研究生数学建模B题建模

1、参赛密码 (由组委会填写)全第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛学 校 广西民族大学参赛队号10608008队员姓名1.高洋洋2.黄慧冬3.李素娇参赛密码 (由组委会填写) 第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题 目 功率放大器非线性特性及预失真建模摘 要信号的功率放大是电子通信系统的关键功能之一，其非线性失真对无线通信系统将产生诸多不良影响.功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义.为了满足功率放大器线性度要求，功放线性化技术与预失真也就成为高效率发射机系统的关键技术之一.本文采用了正交多项式逼近函数、最小二乘法拟合、曲线拟合以及归一化以及NMSE评价法等.问

2、题一，对题1给出的数据进行曲线拟合可得功放的多项式表达式，然后利用正交多项式求得预失真特性函数，最后以“输出幅度限制”为约束条件进行Matlab求解，得到了预失真补偿的结果. 问题二，用一个无记忆的非线性系统来表征功率放大器的非线性，以“输出幅度限制”为约束条件进行Matlab求解，基于多项式的无记忆放大器的高效预失真结构推广到有记忆放大器的预失真中, 非线性多项式模型作为记忆预失真器模型实现了记忆非线性放大器的快速、高效的线性化.针对问题三，相邻信道功率比(Adjacent Channel Power Ratio，ACPR)是表示信道的带外失真的参数，利用Fourier变换计算功率谱密度函数

3、，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度.文章中主要运用多项式曲线拟合的方法求出功放的非线性表达式的逼近形式，然后用NMSE参数评价了无记忆和有记忆的功放非线性模型, 结果相当乐观. 在满足预失真处理的“输出幅度限制”，且尽可能使功放的输出“功率最大化”的条件下，我们用最小二乘拟合的方法逼近功放模型的曲线，求出了无记忆和有记忆功放的放大倍数.建立预失真模型是我们还运用了正交多项式和间接学习结构，得到的预失真模型代入应用之后，结果与线性化的目标函数做归一化均方误差评价，得到的结果非常好，模型的精确度是很高的.关键词：功率放大器, 有记忆功放, 无记忆功放, 非线性失真, 预失真

4、一、问题重述功放非线性属于有源电子器件的固有特性，研究其机理并采取措施改善，具有重要意义.目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术.在数字预失真中，多项式模型由于其简单、易于实现而被普遍使用.然而多项式有效阶的确定，关系到预失真器后低通滤波器的设计和线性化的效果，因此具有非常重要的作用.针对间接结构多项式预失真器，本文提出了一种预失真无线通信中射频功率放大器预失真技术研究正交多项式模型得到预失真器的特性函数F(x).通过理论分析及性能仿真，验证了该算法的有效性.文章给出了某功放无记忆和有记忆效应的复输入-输出测试数据，及其输入-输出幅度图，通

5、过功放的非线性模型然后对其采取数值计算，用最小化目标误差函数的方法，求得近似的F(x)，放大器的预失真器的非线性参数，以达到预失真补偿的目的.总体原则是使预失真和功放的联合模型呈线性后误差最小.数值计算结果业界常用NMSE参数评价其准确度.最后计算功放预失真补偿前后的功率谱密度.本文尝试解决以下三个问题：问题一，建立无记忆功放的非线性特性的数学模型和预失真模型，写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数.问题二，建立有记忆功放的非线性特性的数学模型和预失真模型，写出目标误差函数，计算线性化后最大可能的幅度放大倍数.问题三，根据所附的数据采样频率MHz，传输信道按照20MHz来算，邻信

6、道也是20MHz.根据给出的数据，请计算功放预失真补偿前后的功率谱密度，并用图形的方式表示三类信号的功率谱密度(输入信号、无预失真补偿的功率放大器输出信号、采用预失真补偿的功率放大器输出信号).二、问题分析这是一个功率放大器非线性及预失真问题，通过题意分析及查阅文献可知.功放的非线性特性特点在于各类功放的固有特性不同，特性函数G (·)差异较大，即使同一功放，由于输入信号类型、环境温度等的改变，其非线性特性也会发生变化.难点在于信号输入输出量大，以及怎样使有记忆及无记忆放大器精确反映实际功放的性能，利用曲线拟合的方式求特性函数G (·)及预失真器特性函数F(·)，

