学霸高中数学高中数学笔记全册(最终)

1、名中照学邕祀书山有路勤为役，学海无涯苦作舟。XiaoMu目录TOC o 1-5 h z第一章函致1 HYPERLINK l bookmark7 一、定义城1.具体函数定义战1.抽察函数的定义城：1 HYPERLINK l bookmark9 二、值战的六种求法2.分离常数法2.判别式法2.配方法2.代数换元法2.均值不等式26特殊函教有界法3三、号函致及其性质3.常见的号函数:3.奇晶数性质：3 HYPERLINK l bookmark13 四、常见的偶函数及其性质4.常比的偶函数4.偶函数的性盾4 HYPERLINK l bookmark15 五、国数的周期性5 HYPERLINK l bo

2、okmark17 六、岛数的对称性6.类型6.特点6 HYPERLINK l bookmark19 七、函数对称性与周期性肆合考虑6 HYPERLINK l bookmark21 八、阳数的翻折7 HYPERLINK l bookmark23 九、抽象函数与具体函数的对应8 HYPERLINK l bookmark25 十、高斯由数性质9.概念9.性质9十一、曲致不动点与稳定点10.不动点10.稳定点10.动点、与确定点的性质10.导教习题集10 HYPERLINK l bookmark31 第二聿三角函数12 HYPERLINK l bookmark33 一、同角三角函数基本关系12.平方关

3、系12.商教关系13 HYPERLINK l bookmark35 二、各次三角函数13.概念13三、和基配凑法14四、三角函敷的平移变换（上加下戒，左加右减）14.特点14 HYPERLINK l bookmark37 五、导数在三角函数中的应用15XiaoMu III.对称轴15.求导16 HYPERLINK l bookmark39 六、射彩定理16 HYPERLINK l bookmark41 七、三角彩面积公式16 HYPERLINK l bookmark43 八、三角彩中的平方差公式17 HYPERLINK l bookmark45 九、正切恒等式17.公式17.三角的数习题18

4、HYPERLINK l bookmark47 第三章平面向量19 HYPERLINK l bookmark49 一、平面向量共线定理19 HYPERLINK l bookmark51 二、左右拆分法则19 HYPERLINK l bookmark53 三、降维秒杀（实质是特殊值法）20 HYPERLINK l bookmark55 四、平面向量特殊值法的应用20 HYPERLINK l bookmark57 五、“k”值法（共起点）21 HYPERLINK l bookmark59 六、向贵共线模型的三角彩式21 HYPERLINK l bookmark61 七、向量极化恒等式22 HYPER

5、LINK l bookmark63 八、平面向量的坐标系23九、善地定理23 HYPERLINK l bookmark67 十、三角彩“四心”风采23.空心23.垂心24.内心24.外心24.平面向量习题集24 HYPERLINK l bookmark69 第四章不等式25 HYPERLINK l bookmark71 一、均值不等式“1”的调用25 HYPERLINK l bookmark73 二、合并法26 HYPERLINK l bookmark75 三、轮换对称不等式26 HYPERLINK l bookmark77 四、部分对称不等式27 HYPERLINK l bookmark79

6、 五、对称不等式与均值不等式的结合27 HYPERLINK l bookmark81 六、对称不等式与三用形的结合28 HYPERLINK l bookmark83 七、柯西不等式的三维彩式28 HYPERLINK l bookmark85 八、柯西不等式与均值不等式的结合29 HYPERLINK l bookmark87 九、柯西不等式的三维影式29 HYPERLINK l bookmark89 十、柯西不等式的三推册式与均值不等式的结合30十一、不容式题集32 HYPERLINK l bookmark95 第五章数列32 HYPERLINK l bookmark97 一、数列的通项公式32

7、 HYPERLINK l bookmark99 二、等差致列的通项公式35 HYPERLINK l bookmark101 三、等差数列前n项和35 HYPERLINK l bookmark103 四、等比数列的前n项和37 HYPERLINK l bookmark105 五、等差致列求和37 HYPERLINK l bookmark107 六、周期教列求和38 HYPERLINK l bookmark109 七、我项相消敷列求和38入、数列习卷集39XiaoMu高中数学笔记第一章函数一、定义域1.具体函数定义域。.分母不为Onx工0X0例1：求/（x）=/1的定义域J2-1og/解：2-lo

