专题二：平行四边形常用辅助线的作法精排版

1、BC专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1 四边形的内角和与外角和定理：(1)四边形的内角和等于360 ；(2)四边形的外角和等于3602. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n边形的内角和等于(n-2)180(2) 任意多边形的外角和等于 3603. 平行四边形的性质:四边形ABCD是平行四边形性质判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等;(3) 两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分；(5) 邻角互补.4、平行四边形判定方法的选择已知条件爵的狎定方法边1 suttsaimf一方注片方法(3)j亠组对边平行定&X方法6方法角|胡对角相等:二方法、一一j对角钱方袪緡5

2、、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形匚例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形求证：OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求 证的结论中和平行四边形的性质有关， 可(2)利用两组对边平行构造平行四边形AE=BF ED/AC, FG/AC交 BC分别为 D, G.例2、如图，在 ABC中，E、F为AB上两点,求证：ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组(3)例3、女如图，已知 /知目平分构造平行四边形 ABC的中线，BE交 AC于 E,交 AD于 F,且 AE

3、=EF求证 BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行 四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法(4) 连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形C个端点,例4、如图，在平行四边形BCD中，点E,F在对角线AC上，CF ,请你以F为一ABA图1图2和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)DC(5) 平移对角线，把平行四边形转化为梯形例5、如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12，BD10，ABm，那么m的取值范围是(A、1m11B、2 m 22C、1

4、0m12D、5 m 6(6) 过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2D(7) 延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP AB二、课堂练习：1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交于点F ,若平行四边形ABCD的面积为S，则图中面积为-S的三角形有()2A. 1个 B . 2个 C . 3个D . 4个BC=8,EA2、顺次连接一个任意四

5、边形四边的中点，得到一个 四边形.3、如图，AD，BC垂直相交于点 O, AB / CD，贝U AB+CD的长=。并证明你的6如图，平行四边形ABCD的对角线 AC和BD交于O, E、F分别为OB OD的中点，过O4、已知等边三角形 ABC的边长为a, P是厶ABC内一点，PD/ AB, PE/ BC, PF / AC,点DE、F 分别在 BC、AC AB上，猜想：PM PE+PF=猜想.5、平行四边形ABCD中, E,G,F,H分别是四条边上的点，且 AE CF ,BC DH , 试说明：EF与GH相互平分.任作一直线分别交AB CD于G H.试说明：GF/ EH.DB8、如图，E是梯形AB

6、CD要DC的中点.试说明:S ABE1s梯形ABCDDE7、如图，已知AB AC , B是AD的中点，E是AB的中点.试说明：CD 2CEED_A139、已知六边形 ABCDEF勺 6 个内角均为 120, CD= 2cm BO 8cm AB= 8cm AF=5cm 试求此六边形的周长.10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DE AB ,DF AC,CH AB，垂足分别为 E、F、H,求证：DE DF CH连结DM和BM .(1) 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，求证：BM DM 且 BM DM ；(2) 如果将图8-中的ADE绕点A逆时针旋

7、转小于45的角，如图，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.BAD图图-答案:例4、连结BF BF DE证明：连结DB,DF,设DB,AC交于点0四边形ABCD为平行四边形二AO OC, DO 0B AE FC AO AE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形二BF DE例5、解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE ,DC BE ,则有四边形CDBE为平行 四边形，在 ACE 中,AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11故选 A例6、证明：过A,D分别作AE

8、BC于点E , DF BC的延长线于点F AC2 AE2 CE2 AB2BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2CF2) (BC CF)2 CD2 BC2 2BC CF贝U AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形 AB / CD且AB CD , AD BC ABCDCFI AEBDFC 90 ABEDCF BE CF AC2 BD2 AB2 BC2CD2 DA2例7、证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形 AB / CD 且 AB CD , CD AD , BAD B

9、CD D 901K又I DDAK 90, DF AF CDF 也 KAF AK CDAB11v CE CD,DF AD22 CEDFv BCDD 90 BCE 也 CDF 12v 13902390 CPB900,则KPB 90 AP AB二、课堂练习1、 C2、平行3、104、 a5、分析：观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形 HEGF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到6分析：观察图形，GF与EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHFG是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得 GF / EH .7、分析：延长CE至F,使EF二CE，

10、连结AF、BF，得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明 DBCFBC即可F8、分析：过点E作MN / AB，交BC于N，交AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形, ABE与四边形ABNM等底等高，所以Saabe =訂平行四边形ABNM，接下来说明S梯形ABCD= S平行四边形ABNM即可。9、延KBAs EF,交点记作G;EDt交点记柞HV x 1=120% A Z3=J0*.hlJl，_4=_7=_S=(.ipt 推导出 Ml土 AUDH都是止 三角形* F(.：=；A=FA-5b _a=0flpD-DH=料HN ss . SMNXX 拓包 u9-G0.r o卉召口

11、XF 0-4nygl z?-=wog7 亠目 豉I 邑: gtfN +8fflN steNLSWN 常第 OVUNA 命目負习_.& . sffvm、FSYC17 , *-cfftoMMSHpn1%cn3w营負燮-Mmml半刚 由吕色 -“&旷 bwx:池 *; 目 H7 羽 cm7+9aK7=嚣 ztf叵 SN &MV /4.lg-feog;:-Zrt冯KzaJMds-HTlqIX-s甲s-rja-4c3 嘗 lA巴-:.逛 廿塔 Qn 峨谒- 一-b竝管NH 署泓;j-出酿腿国匂#0.思 二；n 睡(曙e*帥)OQ + H-QHTO.HO+ 0OHTOH0OHH-Q.-平行四边形中常用辅助

12、线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常 用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2 ）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或 中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5 ）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角

13、形。例1如左下图1,在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC 上,且AE CF ,请你以 F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）连结BFBF DE证明：连结DB,DF，设DB,AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 AO OC, DO 0B四边形EBFD为平行四边形二 BF DE图1图2第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,如果AC 12， BD 10，AB m，那么m的取值范围是()A1 m 11B2 m 22C10 m 12D5 m 6解

14、：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE,则有四边形CDBE为平行四 边形，在 ACE 中，AC 12,CE BD 10,AE 2AB 2m12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11故选 A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2证明：过A,D分别作AE BC于点E，DF BC的延长线于点F AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BCBD2 DF 2 BF2 (CD2 CF2)

15、(BC CF )2 CD2 BC2 2BC CF贝 U AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四边形ABCD为平行四边形 AB / CD且AB CD , AD BC ABC DCFT AEB DFC 90 AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2FA第四类：延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例4:已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交于P点，求证：AP AB证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形AB / CD 且 AB CD, CDAD, BADBCDD 9001K又D0DAK 90 ,DFAF CDF 也 KAFAKCDABv CE1CD,DF1AD CE DF22BCDD 90BCE也 CDF 1 2139023900 CPB900,则 KPB 900APAB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长AE与BC的延长线相交于F，则有 AED s FEC , FAB s FEC , AED s FAB第六类：把对角线交点与一边中点连结,例6已知：如右上图6,在平行四边形