( 1) = = 2e, h(3) = = r.ee e2显然2e<-3，所以 h(x)>h( 1) = 2e(x ( 1,3), e所以a的取值范围为(8, 2e.1综上，a的取值范围为(一8, 2e U -2,+8 .e类题通法由含参函数单调性求解参数范围问题的2个关注点(1) 准确把握函数单调性与导函

14、数符号之间的关系：若可导函数f (x)在区间M上单调递增，则f '(x) >0在区间M上恒成立；若可导函数 f (x)在区间M上单调递减，则 f '( x) <0在区间M上恒成立.(2) 注意参数在导函数解析式中的位置，先尝试分离参数，将问题的求解转化为求解对应函数的最值问题；若不能分离参数或分离参数后对应函数的单调性无法利用导数解决，则可以直接转化为求解含参函数的最值问题.综合训练1. 已知a R,函数f (x) = ( x2 + ax)ex(x R e为自然对数的底数).(1) 当a= 2时，求函数f (x)的单调递增区间；(2) 若函数f (x)在(一1,1)

15、上单调递增，求a的取值范围；(3) 函数f (x)是否为R上的单调减函数？若是，求出a的取值范围？若不是，请说明理由.解：(1)当 a= 2 时，f (x) = ( x2 + 2x)ex,x2x2x所以 f (x) = ( 2x+ 2)e + ( x + 2x)e = ( x + 2)e .令 f '(x)>0，即(一x2+ 2)ex>0,因为 ex>0,所以一x2 + 2>0,解得_：'2<x<.：2.所以函数f (x)的单调递增区间是(一:;2 , ,：2). 因为函数f (x)在(一1,1)上单调递增，所以f '(x) >

16、0对x ( 1,1)都成立.x2x因为 f(x) = ( 2x+ a)e + ( x + ax)e=x2 + (a 2) x+ aex,所以x + (a 2) x + ae >0 对 x ( 1,1)都成立. 因为 ex>0,所以一x2 + (a 2)x + a>0,则a>x+打- = (x + 1) 士对 x ( 1,1)都成立.x + 1x + 1人1令 g(x) = (x + 1)不,1则 g'(x) = 1+2>0.x + 11 所以g(x) = (x+ 1)=在(1,1)上单调递增.x十113所以 g(x)<g(1) = (1 十 1)市=

17、33所以a>2,所以a的取值范围是2，+m .(3) 若函数f (x)在R上单调递减，则f '(x) W0对x R都成立，即x2 + (a 2)x 十aex<0对x R都成立.因为ex>0,所以x2 (a 2)x a>0对x R都成立.2 2 所以A = (a 2) + 4aw0，即卩a + 4w0,这是不可能的. 故函数f (x)不可能在R上单调递减.2. (2018 合肥质检)已知 f (x) = In (2 x 1) + ?a R).(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f (x) < ax恒成立，求a的值.1解：f (x)的定义域为2，+m ,

18、2,2 a 2x 2ax+ af ( x) =2.2x 1 x 2x 1 x令 g(x) = 2x 2ax+ a,若 2x1 - f (x)在2，X1和(X2,+m )上单调递增，在(X1, X2)上单调递减. 2ax+ a= 0 的根的判别式 A = 4a2 8a< 0,1 一、即当0w a<2时，对任意x 2，+m , g(x) >0恒成立，1即当x ，+m 时，f '(x) >0恒成立，1f (x)在2, +m 上单调递增.若2x2 2ax+ a= 0的根的判别式 A >0,即当a>2或a<0时，函数g( x)图象的对称轴为 直线x=a1

19、1 当 a<0 时，2<0，且 g 2 = 2>0.1对任意x 2，+m ，g(x)>0恒成立，1即对任意x 2，+m , f '(x)>0恒成立，1 f (x)在, +m 上单调递增.a11 当 a>2 时,2>1,且 g 2 = 2>0.1 1 1 记 g(x) = 0 的两根分别为 X1, X2,且 X1 = -(a a 2a)>q, X2 = ( a+ a 2a).1当 x , X1 U (X2,+)时，g(x)>0，当 x (X1, X2)时，g(x)<0.1当 x ，X1 U (X2,+s)时，f '