7、如何选取最大可能的幅度放大倍数g.2.1 问题一无记忆效应的功率放大器，即当前的输出信号仅与当前时刻的输入信号有关，而与过去时刻的输入信号无关. 预失真的实质为功放模型的求逆问题，理论上如果功放模型在信号包络区间是单调的，则其逆存在。由于直接求逆方法在实现上并不存在通用性，因此常常采用多项式逼近的方法进行预失真多项式的构造，为了简化计算，我们进一步将多项式正交化，即用正交多项式来逼近函数。要建立预失真模型就得找出预失真器的特性F(·)，如果直接对预失真器的参数进行自适应递归估计，则需要首先求得功放的模型，因此为了避免求得功放模型，可以使用间接学习结构预失真器法。对拟合得的结果，可以采

8、用NMSE进行评价以验证模型的效果。2.2问题二在现代通信系统中，信号的带宽与功放的带宽越来越接近，功率放大器的记忆效应也表现的越来越明显，如果依然忽略其记忆效应，对功放的线性化研究将受到很大的阻碍.我们研究有记忆功率放大器的数学模型主要使用了记忆多项式模型、Wiener 模型.Wiener 模型是最早用来描述记忆功率放大器的模型，它一般由一个线性时变系统来表征功率放大器的记忆效应，用一个无记忆的非线性系统来表征功率放大器的非线性，将两个系统级联构成.Wiener 模型的优点是它的预失真器可以由一个与之相逆的 Hammerstein 模型来模拟，该模型可以是功放非线性函数精确的反函数.确定了放

9、大器的模型后对其直接求逆得出预失真器的模型.此模型的数值计算结果业界常用NMSE参数评价其准确度，参数值在-50左右为理想参数.2.3问题三通常，用相邻道功率比 ACPR (Adjacent Channel Power Ratio)来衡量主信道的功率泄漏到相邻信道的多少.根据给出的数据，使用MATLAB软件计算功放预失真补偿前后的功率谱密度，采用线性回归算法和进行了仿真，由其公式我们知道ACPR值越大，功率放大器非线性对邻道的干扰程度越大，反之越小.三、模型假设1. 题目中测得功放的输入和输出信号值与前M项记忆多项式有关；2. 在某一时刻放大器的特性曲线不受环境影响是确定不变的；3. 附录所测

10、得的输入输出数据可靠；4. 最小二乘拟合估计出的参数能直接用于预失真模型；5. 不考虑、随机误差和连续问题离散化所产生的误差；6. 假定本题涉及的信号为时间平稳信号.四、 符号说明x(t)输入信号z(t)输出信号t时间变量g功放的理想“幅度放大倍数”y(t)预失真器的输出F (·)预失真器特性函数G (·)功放输入-输出传输特性函数生成特性函数的一组基构成的矩阵正交化后的矩阵PSD功率谱AM/PM幅度、幅度失真PA功率放大器EVM误差矢量幅度ACPR相邻信道功率比DTFT傅里叶变换RF射频五、 模型的建立与求解5.1问题一的模型的建立与求解若记输入信号，输出信号为， 为时间

11、变量，则功放非线性在数学上可表示为，其中为非线性函数.预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出特性线性化，输出功率得到充分利用.原理框图如图1所示.图1 预失真技术的原理框图示意其中和的含义如前所述，为预失真器的输出.设功放输入-输出传输特性为G(·)，预失真器特性为F(·)，那么预失真处理原理可表示为 (1.1)G(·)和F(·)的复合函数等于L(·). 线性化则要求 (1.2)式中常数是功放的理想“幅度放大倍数”(g>1). 因此，若功放特性G(·)已知，则预失真技术的核心是

12、寻找预失真器的特性F(·)，使得它们复合后能满足 (1.3)如果测得功放的输入和输出信号值，就能拟合功放的特性函数G(·)，然后利用(1.3)可以求得F(·).(一)无记忆功放问题A、功放的非线性特性的数学模型数据文件1给出了某功放无记忆效应的复输入-输出测试数据，其输入-输出幅度图为：图2 功放输入/输出幅度散点图根据函数逼近的Weierstrass定理，对解析函数总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度，因此我们用多项式曲线拟合逼近的方法求出了(用matlab程序求出见附录1) . (1.4)拟合曲线如图3所示.图3拟合曲线为实线曲线采用归一化均方误差 (

