空间想像能力、逻辑思维能力、解题能力

1、 空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出空间观念主要表现在：能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的开关，几何图形，由几何图形想像出实物的开关，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述物体间的位置关系

2、；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。描述问题，利用直观来进行思考。 第一，对基本的几何图形的熟悉程度，包括熟悉图第一，对基本的几何图形的熟悉程度，包括熟悉图形的特征和它们之间的关系；能正确画图；能在头形的特征和它们之间的关系；能正确画图；能在头脑中分析基本图形中基本元素之间的度量关系及位脑中分析基本图形中基本元素之间的度量关系及位置关系；等。置关系；等。 第二，用坐标和向量等表明位置和描述空间关系的第二，用坐标和向量等表明位置和描述空间关系的熟练程度，包括能借助坐标系或向量正确地表征几熟练程度，包括能借助坐标系或向量正确地表征几何图形，以建立代数与几何的联系；能熟练地建立何图形，以

3、建立代数与几何的联系；能熟练地建立坐标系并用坐标法分析问题和探讨数学，能熟练地坐标系并用坐标法分析问题和探讨数学，能熟练地用向量法解决某些几何问题；等。用向量法解决某些几何问题；等。 第三，能正确地借助对称、变换等原理，分析几何第三，能正确地借助对称、变换等原理，分析几何图形的形状特征及几何元素的位置关系。图形的形状特征及几何元素的位置关系。 第四，熟练地识图，包括能从复杂的图形中区分出第四，熟练地识图，包括能从复杂的图形中区分出基本图形；能在平面图形、立体图形和它们的表征基本图形；能在平面图形、立体图形和它们的表征之间进行转换；等。之间进行转换；等。1.几何思维的五级水平几何思维的五级水平弗

4、赖登塔尔的学生海尔弗赖登塔尔的学生海尔(Van Hiele)提出的数学提出的数学化过程的教学理论中，把几何思维区分为五化过程的教学理论中，把几何思维区分为五个水平：个水平：0一水平：直观一水平：直观1一水平：分析一水平：分析2一水平：抽象一水平：抽象 3一水平：演绎一水平：演绎4一水平：严谨一水平：严谨2中学生空间想象力发展的特点中学生空间想象力发展的特点学生的空间想象力也由低水平到高水平顺次发学生的空间想象力也由低水平到高水平顺次发展。展。 中学生空间想象力的发展具有年龄特征，表现中学生空间想象力的发展具有年龄特征，表现在：每一级水平的空间想象力都随着年级的在：每一级水平的空间想象力都随着年

5、级的升高而呈上升发展的趋势。升高而呈上升发展的趋势。对同一年级的学生而言，随着能力水平层次的对同一年级的学生而言，随着能力水平层次的升高，进入到高一级水平的学生人数在不断升高，进入到高一级水平的学生人数在不断下降，即随着能力水平的提高，达到相应水下降，即随着能力水平的提高，达到相应水平层次的学生人数越来越少。平层次的学生人数越来越少。 3对几何课程体系的思考对几何课程体系的思考从初中二年级开始，应当适当渗透观察三维图从初中二年级开始，应当适当渗透观察三维图形、了解图形的整体性质等方面的内容和要形、了解图形的整体性质等方面的内容和要求；平面几何内容的安排，在保持求；平面几何内容的安排，在保持“扩

6、大的扩大的公理化体系公理化体系”、注重逻辑演绎、强调严谨准、注重逻辑演绎、强调严谨准确的前提下，要加强平面几何定理的发生发确的前提下，要加强平面几何定理的发生发展过程，以利于渗透合情推理成分；立体几展过程，以利于渗透合情推理成分；立体几何的课程结构，先安排对空间几何体进行整何的课程结构，先安排对空间几何体进行整体认识的内容，然后安排对整体几何图形的体认识的内容，然后安排对整体几何图形的分解与组合分解与组合空间点、线、面的位置关系空间点、线、面的位置关系和度量问题。和度量问题。 是空间想象力是人们是空间想象力是人们对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽对客观事物的空间形式进行观察、分析和抽象的能

7、力，它的特点在于善于在头脑中构成象的能力，它的特点在于善于在头脑中构成研究对象的空间形状和简明的结构，并能在研究对象的空间形状和简明的结构，并能在离开实物的条件下，在头脑中对空间元素进离开实物的条件下，在头脑中对空间元素进行一系列操作和变换，对它们的位置关系进行一系列操作和变换，对它们的位置关系进行相应的分析、归纳和概括等。行相应的分析、归纳和概括等。1.能够由形状简单的实物想象出几何图形，由能够由形状简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出相应的实物形状；几何图形想象出相应的实物形状；2.能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本能够由复杂的平面图形分解出简单的、基本的图形；的图形；3.能够在