20、(x)>0，当 x (X1, X2)时，f '(x)<0.1综上，当aw2时，f (x)在2，+m 上单调递增;当 a>2 时，f (x)在 1, 1 a :a-x2x- 1- 2a 和 *a+ -'a2- 2a)上单调递增,1(2) f (x) w ax恒成立等价于对任意x 2，+m(x) - ax<0恒成立.令 h(x) = f (x) - ax = In(2 x- 1) +1-ax,则h(x) w 0= h(1)恒成立,即h(x)在x= 1处取得最大值.(x)=32-2ax +2+ a x - 2ax+ a2x 2x - 1由 h' (1)

21、 = 0,得 a= 1.当 a= 1 时，h'(x)2 “1 x 2x x+ 1当 x 2, 1 时，h'(x)>0 ;当 x (1 ,+s)时，h'(x)<0.1当a= 1时，h(x)在， 1上单调递增，在(1 ,)上单调递减，从而h(x) w h(1)=0,符合题意.- a= 1.考法三利用导数研究函数的极值与最值多维例析角度一求函数的极值或最值In x 例1已知函数f (x)= -1.x(1)求函数f (x)的单调区间及极值； 设m>0,求函数f (x)在区间m,2nj上的最大值.1|n x解因为函数f(X)的定义域为(0,+ )，且f '

22、;(X)=2一得 x>e.f ' x >0,f ' x <0,由得0<x<e;由>0, >0,所以函数f (x)的单调递增区间为(0, e)，单调递减区间为(e,+)，且f (x)极大值=1f (e) = 1，无极小值.e2m e,e 当即0<m-时，函数f (x)在区间m,2mj上单调递增,>0,2In 2 m所以 f (x) max= f (2 m) = 2m 1 ；e当m<e<2m 即2<m<e时,函数f (x)在区间(m e)上单调递增，在(e,2 m上单调递减，所以f (x)max= f (

23、e)=In ee11；1 =-e 当m>e时，函数f (x)在区间m,2m上单调递减，In m所以 f(X)max= f ( m) = 1.me ,In 2 m , e ,1 r,综上所述，当0<rff-时，f(x)max= 1 ；当;；<m<e时，f(X)max= 1；当Rl>e时，2 2m ，2eIn m f ( x) max= 1.m类题通法求函数f (x)在闭区间上最值的策略(1) 若所给的闭区间a, b不含有参数，则只需对函数f (x)求导，并求f '(x) = 0在区间a, b内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f (a), f

24、 (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(2) 若所给的闭区间a, b含有参数，则需对函数 f (x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x)的最值.角度二已知函数的极值或最值求参数例2已知函数 f (x) = ax2 (a+ 2)x+ In x,其中 a R.(1)当a= 1时，求曲线y= f (x)在点(1 , f (1)处的切线方程; 当a>0时，若f (x)在区间1 , e上的最小值为一2，求a的取值范围.2解(1)当 a= 1 时，f (x) = x 3x+ In x(x>0),所以 f '(x) = 2x 3+ 丄=x

25、2x2 3x + 1x所以 f =-2, f ' (1) = 0.所以切线方程为y+ 2= 0.2 函数 f (x) = ax (a+2)x + In x 的定义域为(0 ,+),当 a>0时，f '(x) = 2ax(a+ 2) +1 = 2ax a+ x + 1 =_ax,xxx令 f，(x) = 0,解得 x= 2或 x = 1.1 当0< w 1,即卩a>1时，af (x)在1 , e上单调递增.所以f (x)在1 , e上的最小值为f=2，符合题意；11 1 、 1 、 * 当1we，即-<a<1时，f (x)在1,-上单调递减，在 -，

26、e上单调递增，a eaa1所以f (x)在1 , e上的最小值为f - <f (1) = 2，不合题意；a11 当e,即0<aw二时，f (x)在1 , e上单调递减，ae所以f (x)在1 , e上的最小值为f (e)< f (1) = 2，不合题意.综上，实数a的取值范围是1 ,+).类题通法 已知函数在闭区间上最值求参数的方法主要采取分类讨论的思想，将导函数的零点与所给区间进行比较，利用导数的工具性得到函数在给定区间内的单调性，从而可求其最值，判断所求的最值与已知条件是否相符，从而得到参数的取值范围.综合训练321. 已知函数f (x) = x 3x .(1) 求曲线y

