专题复习直线与圆锥曲线

1、专题复习一一直线与圆锥曲线一.本周教学内容：专题复习一一直线与圆锥曲线（一）知识与方法要点：直线与圆锥曲线的关系问题是平面解析几何中的重要问题，一方面它能很好地把有关直线方程的知识和圆锥曲线方程的知识综合起来；另一方面，其中蕴藏了丰富的思想方法，是历年高考试题中的常考常新的内容，从而也就成为高三总复习的着力点常见的问题有：1. 直线与圆锥曲线位置关系的研究。包括位置关系的判定，位置关系与参数值，位置关系与曲线方程等。2. 直线与圆锥曲线相交成弦的问题。包括弦长的计算，弦的中点，最值，由弦长或弦的中点的几何性质确定直线方程或圆 锥曲线的方程，对称性问题等等。基本的思想方法：1. 直线与圆锥曲线的

2、位置关系是由它们的方程组成的方程组的解的情形来确定的，因此要学会利用对方程组的解的情况的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系。反之亦然，这种思考方法就是解析几何的坐标法。2. 分析直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意对称性的应用和数形结合思想的应用， 以及方程、函数的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想的运用。3. 直线I : y=kx+b与圆锥曲线C: F（ x，y） =0相交所得弦长的计算方法（公式）：设I与曲线C相交于两点 A（ xi，yi），B（ X2，y2），贝U讨i 二 kxi b, y2 二 a b,从而弦长 | AB |= （/ - x?）2 （% - 曲=、.(xi X2)2(k

3、xi -臨)2 h：.$(1 k2)(xi X2)2（1 k2）（* X2）2 -4xiX2如此以来，便与一元二次方程 f（x）=O的根与系数的关系公式建立了联系，自然地，就 需联立直线I与曲线C的方程，消元，化出关于 x的一元二次方程。（注意，该方程的两个 实根恰为A, B两点的横坐标xi, X2）【典型例题】例I.顶点在原点，焦点在 x轴上的抛物线被直线I : y=2x+i截得的弦长为I5.求抛物线方程。分析：依题意可知抛物线的开口或向左或向右，而标准方程中均有p>0，为了统一起见，不妨设出抛物线方程的统一形式：y2=2mx（m R,且m 0），再根据弦长为、I5,列出关于m的方程，

4、求m即可解：设所求抛物线方程为 y2=2mx（m R且0），另设I与该抛物线交于 A （xi, yi）,B (X2, y2),y=2x+122 n 4x +(42m)x+1=0y =2mx一方面，因I与抛物线相交于两点，故 =(4 2m)2- 16>0,解得m<0或m>4另一方面由韦达定理,xx号住冷由弦长公式，得|AB2时;2)2"解得m=- 2或m=6显然均满足题意。 故所求抛物线的方程为 y2= 4x或y2=12x。注：本例中体现了方程的思想方法，即为了求抛物线，先设出其方程，然后利用已知 条件待定所设的参数 m把问题转化为解关于 m的方程。例2.设过原点的直

5、线I与抛物线y2=4(x 1)交于A、B两点，且以AB为直径的圆恰 好过抛物线的焦点 F,(1) 求直线I的方程；(2) 求|AB|的长。分析：(1)欲求I的方程，只需待定其斜率k，为此就需寻求等量关系，以便列出关于k的方程。由已知条件，发现：AF丄BF,从而得到等量关系 kAF kBF= 1，从而k可求(2)一旦直线I确定，则求弦长|AB|迎刃而解。解：(1)设直线 I 的方程为 y=kx, A (X1, y1), B (X2, y2)y =kx0二 k2x2 4x + 4 = 0y =4(x1)显然k=0时，I与x轴重合，不合题意，故kz 0，从而有44治 X22，X1X22kk又由已知条

6、件，得 AF丄BF, kAF kBF= 1,又 F (2, 0)yi -0 y2 _oX"2 x2 -2化简得 y" y2 * - 2)(x2 - 2) = 0而yi=kxi, y2=kx2,代入上式，整理，得k2X"X2X"X2 -2(论 x2) 4 = 02 48J2把代入，得（1 k2）p - p 4 =0,解得k -kk2.所求直线丨的方程为y 2x。22 1（2）由（1）知 k ，从而 Xi x 8，X1X2 =82.弦长 | AB|,（1一疋）（花X2）2匚4x1X2 = （12）82 -4 8 = 4 3例3.已知椭圆的一个顶点为A（ 0，

7、- 1）,焦点在 x轴上，其右焦点到直线x - y 2.0的距离为3（1）求椭圆方程；（-）椭圆与直线 y=kx+m （ k丰0）相交于不同两点 M N,当|AM|=|AN|时，求m的取 值范围。2 2分析：（1）根据已知条件，可断定所求椭圆的方程为2 -yy = 1（a b 0）a b且b = 1,故只需根据条件“右焦点到直线 x - y 2、. 2 = 0的距离为3”，来待定出a即可。（-）由椭圆与直线相交于不同两点，可得知由它们的方程联立消元所得的一元二次方程有两个不等实根，从而有 =f（m，k）0 ;另一方面，又由|AM|=|AN|，可得点 A在线段MN的垂直平分线上，设 MN中点为P

8、,则有MNL AP,从而kMN- kA产一1，即g（m, k）=0， 只需联立f（m， k）0及g（m，k）=0消去k，解关于m的不等式即可，求得 m的取值范围。2 2解：（1）根据题意，可设椭圆方程为 笃 2 - 1（a b 0）a2 b2而b=1，右焦点设为 F （c，0），由已知，得|C 2 21 =3（c 0）2解得c = . 2,从而a = 32.所求椭圆方程为y2 =13(2)设P为线段 MN中点，由|AM|=|AN|得MNL AP, 从而 kMN kAP= 1设M (xi, yi), N(X2, y2),则 xpx1x22ypyiy22y = kx mx2.3y2=1 2 2 2

