角平分线模型的构造

1、精品第二章角平分线模型的构造技巧提炼：与角平分线有关的常用辅助线作业，即角平分线的四大基本模型。已知 P 是MON平分线上一点，（ 1）若 PAOM 于点 A ，如图 a，可以过 P 点作 PB ON 于点 B，则 PB=PA 。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线” 。（ 2）若点 A 是射线 OM 上任意一点，如图b，可以在 ON 上截取 OB=OA ，连接 PB，构造 OPB OPA 。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。（ 3）若 AP OP 于点 P，如图 c，可延长 AP 交 ON 于点 B，构造AOB 是等腰三角形， P 是底边 AB 的中点，可记为“角

2、平分线加垂线，三线合一试试看”。（ 4）若过 P 点作 PQON 交 OM 于点 Q ，如图 d ，可以构造 POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线+ 平行线，等腰三角形必呈现”。例题精讲例 1 （1 ）如图 a，在ABC 中，C=90 ,AD 平分CAB ，BC=6 cm ， BD=4 cm ，那么点 D 到直线 AB 的距离是cm 。（ 2 ）如图 b，已知： 1= 2 ，3= 4 ，求证： AP 平分BAC 。感谢下载载精品例 2 如图 a 在 Rt ABC 中，ACB=90 ，CD AB ，垂足为D， AF 平分CAB ，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F，（ 1 ）求证： CE=

3、CF 。（ 2 ）将图 a 中的ADE 沿 AB 向右平移到 A D E的位置，使点 E 落在 BC 边上，其他条件不变，如图b ，试猜想 :BE与 CF 有怎样的数量有关系？请证明你的结论。例 3 阅读下列学习材料：如图 a，OP 平分MON ，A 为 OM 上一点， C 为 OP 上一点， 连接 AC ，在射线 ON 上截取 OB=OA ，连接 BC，易证AOC OBC 。请根据上面的学习材料，解答下列各题：（ 1 ）如图 c，在ABC 中，AD 中BAC 的外角平分线， P 是 AD 上异于 A 点的任意一点， 试比较 PB+PC 与 AB+AC的大小，并说明理由。（ 2 ）如图 d，

4、AD 中BAC 的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB 与 AC-AB 的大小，并说明理由。感谢下载载精品例 4 如图，已知等腰直角 ABC 中，A=90 ,AB=AC ，BD 平分ABC ，CE BD ，垂足为点 E，求证： BD=2CE 。例 5 （ 1 ）如图 a， BD 、CE 分别是 ABC 的外角平分线，过点A 作 AD BD 、 AECE，垂足分别为D 、E，连1接 DE，求证 DEBC， DE=( ABBCAC ) ；2（ 2 ）如图 b， BD 、 CE 分别是ABC 的内角平分线，其他条件不变；（ 3 ）如图 c， BD 为ABC 的内角平分线，CE 为ABC 的外角

5、平分线，其他条件不变，则在图 b ，图 c 两种情况下， DE 与 BC 还平行吗？它与 ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。感谢下载载精品变式练习：如图，在 ABC 中， AB=3AC ，BAC 的平分线交BC 于点 D ，过点 B 作 BE AD ，垂足为E，求证： AD=DE 。例 6 如图 a， AB=AC ， BD 、 CD 分别平分 ABC 、ACB ，问：（ 1 ）图 a 中有几个等腰三角形？（ 2 ）过点 D 点作 EFBC ，如图 b，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，图中又增加了几个等腰三角形？（ 3 ）如图 c，若将题中的 A

6、BC 改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF与 BE、CF 有什么关系？（ 4 ）如图 d,BD 平分ABC ，CD 平分外角 ACG ，DEBC 交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么关系？并说明理由。（ 5 ）如图 e， BD 、 CD 为外角 CBM 、BCN 的平分线， DE BC 交 AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，感谢下载载精品直接写出线段EF 与 BE、 CF 有什么关系？例 7 如图，已知在 ABC 中， AC=BC ，C=90 ,AD 平分CAB ，求证： AB=AC+CD 。变式练习：1 、

7、已知ABC 中， AC=AC ，A=108 ,BD 平分ABC ，求证： BC=AB+CD。感谢下载载精品2 、已知ABC 中， AC=AC ，A=100 ,BD 平分ABC ，求证： BC=BD+AD。例 8 如图 a， OP 是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1 ）如图 b，在ABC 中，ACB 是直角， B=60 ,AD 、 CE 分别是 BAC 、BCA 的平分线， AD 、 CE 相交于点 F，请你判断写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（ 2 ）如图 c，在ABC 中，ACB 不是直角，

8、而（1 ）中的其他条件不变，请问，你在（1 ）中所得出结论是否依然成立？若成立请证明，若不成立，请说明理由。感谢下载载精品牛刀小试1 、（ 1 ）如图 a，在ABC 中，ABC 与ACB 的角平分线相交于点F，过点 F 作 DE BC ，交 AB 于点 D ，交AC 于点 E，若 BD+CE=9，则线段DE 之长为。（ 2 ）如图 b，在ABC 中， BD 、 CD 分别平分 ABC 和ACB ， DE AB ， FD AC，如果 BC=6 ，求DEF 的周长。12 、已知： BAD= CAD ， ABAC ， CD AD 于点 D ， H 是 BC 的中点。求证：DH( ABAC) 。2感谢

9、下载载精品3 、已知：四边形ABCD 中，B+ D=180,BC=CD 。求证： AC 平分BAD 。4 、ABC 的外角 ACD 的平分线CP 与内角 ABC 的平分线BP 交于点 P，连接 AP 、CP，若BPC=40 ,求CAP的度数。5 、在四边形中，BCAB ， AD=CD ， BD 平分ABC ，求证： A+ C=180 。感谢下载载精品6 、如图 a，BP 平分MBN ，点 D 在射线 BP 上，ADC 的两边分别交射线BM 、BN 于 A 、C 两点，且 ADC+MBN=180。（ 1 ）猜想 AD 与 DC 之间的数量关系，直接写出你的结论。（ 2 ）图 b 是ADC 绕点

10、D 旋转一定角度得到的， （ 1 ）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。ab7 、（ 1 ）如图 a，在 Rt ABC 中，C=90 ,B=45 ，AD 是ABC 的角平分线，则AC 、CD 、 AB 三条线段之间的数量关系为。（ 2 ）如图 b，若将（ 1 ）中条件“在 RtABC 中，C=90 ,B=45 ”改为“在ABC 中，C=2 B”请问（ 1）中的结论是否仍然成立？证明你的猜想。感谢下载载精品8 、在平行四边形ABCD 中，BAD 的平分线交直线BC 于点 E，交直线 DC 于点 F。（ 1 ）在图 a 中证明 CE=CF ；（ 2 ）若ABC=90 ,G 是 EF 的中点 (如图 b)，直接写出 BDG 的度数；（ 3 ）若ABC=120 ，FGCE，FG=CE ，分别连接 DB 、 DG （如图 c）,求BDG 的度数。感谢下载载精品9 、已知，在 ODC 中，D=90 ，EC 是DCO 的角平分线，且OE CE，过点 E 作 EF OC 交 OC 于点 F，猜想：线段EF 与 OD 之间的数量关系，并证明。10 、在四边形ABDE 中， C 是 BD 边的中点。（ 1 ）如图 a，若 AC 平分BAE，ACE=90 ，则线段 AE、 AB 、 DE 的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）（ 2 ）如图