27、 = f (x)在点P(1 , 2)处的切线方程；(2) 若函数 g(x)=2f(x) + 3(1 a)x2+ 6ax(a>1)在1,2上的值域为p(a),q(a)，求0 (a) = q(a) p( a)的最小值.解：(1)因为 f (x) = x所以 g'(x) = 6x 6( a+ 1)x + 6a= 6(x 1)( x a). 3x2,所以 f '(x) = 3x2 6x,所以曲线y = f (x)在点R1 , 2)处的切线的斜率为f ' (1) = 3,所以切线方程为y ( 2) = 3( x 1),即 3x+ y 1 = 0.32(2)因为 g( x)

28、= 2x 3( a+1) x + 6ax,令 g'(x) = 0,得 x= 1 或 x= a,若 1<a<2,当x (1 , a)时，g'(x)<0，所以g(x)在(1 , a)上单调递减；当x (a, 2)时，g'(x)>0，所以g(x)在(a,2)上单调递增.532 若 g(l) w g(2) ,即卩 1<aw 3，此时 q( a) = g(2) = 4, p(a) = g( a) = - a + 3a , 所以 0 (a) = 4- ( a3 + 3a2) = a3 - 3a2+ 4 1<a< 5 ,3因为 0 '

29、( a) = 3a2 6a= 3a( a 2)<0 ,5、所以0 (a)在1, 3上单调递减，558所以当a 1, 3时，0 (a)的最小值为 0 -=牙.5 若 g(1)> g(2)，即 3<a<2,32此时 q(a) = g(1) = 3a 1, p(a) = g(a) = a + 3a ,所以 0 (a) = 3a 1 ( a + 3a?)325=a 3a + 3a 1 3<a<2 ,3因为 0'(a) = 3a2 6a+ 3= 3(a 1)2>0,5所以0 (a)在3, 2上单调递增，58所以当 a 3, 2 时，0 (a)>27

30、.若 a>2,当x 1,2时，g'(x) w 0,所以g(x)在1,2上单调递减，所以 q(a) = g(1) = 3a 1, p(a) = g(2) = 4,所以 0 (a) = 3a 1 4 = 3a 5( a 2),所以0 (a)在2 ,+s)上的最小值为0=1.8综上，0 (a)的最小值为27.2 a2. 已知函数 f (x) = x 3x+ .x(1)若a= 4，讨论f (x)的单调性；若f (x)有3个极值点，求实数 a的取值范围.24解：(1)因为 a= 4 时，f (x) = x 3x+ -,x22x + x + 22x32322/42x 3x 42x 4x +

31、x 4所以f(X)= 2x 32 =2=2xxx(XM0),令 f '( x)>0，得 x>2 ;令 f '( x)<0，得 x<0 或 0<x<2.所以f (x)在(a, 0) , (0,2)上单调递减，在(2 ,+)上单调递增.由题意知，fa(x) = 2x 3 亍(xm 0),设函数 g(x) = 2x3 3x2 a,则原条件等价于g(x)在(a, 0) U (0，+a)上有3个零点，且3个零点附近的左、 右两侧的函数值异号，2又 g'(x) = 6x 6x= 6x(x 1),由 g'(x)>0 ,得 x>1

32、 或 x<0;由 g'(x)<0 ,得 0<x<1.故g(x)在(a, 0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1 ,+a)上单调递增，故原条件等价于 g(x)在(a, 0), (0,1) , (1 ,+a )上各有一个零点， 令g(0) = a>0, 得 a<0,当 a<0时，一 一a<0, g( a) = 2( a)3 3( a) a= 2a( . a+1)<0 ,故a<0时，g(x)在(a, 0)上有唯一零点；令 g(1) = 1 a<0,解得 a> 1,故一1<a<0时，g(x)在(0,1)

33、上有唯一零点；又1<a<0时，g(2) = 4 a>0,所以g(x)在(1 ,+a)上有唯一零点.综上可知，实数a的取值范围是(1,0).压轴考法攻坚破难重难增分函数与导数的综合应用典例细解例1(2015 全国卷I )设函数f (x) = ex(2x 1) ax+ a,其中a<1，若存在唯一的整数xo使得f (xo)<0，则a的取值范围是(3 dA. 2e 13D. 2e,13 3C. 2e, 4学解题法一：直接法(学生用书不提供解题过程)若a< 0,则对任意负整数 m有f (n) = em(2 m- 1) a(m-1)<0，不符合题中唯一要求， 故必

