线性代数课件第三章

1、第二章第二章 矩阵的初等变换与线性方矩阵的初等变换与线性方程组程组1. 矩阵的初等变换矩阵的初等变换2. 矩阵的秩矩阵的秩3. 线性方程组的解线性方程组的解 以以Em(ij(k)左左乘矩阵乘矩阵A=(aij)m n, 相当于把相当于把A的第的第j 行乘数行乘数k加到加到A的第的第i 行上行上(ri+krj).1112111221212nijijinjnjjjnmmmnaaaakaakaaaaaaaaa 1112112121211( ( )11niiinmjjjnmmmnaaaaaakEij k Aaaaaaa 第第i 行行 第第j 行行 类似地类似地, 以以En(ji(k)右右乘矩阵乘矩阵A=

2、(aij)m n, 其其结果相当于把结果相当于把A的第的第j 列乘数列乘数k加到加到A的第的第i 列上列上(ci+kcj).经过初等行变换经过初等行变换, 可把矩阵化为行阶梯形矩阵可把矩阵化为行阶梯形矩阵, 其其特点特点是是: 可画出一条阶梯线可画出一条阶梯线, 线的下方全为线的下方全为0; 每个台阶每个台阶只有一行只有一行, 台阶数即是非零行的行数台阶数即是非零行的行数, 阶梯线的竖线阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元也就是非零行的第一个非零元.经过初等行变换经过初等行变换, 行阶梯形矩阵还可以

3、进一步化行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵为行最简形矩阵, 其其特点特点是是: 非零行的非零首元为非零行的非零首元为1, 且且这些非零元所在列的其它元素都为这些非零元所在列的其它元素都为0. 若在矩阵若在矩阵A中有一个中有一个r 阶子式阶子式D非零非零, 且所有的且所有的r+1阶子式阶子式(如果存在的话如果存在的话)都为零都为零, 则称则称D为为矩阵矩阵A的一个的一个最高阶非零子式最高阶非零子式, 称称数数 r 为为矩阵矩阵A的秩的秩, 记作记作R(A). 如果如果A中有一个中有一个r 阶子式非零阶子式非零, 则则 R(A) r .如果如果A的所有的的所有的r+1阶子式都为零阶子式都为零

4、, 则则 R(A) r .行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数.若若A为为n阶可逆矩阵阶可逆矩阵, 则则(1) A的最高阶非零子式为的最高阶非零子式为|A|; (2) R(A)=n;(3) A的标准形为单位矩阵的标准形为单位矩阵E; (4) A E.性质性质1: 0 R(Am n) minm, n;性质性质2: R(AT) = R(A);性质性质3: 若若A B, 则则R(A) = R(B);性质性质4: 若若P, Q可逆可逆, 则则R(PAQ) = R(A); 性质性质5: maxR(A), R(B) R(A B) R(A) + R(B), 特别当特别当B = b

5、时时, R(A) R(A b) R(A) + 1;性质性质6: R(A + B) R(A) + R(B); 性质性质7: R(AB) minR(A), R(B);性质性质8: 若若Am nBn l =O, 则则R(A)+R(B) n. 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵, 行阶行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.(注意：行变注意：行变换与列变换不能同时进行！换与列变换不能同时进行！) (2) 初等变换法初等变换法 (1) 利用定义利用定义 (矩阵的阶数矩阵的阶数 )3 求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法寻找矩阵中非零子式的最

6、高阶数寻找矩阵中非零子式的最高阶数; 齐次线性方程组的解法齐次线性方程组的解法: 系数矩阵化成行最简形系数矩阵化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便可写出其通解. 非齐次线性方程组的解法非齐次线性方程组的解法: 增广矩阵化成行阶梯增广矩阵化成行阶梯形矩阵形矩阵, 便可判断其是否有解便可判断其是否有解. 若有解若有解, 化成行最简形化成行最简形矩阵矩阵, 便可写出其通解便可写出其通解. 定理定理1: n元线性方程组元线性方程组Am nx=b (1) 无解的充分必要条件是无解的充分必要条件是R(A)R(A,b); (2) 有唯一解的充分必要条件是有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n

7、; (3) 有无穷多解的充分必要条件是有无穷多解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)n. 把把行最简形行最简形中中r 个非零行的个非零行的所对应的未所对应的未知量取作知量取作, 其余其余nr个未知量取作自由未个未知量取作自由未知量知量, 并令自由未知量分别取并令自由未知量分别取c1, c2, cnr , 由由B(或或A)的行最简形即可写出含有的行最简形即可写出含有nr个参数的通解个参数的通解.)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换.1BAX BA 1BAE初初等等列列变变换换.1 BAX)(TTBA)(1TTBAE 初初等等行行变变换换TTTBAX1)( 或者或者(1) AX=B(2)