13、Normalized Mean Square Error, NMSE) 来表征计算精度，其表达式为用z表示实际信号值，表示通过模型计算的信号值，NMSE就反映了模型与物理实际模块的接近程度，也就是在这个误差判断方法中，得到的NMSE的值越小，则误差就越小，而我们这个数学模型的NMSE为-81.1763(Matlab程序求出见附录1)，由此可见，我们拟合出来的多项式是很精确的，对于求接下来的建立预失真模型有很大的帮助.(二).建立预失真模型1.求出功率放大倍数通过我们可以知道要求出预失真特征函数，必须先求出功率放大倍数 .在这里我们运用最小二乘数值拟合的方法，在满足预失真处理的“输出幅度限制”，

14、且尽可能使功放的输出“功率最大化”的条件下，求得所给的一系列输入-输出值的拟合直线方程，如图4所示(Matlab程序见附录2)根据图像显示，直线的斜率即为功率的放大倍数，即g=2.4265.图4 拟合直线2.正交多项式的引入在功放的特性已知条件下，为了求出预失真特征函数，因为是一个特殊的多项式复合函数，不能直接运用求逆函数的方法，为了方便计算，我们运用多项式正交的方法来处理这个问题，具体过程如下介绍：预失真器多项式可以有效补偿功放引起的非线性效应，对应预失真多项式可表示为： (1.5)上式也可表示为：正交基的构造可以达到降低输入矩阵的相关性，从而减小减轻特征值扩散，提高收敛性能的目的, 式(1

15、)中，如果引入正交多项式，则(1.5)可以写作 (1.6)式子 , ,和覆盖相同的空间,是一组正交基，具有一下性质：1) 正交性：任意两个不同基， 是正交的即： (1.7)2) 基的构造应满足 (1.8)这里为上三角矩阵中的单元，其通常为复值且当时有.因此求解这组正交基的问题就转为了求这个上三角矩阵和新的系数向量的问题.通过参考文献3.我们已经知道 (1.9)则k 阶正交多项式基可表示为 (1.10)而求解系数可以通过间接学习结构求得 (1.11)在这里为埃尔米特矩阵变换.这样整个新的表达式就可以表达为， (1.12)3.求解预失真特性多项式由图一所示，我们可以得到下面的关系因此，可以分两步求

16、解： (1.13)通过求出，再通过求出的表达式.在这两步求解中都要用到正交多项式的方法，下面就是求出的一系列, 我们就运用这样的方法求得了这组正交基，它是一个上三角矩阵， 得到的系数为得到对应的一系列为(1.14)接下来再通过求出的表达式，这里也是运用正交多项式的方法，因为 (1.15)也可以写成： (1.16)同样运用上面介绍的求解正交的和新的系数.而且随着取不同的放大系数g，得到的表达式会不同，因此根据线性化原则以及“输出幅度限制”和“功率最大化”约束，我们在不超出输出限制，和尽量使得信号放大，我们选取了几个不同放大倍数，得到了相对应的和表达式及其图像(Matlab程序见附录)如以下几个图

17、所示：图5 线性拟合结果通过这四个图形可以知道，放大的倍数越大，预失真处理之后的线性化越是明显，但是考虑到功率放大器要达到一定的放大的功能(g>1)我们不可能将g取为一，而我们前面计算出在各种约束条件下，最大的放大倍数最好就在g=2.4265，具体放大倍数的取值，我们就限定在这个区间内.4.模型的评估为了对我们所求出的预失真特性的函数进行评价，我们采用均方误差函数进行比较求出误差，即求出和目标函数的均方误差 (1.17)将我们求得的代入上式用Matlab(见附录1)我们求得其参数为4.1277e-005，由此可以看出我们的模型的计算精度是相当高. 图6为各个函数的图像图6问题二的模型的建

18、立与求解非线性的预失真问题一直是预失真技术的难点.通常采用 Volterra 级Hammerstein 模型的记忆预失真都存在形式复杂、自适应困难的缺点.文章通过Saleh模型在无记忆非线性前串联一FIR 线性滤波器来模拟有记忆非线性，基于多项式的无记忆放大器的高效预失真结构推广到有记忆放大器的预失真中,非线性多项式模型作为记忆预失真器模型实现了记忆非线性放大器的快速、高效的线性化.仿真结果表明, 利用所提出的预失真方案能快速实现记忆放大器的预失真, 而且显著提高了线性化性能.(一) 建立此功放的非线性特性的数学模型如果功放的某一时刻输出不仅与此时刻输入有关，而且与此前某一时间段的输入有关，则