34、有 0<a<1.由于 f '(x) = ex(2 x+ 1) a,易知当 x< 1 时 f '(x) < e 1 a<0,当 x>1时f '(x) >3e a>0,故f (x)在(, 1)上单调递减，在(1 ,)上单调递增.注意到f (1) = e>0,所以在(1 ,+)内不存在正整数 X。使得f (x°)<0.32e，又f (0) = 1 + a<0,这样我们就找到了，那个唯一的整数X。就是0.则满足题意的充要条件是f ( 1) >0,即卩a> 3，故a的取值范围是法二：分离参数法

35、(学生用书不提供解题过程)f (x)<0? (x 1)a>ex(2x 1).当x>1时，有x e a>2x 1x 1>1,这与题设矛盾，舍去;当x<1时，有x e a<2x 1xIx e 记 g(x)=2x 1x 1则g'xe 2x+1 (x)=xx 1 e2x 1xex 2x 3 x-12(XB).当 x<0时，g'(x)>0 ;当 0<x<1 时，g'(x)<0 ,故g(x)在(一g, 0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，作出函数y= g(x)的大致图象如 图所示.由题意知，存在唯一的整数x

36、o使得f (xo)<0，即a<g(xo)，由图易知3a的取值范围是玉=g( 1) < av 1,选 D.法三：几何直观法(学生用书提供解题过程)设g(x) = ex(2 x 1), y = ax a,由题意知存在唯一的整数x°,使得g(x°)在直线y= axa的下方.x11因为 g'(x) = e (2x+ 1)，所以当 x< 2时，g'(x)<0 ；当 x>?时，g'(x)>0,所以当x=- 1 时，g(X)min= 2e因为g(0) =- 1<0, g(1) = e>0,直线y= ax a恒过

37、点(1,0),且斜率为a,画出函数的大致图象如图所示，故a>g(0) = 1, g(解得a3，所以法四：特殊值探路(学生用书提供解题过程) 注意到f (0) = a 1<0,故xo= 0.又xo唯一，故石 a<1(*)这是a需满足的必要条件.求导得 f '(x) = eX(2x + 1) a.当 x< 1 时，f '(x)< a<0, f (x)在(一， 1上 单调递减，有 f (x) >f ( 1) >0;当 x>1 时，f '(x) >3e a>0, f (x)在1 ,+)上 单调递增，有f (x)

38、>f (1)>0.可见(*)式也是充分的.3于是，a的取值范围就是< a<1,选D.答案D启思维本题考查了含参函数与导数、不等式的综合问题，含参数的函数问题是高考 中的难点，通常有以下两种解题策略.(1) 数形结合：禾U用导数先研究函数的图象与性质，再画出该函数的草图，结合图象确定参数范围，若原函数图象不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图象解.(2) 参变分离：转化为参数小于某个函数(或参数大于某个函数)，则参数小于该函数的最大值(大于该函数的最小值)，再构造函数求解即可，要注意应用分类讨论思想.例2(2015 全国卷H )设函数f '(x)是奇

39、函数f (x)(x R)的导函数，f (1) = 0,当x>0时，xf '(x) f (x)< 0,则使得f (x)>0成立的x的取值范围是()A. ( s, 1) U (0,1)B. ( 1,0) U (1 ,+s)C. ( s, 1) U ( 1,0)D. (0,1) U (1 ,+s)解析 令 g(x)xf ' x f x ,x，当 x>0 时,(X) f g(x)在(0，+a)上为减函数，且f (x)为奇函数， g(x)为偶函数,g(1)=f (1)(XM 0),(x)<0 ,=f g(x)的图象的示意图如图所示.当 x>0 时，由

40、f (x)>0 ,得 g(x)>0 ,当 x<0 时，由 f (x)>0，得 g(x)<0 ,使得f (x)>0成立的x的取值范围是(一a, 1) U (0,1).由图知由图知0<x<1,x< 1,答案Axf '(x) f (x)<0 构造函数 g(x)=启思维本题考查了导数运算的逆运算，通过然后利用函数的单调性及奇偶性结合图象求解.知能升级解决抽象函数导数问题常见构造函数的方法(1) 对于不等式 xf '(x) + f (x)>0(或 <0)，构造函数 F(x) = xf (x);f x(2) 对于不等式