8、XA=B.1 BAX 注意注意: 用初等行变换求逆矩阵时用初等行变换求逆矩阵时, 必须始终用必须始终用行变行变换换, 其间其间不能作任何列变换不能作任何列变换. 同样地同样地, 用初等列变换求用初等列变换求逆矩阵时逆矩阵时, 必须始终用列变换必须始终用列变换, 其间不能作任何行变换其间不能作任何行变换. 例例3: 当当a取何值时取何值时, 下述齐次线性方程组有非零解下述齐次线性方程组有非零解, 并且求出它的通解并且求出它的通解.0323002204321432143214321 axxxxxaxxxxxxxxxxx解法一解法一: 系数矩阵系数矩阵A的行列式为的行列式为aaA3231112121

9、1111| 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa11111010121201001111000132310000 当当a = 1时时, 把系数矩阵把系数矩阵A化成最简形化成最简形:,01014321 kxxxxx从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解:k为任意常数为任意常数.当当a = 1或者或者a=2时时, |A|=0, 方程组有非零解方程组有非零解. 00000300101011112323121121211111 0000010010100001当当a=2时时, 把系数矩阵把系数矩阵A化成最简形化成最简形:,10104321 k

10、xxxxx从而得到方程组的通解从而得到方程组的通解:k为任意常数为任意常数. aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二: 用初等行变换把系数矩阵用初等行变换把系数矩阵A化为阶梯形化为阶梯形 2000010010101111aa 当当a= 1或者或者a=2时时, R(A)n时，必有行列式0|AB(B) 当mn时，必有行列式0|AB(C) 当nm时，必有行列式0|AB(D) 当nm时，必有行列式0|AB2010年期末考题年期末考题2.已知 P为3阶非零方阵，且满足PQ=0,则( ),96342321tQ(A) t=6时，P的秩必为1；(B) t=6时，P

11、的秩必为2；(C) 时，P的秩必为1；(B) 时，P的秩必为2；6t6t2010年期末考题年期末考题2.设设A, B为为n阶非零方阵阶非零方阵, 且且AB=O , 则则A和和B的秩的秩( ) A. 必有一个为零必有一个为零 B. 都小于都小于nC. 一个小于一个小于n，一个等于，一个等于n D. 都等于都等于nB2009年期末考题年期末考题(线代线代I) 002120110719214321ccxxxx答答案案： 6242163511325)12.(432143214321xxxxxxxxxxxx通通解解：求求下下列列非非齐齐次次方方程程组组的的分分四四2009年期末考题年期末考题(线代线代I

12、I)1、设、设A与与B均为均为n阶方阵，则下列结论中成立的是阶方阵，则下列结论中成立的是( )A. |AB|=0,则则A=0或或B=0; B. |AB|=0,则则|A|=0或或|B|=0；C. AB=0,则则A=0或或B=0; D. AB0,则则|A|0或或|B|0； B2010选考题选考题 143132111830520002)8.(3X求解矩阵方程求解矩阵方程分分 2235231727171121X答案：答案：2010选考题选考题4设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组Ax = b有有n个未知量个未知量, m个方程个方程, 且且R(A) = r, 则此方程组则此方程组( )。(A) 当当r

13、= m时时, 有解有解; (B) 当当r = n时时, 有唯一解有唯一解; (C) 当当m = n时时, 有唯一解有唯一解; (D) 当当r n; (B)(D) R(A) m.bxAnm 六、六、(10分分) 求方程组求方程组 642136511354432143214321xxxxxxxxxxxx 的通解的通解.2008年期末考题年期末考题(I)2已知A= B0, B为3阶矩阵, 且AB = 0, 则t = .,03032321 t(A) 9, (B) 27, (C) 18, (D) 27.2008年期末考题年期末考题(II)12312112323012xAa,b,xxxa 例：设例：设求求 为何值时为何值时(1)齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解(2)线性方程组线性方程组 无解无解a0Ax Axb 例：例： 为何值时，线性方程组为何值时，线性方程组1232123123424xxkxxkxxkxxx 有唯一解，无解，有无穷多组解？若有解，有唯一解，无解，有无穷多组解？若有解，求出其全部