19、称为有记忆功放.对(5)式增加记忆效应，可以写为： (2.1)式中M表示记忆深度，诸hkm为系数.具有记忆效应的功放模型也可以用更一般Volterra级数表示，由于Volterra级数太复杂，简化模型有Wiener、Hammersteint由于常用复值输入-输出信号，(2.1)可表示为便于计算的“和记忆多项式”模型. (2.2)(2.2)把改为，这个记忆多项式的预失真器就被描述为： (2.3)我们可以简单地概括这个模型包括偶数级和奇数级.因此预失真器有记忆Q最高的非线性级数K.在大多数预失真器的设计中，仅仅包括奇数级的非线性化，如，K=2l+1，则xn-qxn-qk-1=x（n-q）l+1x*

20、(n-q)l在2l+1级.因此，x(n-q)的指数是l+1，x*(n-q) 的指数是l.我们将在后边预失真器中包括偶数级非线性部分数据中显示频谱再生会有更大的衰减.在基带模型中偶数级项的详细研究在11中已经写出.记住偶数级部分与.前者包含相位信息，然而后者不包含相位信息.图7因为在参数中z(n)是线性的，后者可以用简单的最小均方算法估计.定义一个新的收敛序列： (2.4)我们应该有： z=Ua (2.5)当，.用最小均方计算(2.6)是： (2.6)显示了复杂的转置变换.数据文件2给出了某功放有记忆效应的复输入-输出测试数据, 其输入-输出幅度图为： 图 8功放输入/输出幅度散点图根据函数逼近

21、的Weierstrass定理，对解析函数总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度，因此我们用多项式曲线拟合逼近的方法求出了 (用matlab程序求出见附录2) (2.7)拟合曲线如图9所示. 图9拟合曲线为实线曲线(二)对该模型的评价采用归一化均方误差 (Normalized Mean Square Error, NMSE) 来表征计算精度，其表达式为如果用表示实际信号值，表示通过模型计算的信号值，NMSE就反映了模型与物理实际模块的接近程度，也就是在这个误差判断方法中，得到的NMSE的值越小，则误差就越小，而我们这个数学模型的NMSE为-28.3432(Matlab程序求出见附录2)，由

22、此可见，我们拟合出来的多项式是很精确的，对于求接下来的建立预失真模型有很大的帮助.(三)接下来我们建立预失真模型1.求出功率放大倍数通过我们可以知道，要求出预失真特征函数，必须先求出功率放大倍数.在这里我们依旧运用最小二乘数值拟合的方法，在满足预失真处理的“输出幅度限制”，且尽可能使功放的输出“功率最大化”的条件下，求得所给的一系列输入-输出值的拟合直线方程，如图10所示(Matlab程序见附录2)根据图像显示，直线的斜率即为功率的放大倍数，即g=9.9263图10将此图放大之后图11有记忆功放的预失真多项式可以写为： (2.8) 式中表示记忆深度，诸为系数.具有记忆效应的功放模型也可以用更一

23、般的Volterra级数12表示，由于Volterra级数太复杂，简化模型有Wiener、Hammersteint等34.由于常用复值输入-输出信号，上式也可表示为便于计算的“和记忆多项式”模型 (2.9)2.记忆非线性模型模拟功率放大器通常会引起幅度和相位失真, 不考虑记忆效应时, 非线性特性常用 Saleh模型10描述.当信号为宽带时, 记忆效应不能忽略, 通常在无记忆非线性前串联一FIR 线性滤波器来模拟有记忆非线性, 记忆预失真器模型采用带抽头延时的非线性多项式模型, 即: yn=0MBm（bm，xn-m） (2.10) Bmbm，xn-m=xn-mk=0Nbmkxn-mk-1 (2.