41、xf '(x) f (x)>0(或<0)，构造函数F(x)=(xm 0)；x(3) 对于不等式 f'(x) + f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)= exf(x);f x 对于不等式f'(x) f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=x一.e增分训练21. 已知函数 f (x),对？ x R,都有 f ( x) + f (x) = X ,在(0 , +a)上，f ' (x)<x, 若f (4 m) f (m) > 8 4m,则实数m的取值范围为()A. 2,2B. 2 ,+a)C. 0，+a )D. ( a

42、, 2 U 2 ,+a)解析：选B因为对？ x R,都有f ( x) + f (x) = x2，所以f (0) = 0,1 2设 g(x) = f (x) 2X ,1 2则 g( x) = f ( x) 2x ,1 2 1 2所以 g(x) + g( - x) = f (x) - 2X + f ( - x) -2乂 = 0,又 g(0) = f (0) - 0 = 0,1 2 所以g(x)为奇函数，且f (x) = g( x) + qx ,1 2 1 2所以 f (4 - m)- f( m)=g(4-m) + q(4 -m)- g m + -m= g(4 - m)-g(m)+ 8-4m>

43、8- 4m 贝U g(4 -m -g(m0, 即卩 g(4 -mg(m).当 x>0时，g'(x) = f '(x) -x<0,所以g(x)在(0,+)上为减函数，又g(x)为奇函数，所以4m解得mP2.12. (2019届高三南昌模拟)已知函数f '(x)是函数f (x)的导函数，f (1)= -，对 eB. (1 , +8)D. (e ,+8)x任意实数x,都有f (x) - f '(x)>0，则不等式f (x)<ex-2的解集为()A. ( - 8, e)C. (1 , e)f x解析：选B 设g( x) =x则 g'(x)

44、=-对任意实数x,都有f (x) - f '(x)>0, g'(x)<0，即g(x)为R上的减函数.g(1)由不等式f (x)<ex-2,f x 21得 x <e = r,即卩 g(x)<g(1). ee g( x)为R上的减函数， x>1,.不等式 f (x)<ex-2 的解集为(1 , +8).故选B.323. 设f (x) = x - mx+ 2nx+ 1的导函数为f '( x)，函数f '(x)的图象关于直线 x =23对称，若f (x)在1 , n 上恒有f (x) p 1,则实数n的取值范围为()11A8一O

45、 82q1C. 2，D. n,+m)解析：选C 依题意f '( x) = 3x 调递增区间是 0, 2和(2 ,+R). 2m灶2n,又已知函数f '(x)的图象关于直线x = 3对称，所以一23= 3，解得 m= 2，所以 f (x) = x3 2x2 + 2nx+ 1，因为 f (x)在1 , n1 2 1 2 上恒有f (x) > 1,所以n一2(x 2x)在1 , n 上恒成立，因为函数g(x) = 2(x 2x)1 2 1在1 ,n 上单调递减，即函数g(x) = 2(X2 2x)在1 , n 上的最大值为 g(1) = 2,所以1实数n的取值范围为 2，+m，

46、故选C.专题跟踪检测(对应配套卷P169)一、全练保分考法一一保大分1. 函数f (x) = excos x的图象在点(0 , f (0)处的切线方程是()A. x + y + 1= 0B. x+ y 1 = 0C. x y + 1= 0D. xy 1 = 0解析：选 C依题意，f (0) = e0cos0=1，因为 f '(x)= excosxexsinx,所以f ' (0) = 1,所以切线方程为 y 1 = x 0,即x y+ 1 = 0,故选C.2. 已知函数f (x) = x2 5x+ 2ln x,则函数f (x)的单调递增区间是()1A. 0, 和(1 ,)B. (

47、0,1)和(2 ,+s)1十C. 0, 和(2 ,+R)D. (1,2)解析：选 C 函数 f (x) = x2 5x + 2ln x 的定义域是(0 ,+)，且 f '(x) = 2x 5 +22 2x 5x + 2 x 22x 1 丄-=.由 fx xx1(x)>0，解得0<x<2或x>2，故函数f (x)的单3. (2018 石家庄模拟)已知f (x)ln x，其中e为自然对数的底数，则A. f (2)> f (e)> f (3)B. f (3)> f (e)> f (2)C. f (e)> f (2)> f (3)D.