9、=(3k1)x 6mkx 3(m-1)=0一方面，： = (6mk)2 -4(3k21) 3(m2 -1)0,化简得 m2 : 3k216mk另一万面，x1 x22 ，从而xP3k2 +1-3mk2 ,3k 1yp= 23k 1又 A(0,-1)及，得kyp1，把xP, yP代入，整理，得xp2m =3k21由，消去k2，得m<2m解得0<m<22 2m T11又注意到 k = - 0,解得 m - 可见 一 ：m ： 2322例4.直线m y=kx+1和双曲线x2 y2=1的左支交于 A、B两点，直线I过点P (-2,0)和线段AB的中点，求直线I在y轴上的截距b的取值范围

10、。分析：本题的目标是求参数 b的取值范围，与例 3中第(2)问，在方法上相同,方面，由直线 m与双曲线左支交于两点，可得关于k、b的不等式， =f(k , b)>0，但应注意A、B两点的横坐标xa, xb均小于0;另一方面，由直线I过P及AB中点，又可得到 关于k, b的等量关系g(k , b)=0，联立f(k , b)>0及g(k , b)=0，可求b的取值范围。y = kx +12 2解：22 二(1k )x 2kx 2 = 0M -y =1设 A (X1 , y1), B (X2 , y2), AB 中点为 M(x° , y°),则由题意，得2k门为X22

11、01 -k0= 1 ： ： k ： 、21 -k2：； -4k28(1-k2)0又X。x1x2ykxg 11 k ,即 M(L ').直线I的斜率为kpM1k2°.直线I的方程为k2 一(一2)1 -k212-2k k 2y -2k2 k 2(x - 2)令x =0,得直线I在y轴上的截距为b 吕 ,k(1, 2)_2k2 +k +2注：求b的取值范围，即求以 k为自变量的函数b=f(k)的值域。-函数 g(k) - -2k2 k 2 - -2(x -丄)2 17在(1, 2)上为减函数 48 gC，2) :：: g(k) : g(1)，且 g(k)半 0即、2 一2 ： g

12、(k) ：1,即 g(k) =02g(k):2或丄2 -2 g(k)即b - 2 -2或b 22 2例5从双曲线 -y 1的右焦点F引直线I，使其与一条渐近线8 16I1垂直相交于A,与另一渐近线I2交于点B,求证：线段 AB被双曲线的左准线平分。-2分析：本题的一般思路为：设出I的点斜式方程T分别与丨1,丨2的方程联立，表出XMA, B坐标t求出AB中点M的坐标验证点 M在双曲线的左准线上。事实上，由于求出xA, xB,为此需把厶 空，只需求出xA xB的值即可，而不必分别22 2两条渐近线方程合并成 统一形式：0,与I的方程联立，可得关于 X的8 16一元二次方程，利用韦达定理，可得XA+

13、XB，进而可求得XM。解法一：（求A, B交点坐标）由已知得 F（2、6,0）,设 I, y 、2x, l2： y 二-2x/ I 丄I2二 I 的方程为 y -0 =-2节6）,即 y = - （x -2屮6）由宀2；解得A（乎年）y（x-26）33L 2y = -v2x由 < 逅 一 解得 B（-276,43）y = （x _2虫）L22J6 8亦-AB的中点M的坐标为（-6 ,）33而双曲线的左准线方程2.6经验证，M在左准线上，故线段 AB被双曲线的左准线平分。解法2：由已知F(2、. 6,0)；丨_1卩而申勺斜率为,22 2.直线I的方程为y -(x-2-6 )与双曲线的渐近线

14、方程 =0联立,2 8 16消y,得 3x2 4.6X-24 =0设A(xi, yi), B(X2, y2),则由韦达定理，得 Xi x -也63从而AB中点M的横坐标为Xm二乞丄！= 一空23又；左准线方程为2 a x =c263 AB的中点M在左准线上，即线段 AB被双曲线的左准线平分。2 2例6已知椭圆C : y1上存在关于直线 I : y =2x m对称的两点，试94求m的取值范围。分析：“两点A、B关于直线I对称”，意味着直线 AB与椭圆有两个不同交点；直 线AB丄I ;线段AB的中点在I上，逐一把这些几何关系化为代数的等式或不等式，即可 达到求m的取值范围的目的。解：设在椭圆上 A

15、、B两点关于直线 I对称，则依题意，直线AB方程可设为1y = x + n 彳2 2 2xy1.942522x - 9nx 9n 一 36 = 04设A（xi, yi）, B（X2, y2），则Xi X2 :25从而AB中点M的坐标为（旦,型）2525点M在 I上16n18n2m2525整理，得 n4又直线AB与椭圆相交于 A、B两点，2252则 = (9n)4(9n36)04化简，得n2 : 25代入，得m? : 4，解不等式，得- 2 ： m ： 24【模拟试题】21. 设抛物线y -4x截直线y =2x k所得弦长为 3 5，（1 ）求k的值；（2）以（1）中所得弦长为底边长，以 x轴上P点为顶点的三角形的面积为 9时，求 点P的坐标。2.若抛物线y = ax2 -1上总存在关于直线l : x y = 0对称的点，求a的取值范围。3. 已知抛物线y2二-x与直线y二k（x - 1）相交于A B两点，（1）求证：OAL OB（2）当厶OAB的面积为