24、11)其中, N 表示多项式的阶数, M表示单位采样的最大延时.式(2.11)等式右边的第二项为一般无记忆的非线性多项式, 第一项xn-m为抽头延时, 因此称为带抽头延时的非线性多项式模型.如, 当 N=3, M=2, 即三阶非线性二抽头延时,yn= B0b0，xn+ B1b1，xn-1+ B2b2，xn-2=xn-1b11+b12xn-1+b13xn-12+xn-2b21+b22xn-2+b23xn-22 （2.12） 从式子(2.13)可以看出带抽头延时的多项式模型具有和一般多项式模型相似的形式, 因此完全可以把基于多项式模型的用于无记忆放大器的高效预失真结构推广到记忆非线性放大器的预失真

25、中.另外, 考虑到放大器的特性只有奇数阶失真出现在主区内, 因此式子(2) 又可简化为： Bmbm，xn-m=xn-mk=1Nbmkxn-m2k-1 (2.13)根据高效预失真方案, 后失真器和预失真器均采用式(1)和式(4) 联合表示的带抽头延时的非线性多项式模型, 且非线性阶数取 5, 抽头延时数为 2.自适应算法采用快速而有效的RLS 算法.记忆 PA 的特性不再像无记忆 PA只是一条曲线, 而是一簇有磁滞特性的曲线.因此, 如果对无记忆 PA 来说, 预失真是将一条曲线线性化成一条直线的话, 那么对有记忆放大器来说, 则是要将一簇曲线线性化成一条直线.预失真后, 联合特性的 AM/AM

26、 特性已几乎为一条直线, 幅度特性已达到线性化的目的; 联合特性的 AM/PM特性除在小信号输入幅度处有较小的相位差以外, 其余部分也基本为零, 不存在相位平移.仿真分别采用文献5 中的Wiener放大器模型(以下称“放大器 1”)和文献6中的 Wiener 放大器模型(以下称“放大器 2”)，且参数保持一致.其中，放大器 1 的线性部分具有 FIR 滤波器形式，传递函数为：Hz=0.7692+0.1538z-1+0.0769z-2放大器2模型的线性部分具有FIR滤波器形式，传递函数为：Hz=1+0.3z-21-0.2z-1模型的无记忆非线性部分都用 Saleh模型描述.基带输入采用经升余弦滤

27、波的 16QAM 调制信号.根据作者前期提出的高效预失真结构10，后失真器和预失真器均采用式(7)表示的 NTDL 模型.令 NTDL 模型的阶数为 5，抽头延时数分别为 1、2、3，以及抽头数为 2 时，非线性阶数分别为 5 和 7，对 Wiener PA 进行自适应预失真.自适应算法采用快速而有效的 RLS 算法.带内失真用失真信号与原调制信号星座矢量的均方矢量误差功率和均方参考矢量功率的比(EVM)表示，带外失真用邻信道功率比(ACPR)表示11.3.根据模型我们得到以下结论1)对于非线性阶数一定时，如均为五阶，一抽头时的线性化性能明显低于二抽头情形，但三抽头时的线性化性能则和二抽头时基

28、本一致.2)二抽头延时预失真器有很强的记忆失真补偿能力.线性部分分别使用了一个十阶的FIR滤波器，而本文采用 NTDL 模型，都只使用了 2 个抽头延时线，就可以达到比较满意的线性化性能.3)当抽头数一定时，如均为二抽头，七阶非线性的线性化性能高于五阶非线性.对于多项式非线性滤波，即使输入信号为白噪声，在经过输入矢量扩展后，形成的输入矢量也会具有很强的相关性.系统具有满意的线性化性能，接近于理想状况.记忆非线性放大器的预失真问题一直是预失真技术的难点.通常的记忆非线性可以采用 Volterra 级数、Hammerstein 模型和神经网络等方式进行拟合, 但基于这些方式的预失真器都存在形式复杂

29、、自适应困难的缺点.本文通过将先前提出的基于多项式的无记忆放大器的高效预失真方案增加两个延时环节扩展到记忆预失真中, 并联合一种形式较简单的带抽头延时的多项式模型作为记忆预失真器模型, 实现了记忆非线性放大器的预失真线性化.仿真结果表明, 采用本文提出的记忆高效预失真方案, 预失真器参数能快速收敛, 在输出信号功率约降低 5 dB 的情况下, 邻信道功率比降低了 23.1 dB, 达到满意的线性化性能.问题三模型的建立与求解相邻信道功率比(Adjacent Channel Power Ratio，ACPR)是表示信道的带外失真的参数，衡量由于非线性效应所产生的新频率分量对邻道信号的影响程度.邻

