双曲线的简单几何性质练习题

1、课时作业十一学业水平层次、选择题1. 等轴双曲线的一个焦点是Fi -6,0，那么它的标准方程是( )2 2B.y xA.石 一 =118 182 2y x=18 82 2x y C- = 1 D.8 8【解析】设等轴双曲线方程为2 2x y2 2= 1(a>0),a a2 2a + a = 6，二a = 18,故双曲线方程为応卷=1.【答案】 B22. 2021 高二考试双曲线方程为X2才=1,过R1,0的直线I与双曲线只有一个公共点，那么共有1A. 4条B . 3条C . 2条D . 1条2【解析】因为双曲线方程为x2春=1,所以R1,0是双曲线的右顶点，所以过 R1,0并且和x轴垂直

2、的直线是双曲线的一条切 线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P1,0分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，应选B.【答案】B2 2x y3. 2021 大纲全国卷双曲线 C: a2 #= 1a>0, b>0的离心率为2,焦点到渐近线的距离为>3,那么C的焦距等于A. 2 B . 2 2 C . 4 D . 4 2【解析】 由得e=a= 2,所以a= 2。，故bJc a =-c,从而双曲线的渐近线方程为 y=± ax=± , 3x,由焦点到渐近线的距离为-.3,得23c =-,3,解得c= 2,故2c=4,应选C.【答案】C2 24.

3、 2021 高考假设实数k满足0<k<5，那么曲线* 5= 12 2与曲线16 k 5 = 1的A.实半轴长相等 B .虚半轴长相等C.离心率相等 D .焦距相等2 2x y 【解析】假设0<k<5,那么5 k>0,16 k>0,故方程7；165 k=1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为 4,虚半轴的长为5 k,焦距 2c=2 21 k,离心率 e=4，2 2 同理方程朮ki=1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为-，16 k,虚半轴的 长为寸5,焦距2c = 2p21 k，离心率e=?；6 k.可知两曲线的焦距 相等，应选D.【答案】D二、填空题

4、x25. 2021 高二检测在平面直角坐标系xOy中，假设双曲线m2= 1的离心率为Q5,那么m的值为.【解析】t c2 =m+4,2 c2 m+ m+ 4二 e = = 5,a m2/. m 4m+ 4= 0,二 m= 2.【答案】22 26. (2021 高考)F为双曲线C: 9 鲁=1的左焦点，P, Q为C 上的点.假设PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上, 那么 PQF勺周长为.【解析】由双曲线方程知，b= 4, a= 3, c= 5,那么虚轴长为8,那么|PQ = 16.由左焦点F( 5,0)，且A(5,0)恰为右焦点，知线 段PQ过双曲线的右焦点，那么P, Q都在双

5、曲线的右支上.由双曲线 的定义可知| PF| | PA = 2a, | QF | QA = 2a,两式相加得，| PF| + |QF (| PA| + | QA) = 4a,那么 | PF +1 QF = 4a + | PQ = 4 x 3 + 16 =28,故厶PQF的周长为28+ 16 = 44.【答案】442 2x y7. (2021 )设直线 x 3y+ m= 0( m#0)与双曲线 g詁=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点 A B,假设点R m,0)满足|PA| = | PB , 那么该双曲线的离心率是.【解析】由x 3y+ m= 0,by= ax,得点A的坐标为

6、ambm3b a' 3b a 'x 3y+ n= 0, 由by= 一x,a，一 ambm得点B的坐标为“ i c3b+ a3b+ a ,2 2a m3b mIt7 /$A r) rfr/-t r+-t j-t" rfrAt那么AB的中点C的坐标为c以2,22 ,9b a9b a1t kA尸 3,3b2m2 29b a3,二 kcp=a mm9b a即a3b2_a 9b a3,化简得a=4b,即 a2= 4( c2 a2)，二 4c2= 5a2,54,e=【答案】三、解答题2 28. 双曲线与椭圆令+ 6j4= 1有一样的焦点，它的一条渐近线为y=x,求双曲线的标准方程