8、基本的图形中找出基本元素及其关系；能够在基本的图形中找出基本元素及其关系；4.能够根据文字或符号表述的条件作出或画出能够根据文字或符号表述的条件作出或画出图形，对图形能够用文字或语言来表述。图形，对图形能够用文字或语言来表述。1.学好有关空间形式的基础知识学好有关空间形式的基础知识2.加强数学的直观教学，从事数学实习加强数学的直观教学，从事数学实习活动活动3.加强空间想象能力的训练，不断发展空加强空间想象能力的训练，不断发展空间想象能力间想象能力（1）深入研究同类图形或某个重要图形）深入研究同类图形或某个重要图形各要素之间的联系，丰富学生的空间想各要素之间的联系，丰富学生的空间想象能力象能力（

9、2）深入研究异类图形之间的联系，发）深入研究异类图形之间的联系，发展学生的空间想象能力展学生的空间想象能力（3）有效利用数形结合，锻炼学生的空）有效利用数形结合，锻炼学生的空间想象能力间想象能力例1 四个半径为1的等球，每一个与其余三个都相切，三球在下，置于一平面上，求最上一球的球心到平面的举例。ABCO1例2 任意的三角形都是等腰三角形。ACBDOEFOB=OCOB=OCOE=OFOE=OFFB=ECFB=ECAF=AEAF=AEAB=ACAB=AC三、数学思维能力三、数学思维能力 数学思维能力是指人们对数学对象（数量关数学思维能力是指人们对数学对象（数量关系和空间形式）的本质的认识能力。系

10、和空间形式）的本质的认识能力。 数学思维的分类：数学思维的分类：（1）逻辑思维能力）逻辑思维能力（2）创造性思维能力）创造性思维能力 发散思维能力、直觉思维能力发散思维能力、直觉思维能力数学思维能力及其培养一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解二、逻辑思维能力的衡量指标二、逻辑思维能力的衡量指标 三、培养学生逻辑思维能力的基本途径三、培养学生逻辑思维能力的基本途径一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解一是从数学思维过程、方法考察。数学思维能一是从数学思维过程、方法考察。数学思维能力主要是指：会观察、比较、分析、综合、力主要是指：会观察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳

11、、演绎和类比进行推抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。明数学关系，形成良好的思维品质。二是从数学所特有的思维对象出发，数学思维二是从数学所特有的思维对象出发，数学思维能力可以包括：空间想象、符号表示、运算能力可以包括：空间想象、符号表示、运算求解、体系建构等诸多方面。求解、体系建构等诸多方面。一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解 2逻辑思维能力是数学思维能力的核心逻辑思维能力是数学思维能力的核心 逻

12、辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。不仅包括形式逻辑思维，而且包括辩证逻辑思维，同时也包括非形式化的逻辑思维， 从逻辑思维能力与运算能力、空间想象能力的关系看，运算能力是逻辑思维与一些具体的运算知识和技能相结合而在处理数量关系方面表现出的个性心理特征；空间想象能力则是逻辑思维与一些经验几何知识和识图、作图技能相结合而在处理空间图形方面表现的个性心理特征。 一、对数学思维能力的理解一、对数学思维能力的理解 2逻辑思维能力是数学思维能力的核心逻辑思维能力是数学思维能力的核心 从逻辑思维能力的作用考察其地位从逻辑思维能力的作用考察其地位 第一，只有具备较强的逻辑思维能力，才能正确地认第一，只有

13、具备较强的逻辑思维能力，才能正确地认识数学规律，完成数学思维任务识数学规律，完成数学思维任务 。 第二，逻辑思维能力是正确、严谨、完备地论证数学第二，逻辑思维能力是正确、严谨、完备地论证数学定理、法则、公式和发现数学错误的前提。定理、法则、公式和发现数学错误的前提。 第三，逻辑思维能力是揭露错误思想的有力武器。例第三，逻辑思维能力是揭露错误思想的有力武器。例如，逻辑思维能力强的人，可以及时而有效地识破如，逻辑思维能力强的人，可以及时而有效地识破和揭露偷换概念、同语反复、循环论证等现象。和揭露偷换概念、同语反复、循环论证等现象。 第四，逻辑思维能力是掌握数学知识的根本保证。第四，逻辑思维能力是掌