30、道功率比可以定义为:相邻信道的功率与主信道功率的比值，即： (3.1)其中为信号的功率谱密度函数，为传输信道，为相邻信道.由式( 3.1)可以看出，ACPR值越大，功率放大器非线性对邻道的干扰程度越大，反之越小.由于功率谱密度(PSD)可以直观的看到预失真器的性能，同时也能反映相邻信道的干扰修正情况，因此常常采用功率谱密度来作为ACPR的计算标准. 功率放大器是通信系统中的重要组成部分，非线性是其固有的特性，功放的非线性会导致输出信号频谱扩展，从而对邻信道产生干扰，增大通信系统误码率.而QAM、OFDM等具有高频谱利用率的新兴调制和传输技术具有非恒定包络、宽频带和高峰平比等特点，这些特点决定了

31、必须采用高线性度的功放.于是，人们提出了许多功放线性化方法，常用的有功率回退、前馈、负反馈、预失真等.预失真的原理是在功率放大器之前加入一个与功放非线性特性相逆的预失真器，从而使整个系统呈现出线性特性.其中，数字预失真技术具有稳定、高效、宽带宽与自适应等优势，能达到中等程度的线性化，是比较有前途的一种线性化技术.原理图为：ViF(Vi)VdG(Vd)A图12 (3.2)1、功率谱密度一个确定性的能量信号可以通过能量密度谱E()来描述信号能量在频域的分布特性.同理,对一个确定性功率信号可以利用功率密度谱来描述信号功率在频率域分布情况,功率密度谱反映了单位频带信号功率的大小,频率的函数以表示. 设

32、x(t)是一个功率信号,其平均功率定义为: (3.3)由于功率信号不满足傅立叶变所要求的总能量为有限(平方可积)的充要条件,因此为了求得傅立叶变换与功率密度谱的关系式,采取求极限的办法先将x(t)截短形成,即 (3.4)所以只要T为有限值,则相应的傅立叶变换存在,其总能量按能量信号的帕斯瓦尔公式,有 (3.5) 由于故得平均功率为 (3.6) 上式中,因x(t)是功率信号,故极限存在,当T,XT()2/2T趋于一个极限值. 令 (3.7) 由式(4.22)右端所示的平均功率可写成为 (3.8) 可见,平均功率是由被积函数p()在频率(-, )区间覆盖的面积所确定.故称p()为功率密度谱,简称功

33、率谱.这样就把功率信号在频域的分析与傅立叶变换联系起来.如果x(t)表示随机信号X(t)的任一样本函数,则意味着随机信号在频域的特征可以通过傅立叶变换来表征.同时从式(4.22)还表明随机信号的平均功率也可以通过计算均方值的时间平均(时间均方值)来求得.功率密度谱虽然描述了随机信号的功率在各个不同频率上的分布,但因为它仅与幅度频谱有关,没有相位信息,所以从已知功率谱还难以完整地恢复原来的功率信号.设X(t)表示功率型随机信号，则其每一样本函数x(t)也是功率信号.由于随机过程每一实现是不能预知的,因此随机信号的功率密度谱应是所有样本功率谱p/计平均,即: (3.9) 这里XT()是任一截短后样

34、本xT2(t)的傅立叶变换,即: (3.10) 将XT()带入式(9.75)中的XT()2=XT() X*T(),得: (3.11)式中Ex(t1)x(t2)=Rxx(t1, t2), -Tt1,t2T .令t1=t, t2=+ t1并将双变量dt1=dt, dt2=d带入上式进行变量置换,则得 (3.12) 式(3.12)表明:对于任意随机信号X(t),它的自相关函数的时间均值与信号的功率密度谱构成一对傅立叶变换.若X(t)是平稳随机信号,则由于自相关函数与t无关,故有: (3.13) (3.14)当Rxx()为绝对可积,则存在相应的傅立叶变换,故式(9.77)可写成为 (3.15)根据傅立