7、和离心率.2 2X y2【解】由椭圆16 + 64= 1,知c = 64 16=48,且焦点在y轴上,t双曲线的一条渐近线为y= x,2 2 设双曲线方程为y2 %= 1.a a又 c2= 2a2 = 48,. a2= 24.所求双曲线的方程为由 a2= 24, c2= 48,2 得 e = = 2,a又 e>0,. e= 2.2 2y x一=124 249. (2021 高二检测)双曲线二右=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程； 求双曲线的渐近线与直线x= 2围成的三角形的面积.2 x 【解】(1) T双曲线的右焦点坐标为(2,0)，且双曲线方程为-22= 1 , C = a

8、 + b = 3+ b = 4,二 b = 1,2x 2二双曲线的方程为y = 1.：a= 3, b= 1,y=± 33x，双曲线的渐近线方程为令x=-2,那么y=±耳3设直线x= 2与双曲线的渐近线的交点为 A B,那么| AB =3 3，记双曲线的渐近线与直线 x= 2围成的三角形面积为S,那么 S= 2x4 3X2= 4 3.能力提升层次2 2x y1. (2021 省实验中学高二检测)双曲线孑一詁=1(a>0, b>0) 的两条渐近线均与 C: X2+ y2 6x + 5= 0相切，那么该双曲线离心率 等于()A芈B.噜C. I D.誓【解析】圆的标准方

9、程为(x I)2 + y2 = 4，所以圆心坐标为C(I,0)，半径r = 2,双曲线的渐近线为y =±-x,不妨取y = -x，即abxy=0,因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d= fI?b2p+ b4 9=2,即卩 9b=4( + b)，所以 5b = 4, b = 2= c 2，即2= c,5 52 93需所以 e = 5, e=5,选 A.【答案】A2 22. (2021 市东城区)设Fi, F2分别为双曲线2春=1(>0, b>0)的左、右焦点.假设在双曲线右支上存在点P,满足| PF| =| F1F2I ,且F2到直线PF的距离等于双曲线的实轴长，那么

10、该双曲线的渐近线 方程为()A. 3x±4y = 0 B . 3x+ 5y = 0C. 5x±4y = 0 D . 4x±3y = 0【解析】 由题意可知| PF| =| F1F2I = 2c,所以 PFF2为等腰三 角形，所以由F2向直线PF作的垂线也是中线，因为F2到直线PF的 距离等于双曲线的实轴长 2,所以| PF| = 24c2-42 = 4b,又| PF| | PF2| = 2,所以4b 2c = 2,所以2b = c,两边平方可得 4b222222b 44ab + a = c = a + b ,所以 3b = 4ab,所以 4a = 3b,从而a=2

11、，所 a 3以该双曲线的渐近线方程为4x±3y = 0,应选D.【答案】D23. 过双曲线x2卷=1的左焦点F,作倾斜角为-6的直线AB其中A B分别为直线与双曲线的交点，那么|AB的长为 【解析】双曲线的左焦点为Fi( 2,0),将直线AB方程y = ¥(x + 2)代入双曲线方程，2得 8x 4x 13= 0.显然> 0,设 A(xi, yi)、B(x2, y2),1X1 + X2 = 2,X1X2= 13二| AB =1 + k2 X1 + X22 4x1X2=1 + 3 224X 13 = 3.【答案】34. (2021 师大)中心在原点的双曲线C的右焦点为(

12、2,0),右顶 点为C.3, 0).(1) 求双曲线C的方程；(2) 假设直线I : = kx + “. 2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA 032,其中O为原点，求k的取值围.2 2【解】(1)设双曲线C的方程为移一b = 1(a>0, b>0)，由得a=3, c = 2.oooo又因为a + b = c ,所以b = 1,2x故双曲线c的方程为y = 1.2(2)将 y= kx+ - 2代入y2= 1 中，得(1 3k2)x2 6 ；'2kx 9 = 0, 由直线I与双曲线交于不同的两点得21 3k 工0, = 6 '2k 2+ 36 1 3k2 >0,1即kJ 3且k2<1.3设 A(xa, yA), B(xb, yB),另E么 Xa+ Xb=62k1 3k2,XaXb=1 3k2,由 OA OE>2 得 xaxb + yAyB>2,而 XaX