48、 f (e)> f (3)> f (2)1 lnxx-，令 f '(x) = 0，解得 x = e,单调递减，故f (x)在x = e处取得最大值f (e) ,f (2) f (3)=In 22In 3 3ln 2 2ln 33 =6In x解析：选D由f (x)=，得f '(x)x (0 , e)时，f '(x)>0，函数 f (x)单调递增，当 x (e ,+)时，f '(x)<0，函数 f (x)In 8In 96<0, f (2)< f (3)，贝U f (e)> f (3)> f (2)，故选 D.4.

49、(2019届高三广州调研)已知直线y = kx 2与曲线y= XIn x相切，则实数k的值 为()A. ln 2B. 1C. 1 ln 2D. 1 + ln 2解析：选D由y= xln x知y'= ln x +1,设切点为(xo, Xoln xo)，则切线方程为 y xoln X。= (In X0+ 1)( x x。)，因为切线 y = kx 2 过定点(0， 2)，所以一2 X0In X0= (In x°+ 1)(0 xo)，解得 xo= 2，故 k = 1+ In 2，选 D.5. 已知定义在 R上的可导函数f (x)的导函数为f '(x)，满足f '(x

50、)>f (x)，且f (x+ 3)为偶函数，f (6) = 1,则不等式f (x)>eX的解集为()A. ( 2,+)B. (0，+m)C. (1 ,+)D. (4 ,+)解析：选B因为f (x+ 3)为偶函数，所以 f (3 x) = f (x+ 3),因此 f (0) = f (6) = 1.f x设h(x) =e ，则原不等式即h(x)>h(0).e又h'(x) =-依题意 f '( x)>f (x)，故 h'( x)>0 ,因此函数h(x)在R上是增函数，所以由h(x)>h(0)，得x>0.故选B.6. 已知定义在 R上

51、的函数y = f (x)满足f ( x) = f (x)，当x (0,2时，f (x)=1In x ax a>2，当x 2,0)时，f (x)的最小值为3,则a的值等于()2A. eB. eC. 2D. 1解析：选A 因为定义在R上的函数y = f (x)满足f ( x) = f (x), 所以y= f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，因为当x 2,0)时，f (x)的最小值为3,1所以当x (0,2时，f (x) = In x ax的最大值为一3.1 ax又 f '(x)=(0<xw 2),X1所以当 0<x<时，f '(x)>0 ; a1当

52、一<xW2 时，f ' ( x)<0 ;1a，2上单调递减，a所以函数f (x) = In x ax在区间0,-上单调递增，在区间 a故 f(x) max= f-=In- ax £= 3，解得 a= e1ee 1 时，g'( t)<0 , g(t)为减函数，g(t) max= g ：=冠且 g(e) = 3,因此当 x° 3,丞 时，.1 27. 若函数f (x) = In x 2ax 2x存在单调递减区间，贝U实数a的取值范围是 .一11 ax 2x一2解析：f '(x) = x ax 2=-，由题意知 f '(x)<

53、;0 有实数解， x>0,. axz.z.+ 2x 1>0有实数解.当a>0时，显然满足；当 a<0时，只需A = 4+ 4a>0,. 1<a<0.综 上知a> 1.答案：(1,+)&已知函数f (x) = ex m>+ 1的图象为曲线 C,若曲线C存在与直线y= ex垂直的切 线，则实数m的取值范围是.解析：函数f(x)的导数f '(x) = ex m,设切点为(xo, ex° mx+ 1)，即切线斜率k= e x 0 m,若曲线C存在与直线y= ex垂直的切线，则满足(e x 0 m)e = 1,x01即e x

54、 m=-有解，e1 即m= e x 0+有解，e答案：1 +m ex0+e> 1,1 m>-.ee 19. 已知X。为函数f (x) = (ea) x+ 3x的极值点，若x° 3,狂(e为自然对数的底数)，则实数a的取值范围是 .解析：f'(x) = aeax+ 3,贝Uf'( x°)= 3+ aeax0=0,由于eax0>0，则a<0,此时x°=a33tt1In .令 t = , t>0，贝U X0= 7ln t，构造函数 g(t) = 7ln t(t>0) , g'( t) = 7ln aa3331111t = ;(lnt + 1)，当 0<t<时，g'(t)>0, g(t)为增函数，且 g(t )>0 恒成立，当 tk3 3ee3 33og e,即O< a< e, a<- &故实数a的取值范围为e 答案：3OO e10. (2019 届高三长春模拟)已知函数 f (x) = ax3 + b