35、叶变换的唯一性,px()的反变换为: (3.16) 式(3.16)与式(4.29)所表示的平稳随机信号的自相关函数与功率密度谱构成傅里叶变换对的关系称为维纳一欣钦(Wiener-Khinchine)定理或维纳一欣钦公式.通过相关函数，可以求出在频域描述随机信号的基本特征量功率密度谱.功率密度谱具有非负性和偶对性，即 ; 故有 (3.17) 上述维纳欣钦定理不仅适用于连续型的随机信号,而且也适用于离散型的随机序列,也就是说对具有零均值实平稳随机序列的功率密度谱px()与序列的自相关函数RXX(m)是一对离散时间傅立叶变换. 设X(n)表示一具有零均值的平稳离散时间随机信号,其自相关函数为: (3

36、.18)当RXX(m)满足绝对可和时,则定义X(n)的功率密度谱px()为序列RXX(m)的离散时间傅立叶变换(DTFT),即: 或, =T (3.19) 这时序列的功率谱px()在频域是以s=2或S=2/T为周期的周期性连续函数.按式(5.6)求得px()的IDTFT为: (3.20) 当m=0,则有 (3.21) 为了分析方便,还可以将式(9.84)写成Z变换的形式,即: (3.22) 根据式(4.29),则有: (3.23) 2、功放预失真补偿前后的功率谱密度为验证本文所提出的预失真方法的可靠性，我们对加上预失真前后系统的误比特率进行了仿真.加上预失真前后系统的功率谱密度如图13.从图中

37、可以看到，加上预失真器后，信号的传输效率提高了. 图13率谱密度图结论 本文主要运用多项式曲线拟合的方法求出功放的非线性表达式的逼近形式，然后用NMSE参数评价了无记忆和有记忆的功放非线性模型，结果相当乐观. 在满足预失真处理的“输出幅度限制”，且尽可能使功放的输出“功率最大化”的条件下，我们用最小二乘拟合的方法逼近功放模型的曲线，求出了无记忆和有记忆功放的放大倍数.建立预失真模型是我们还运用了正交多项式和间接学习结构，得到的预失真模型代入应用之后，结果与线性化的目标函数做归一化均方误差评价，得到的结果非常好，模型的精确度是很高的.参考文献1 John Tsimbinos, Identific

38、ation and Compensation of Nonlinear Distortion, PhD Dissertation, School of Electronic Engineering, University Of South Australia, Adelaide, February 1995.2 Tianhai Wang, et al. Volterra-Mapping-Based Behavioral Modeling of Nonlinear Circuits and Systems for High Frequencies. IEEE Trans. Microwave T

39、heory and Techniques, 2003,51(5):1433-14403 Raviv Raich, et al. Orthogonal Polynomials for Power Amplifier Modeling and Predistorter Design. IEEE Trans. Vehicular technology, 2004,53(5):1468-14794 ennis R.Morgan et al. A Generalized Memory Polynomial Model for Digital Predistortion of RF Power Ampli

40、fiers. IEEE Trans. Signal Processing , 2006,54(10):3852-3865 Burel G.Bouder C.Blind estimation of the pseudo-random sequence, of a direct sequence spread spectrum signalC/MILCOM 2000, c2000, 2: 967- 970. 6 ANG H W, CHO Y S, YOUND D H. On compensating nonlinear, distortions of an OFDM system using an

41、 efficient adaptive predistorter, J. IEEE Trans Commun, 1999, 47(4): 522-526.7 ING L, RAVIV R, ZHOU G T. A Hammerstein predistortion lineari-zation design based on the indirect learning architectureA. ICASSPC. 2002.2689-2692.8 钱业青. 一种高效的用于 RF 功率放大器线性化的自适应预失真结构J. 通信学报, 2006，27(5):35-40, 46.9 3GPP TS

42、25.141 V5.3.1 Release 5, Base Station Conformance Testing(FDD)S. 2002.10 邦维, 杨春林, 许乔, 顾元元. 功率谱密度的数值计算方法J. 强激光与粒子束2000.11 秦开宇，蔡顺燕. 新的射频功放预失真线性方法J. 电子科技大学出版社.2011.附录1clc;clf;clear;load('pa_in_out_memoryless.mat')g=input(' 拟合多项式曲线的除数') xdata=abs(pa_in_memoryless); max_x=max(xdata) size(