14、握数学知识的根本保证。 二、逻辑思维能力的衡量指标二、逻辑思维能力的衡量指标 中学生数学逻辑思维能力，我们强调三条，即中学生数学逻辑思维能力，我们强调三条，即严密性，准确性，明确性。严密性，准确性，明确性。 首先，逻辑思维的严密性是数学思维的最基本首先，逻辑思维的严密性是数学思维的最基本精神，也是数学逻辑思维能力最根本的衡量精神，也是数学逻辑思维能力最根本的衡量标准。标准。 其次，数学的计算具有无可争辩的准确性，数其次，数学的计算具有无可争辩的准确性，数学定理只有当它从逻辑的推理上得到准确的学定理只有当它从逻辑的推理上得到准确的证明才能被认可。证明才能被认可。 最后，每一个数学结论都是明确的，

15、数学结论最后，每一个数学结论都是明确的，数学结论的推理过程也必须具有明确性，的推理过程也必须具有明确性， 及层次及层次是指在一定的逻辑法则下进行思考活是指在一定的逻辑法则下进行思考活动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力，动的一种思维能力。它是最基本、最重要的能力，是发展学生思维的基础、是发展学生思维的基础、中心环节中心环节和和主要标志主要标志。：（1）能正确理解和运用各种逻辑推理方法）能正确理解和运用各种逻辑推理方法 演绎、归纳、类比演绎、归纳、类比（2）能正确理解和运用各种论证方法）能正确理解和运用各种论证方法 分析、综合、反证法、同一法、比较、抽象、概分析、综合、反证法、同一法、比较

16、、抽象、概 括等括等（3）思维过程目的明确、条理清楚）思维过程目的明确、条理清楚（4）善于将知识系统化，结构化）善于将知识系统化，结构化（1）给出条件和结论，能说明推理的依据；）给出条件和结论，能说明推理的依据；若给出条件和依据，能得出结论，并了解基若给出条件和依据，能得出结论，并了解基本推理格式。本推理格式。（2）根据给出条件能完成一步推理过程，并）根据给出条件能完成一步推理过程，并掌握简单的证明方法。掌握简单的证明方法。（3）能够独立完成两步和两步以上的推理论）能够独立完成两步和两步以上的推理论证过程，并能说明依据。证过程，并能说明依据。（4）能够独立分析具有综合性和实际应用性）能够独立分

17、析具有综合性和实际应用性的问题。的问题。1.重视数学基础知识的教学重视数学基础知识的教学绝对值概念、三角形相似，全等的判定等绝对值概念、三角形相似，全等的判定等例例1 已知方程已知方程 的两根是的两根是 求求 的值。的值。)0(022aaxx,2 .教师要重视论证格式的教学，并作出正确的教师要重视论证格式的教学，并作出正确的示范示范 在教学过程中，教师要通过示例训练学在教学过程中，教师要通过示例训练学生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反生掌握如下论证格式：综合法、分析法、反证法和归纳法等。证法和归纳法等。 论证思考过程和书写格式的正确示范。论证思考过程和书写格式的正确示范。例例2 已知实数已

18、知实数x,y,z满足满足求求 的值。的值。0412212zzzyyxxyz)( 3.教会学生运用逻辑常识教会学生运用逻辑常识 消除学生理解困难的关键。消除学生理解困难的关键。 数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系；数学概念，公式、定理等数学知识间的逻辑关系；论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。论证方法的逻辑依据；数学命题间的关系等。4.加强逻辑思维能力的训练加强逻辑思维能力的训练 循序渐进；各科渗透；重点突出循序渐进；各科渗透；重点突出例例3 谁先说到谁先说到66谁便输，如何玩法，胜者是谁？谁便输，如何玩法，胜者是谁？要想得胜，应如何玩这个游戏？要想得胜，应如何玩这个游戏？ 例例4

19、已知已知 ，则，则 的表达式为的表达式为_221)1(xxxxf) 1( xf5.重视运用数学符号语言进行推理论证重视运用数学符号语言进行推理论证6.重视新旧知识间的逻辑联系重视新旧知识间的逻辑联系 实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中实际问题：现实生活中的一些具体问题；数学学习中的一些具体问题。的一些具体问题。解数学题解数学题是培养学生分析和解决实际问题能力的是培养学生分析和解决实际问题能力的主要主要途径途径解题在数学教育中的作用解题在数学教育中的作用关于数学解题的教学关于数学解题的教学 1.认真审题，理解题意；认真审题，理解题意； 2.机动灵活，寻找途径；机动灵活，寻找途径； 3.加强练习，尽力创造加强练习，尽力创造.数学解题的基本要求：数学解题的基本要求： 正确、合理、简捷、完满、清楚正确、合理、简捷、完满、清楚未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？画张图.引入适当的符号.把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来？第一，你必须弄清问题.你以前见过它吗？你是