43、xdata) ydata=abs(pa_out_memoryless); plot(xdata,ydata,'r.','Markersize',15); a=polyfit(xdata,ydata,g) y2data=polyval(a,abs(xdata);%求出拟合曲线x所对应的y值 hold all; %离散数据所得到的图像 plot(abs(xdata)',y2data');%画连续的图像 %对所给数据进行最小二乘拟合，确定适合的值X=xdata;Y=ydata;n=1000; sum(X.*Y) g1=(n*sum(X.*Y)-(sum

44、(X)*sum(Y)/(n*sum(X.2)-(sum(X)2); g0=sum(Y)/n-(g1*sum(X)/n;disp('g1=');disp(g1); Y1=g0+X.*g1;hold all;plot(X,Y1,'xg'); %求正交函数基，与拟合的8阶多项式吻合 disp('求正交多项式的系数矩阵');det=zeros(g);for k=1:g for l=1:k det(l,k)=(-1)(l+k)*factorial(l+k)/(factorial(l-1)*factorial(l+1)*factorial(k-l); end

45、end disp('det=');disp(det);a1=a(1:g) b=a1*inv(det');disp('b=');disp(b); n1=sum(ydata-y2data).2) n2=sum(ydata.2); NMSE=10*log10(n1/n2); disp('NMSE='); disp(NMSE); xlabel('x(t)'); ylabel('G(x(t)'); title('图三 ');运行结果拟合的多项式曲线的除数：8g = 8max_x = 1.0553ans

46、 = 1000 1a = 10.7274 -45.8924 75.0843 -56.5573 18.6353 -3.3583 0.2809 2.9919 0.0000ans = 105.2838g1= 2.4265求出的正交函数系数的上三角矩阵如下：det= Columns 1 through 7 1 -3 6 -10 15 -21 28 0 4 -20 60 -140 280 -504 0 0 15 -105 420 -1260 3150 0 0 0 56 -504 2520 -9240 0 0 0 0 210 -2310 13860 0 0 0 0 0 792 -10296 0 0 0 0

47、 0 0 3003 0 0 0 0 0 0 0 Column 8 -36 840 -6930 27720 -60060 72072 -45045 11440a1 = 10.7274 -45.8924 75.0843 -56.5573 18.6353 -3.3583 0.2809 2.9919b= 0.7985 -0.1090 1.1148 -0.0852 0.1644 0.0242 0.0040 0.0003n1 = 2.0555e-006NMSE= -81.1763下面是四个不同放大倍数对线性化影响的程序>>clc;clf;clear;load('pa_in_out_me

48、moryless.mat') xdata=abs(pa_in_memoryless); ydata=abs(pa_out_memoryless); plot(xdata,ydata,'r.','Markersize',15); hold on a=polyfit(xdata,ydata,8); y2data=polyval(a,abs(xdata); plot(abs(xdata)',y2data,'b');%»­Á¬ÐøµÄͼ&

49、#207;ñsyms xx0=xdata;y0=a(1).*x.8+a(2).*x.7+a(3).*x.6+a(4).*x.5+a(5).*x.4+a(6).*x.3+a(7).*x.2+a(8).*x+a(9)n1=sum(ydata-y2data).2);n2=sum(ydata.2);NMSE=10*log10(n1/n2) x1=ydata;y1=1.5.*xdata;plot(x1,y1,'g')b=polyfit(x1,y1,8)y1=b(1).*x.8+b(2).*x.7+b(3).*x.6+b(4).*x.5+b(5).*x.4+b(6).*x.3+b

50、(7).*x.2+b(8).*x+b(9)x=xdata;for i=1:size(xdata) y2(i)=b(1).*x(i).8+b(2).*x(i).7+b(3).*x(i).6+b(4).*x(i).5+b(5).*x(i).4+b(6).*x(i).3+b(7).*x(i).2+b(8).*x(i)+b(9);end x=y2;for j=1:size(xdata) y3(j)=a(1).*x(j).8+a(2).*x(j).7+a(3).*x(j).6+a(4).*x(j).5+a(5).*x(j).4+a(6).*x(j).3+a(7).*x(j).2+a(8).*x(j)+a(9);endplot(xdata,y3,'k')text(xdata(1000),ydata(1000),'G(x(t)');text(0.8,0.5,'F(x(t)');text(xdata(1000),y3(1000),'G(F(x(t)');disp('Êä³ö×îÓÅg=');max(ydata)/ma