8、g2x0=xW42-log.tW0=xW4=0 x0=x0，定义域为（0,4）例2：求x）=ln，-4x-12）的定义域5士x?-4x-120=X6解:有定义域为（。厂2）U（6,+qo）2.抽象函数的定义域：例1:E为/（幻的定义域为（7,0）,则/（2x-l）的定义域为解：抽象函数的定义域求法抓单个x的极值范围和括号里对多个的取俏范围相同解题，由/（x）的定义域为（-1,0.f2x-l与K都是括号里的2定义域为（0，口例2：己知函数=工+1）的定义域为-2,3,贝3=/口-1汹定义域是?XiaoMuXiaoMu 解:/(X+1)的定义域为-2,3：.-2WxW3括号里的“x+l”范围为1W

9、x+1&4括号里“*1”与“x+1”范围相同-1WxlW40W5，定义域为0,5二、值域的六种求法L分离常数法例：求函数幻=在口的值域x-2解：/(X)=3x+l3(x-2)+7,7=3+x-2x-2x-27V7t0 x-2：.f(x)W3，值域为(。，3)U(3,+oo)2.判别式法例：求八幻二X一X的值域X-X+1=y(x2-x+l)=x2-x=(y-l)x2_(yl)x+y=0a当y-1=0ny=1,方程无解力.当y-lHO时，A=(y-l)2-4y(r-l)0，一;&4值域为-g,D.配方法例：求f(x)=4-4-，-2(2、2-)的最大值域解：令g2T+2ro22)则八=4J4r+2

10、/.4t+4-x=/2-2./(x)=/2-2-2z=(/-1)2-3：/(x)m1n=/0)=-3值域却3,+8.代数换元法例：求f(.r尸2工+4Jl-MJ值域解：令f=7(720).则x=I-/./(x)=-2/2+4/+2/Wmax=/=4值域为(f4.均值不等式例：求函数y=的值域(x20)X+X+1解：当atHOW，y=x+-+,.工+-22JHJ-=2(x0)v3yW=12+1，渊值域为0,16特殊函数有界法例：求函数的值域e+1解:函数的定义域为Ry(/+l)=eT0ex(y-)=-ya当y-1=0时,方程不成立也当y-1H0时,.Iy-iOn-1vyv1三、奇函数及其性质.常

11、见的奇函数：f(x)=ax-ax(2)f(x)=-=(a0,且aWl)优+a(3)/(幻二匕8或者八外二心目。；!(4)f(x)=loga(Vx.奇函数性质：(1)奇函数的定义域包含0,则#0，=。(2)/7汨是奇函数，乂是周期函数，则力力的半周期是零点(3)奇函数为何在所对称的区间单调性相同(4)奇函数fix)=g(x)aMf(x)+f(-x)=2a(5)“关眉函数力即在区间a力上的最大值为M,最小值为M则+N=2/(学).若区间未知，则/(等)=/(0)2例1:苟V)=g(+)为奇函数，则实数吗?1+x解:/(x)为奇函数且祗=0外有意义，/(0)=0,即他(+)=0=4=一1(性质1)1

12、+X+1xa0,Ha1)例：苟(x)=ln(1+x)-ln(1-x)刖x)是A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)是减函数-例2：定义在R上的函数欣既是奇函数又是周期函数，7是包含火的一个周期，若将方程力。M在7：7上的根的个数记为，则可能为()A.0B.1C.3D.5解：奇函数具有周期性，故可类比为正弦函数，将，=s仇x,显然_/?刈在2-2用上有5个根，故选。(性质2)-winx+1例3：/(X)=n在止的最大值与最小值之和为d十1解析：很明显的满足“美眉函数”由性质(5),M+N=2/1T)=2

13、/(0)=21f；：；=2四、常见的偶函数及其性质.常见的偶函数(l)/(.v)=x2+c(2)/(为=优+1、(3)/(x)=|x|+c例：若函如a)=xma+而7)为偶函数，贝必=解：令g(.r)=ln(x+yja+x2)/(x)=xg(.r)为有函数，/(幻为偶函数g(x)为奇函数由常见函数(4)可知：=1.偶函数的性质(1)偶函数人分财物)=/)(2)偶函数人工)在x=0处可导，贝炉(0)=012例1：偶函数公向0,同上单调递增，满足2x-1)T=a-b(2)/(x+a)=-/(1)=T=2a(3)/(x+a)=yj=T=|2a|(5)/(+。)=7=国(6)/(x+)三编nT=|4a

14、|例1：/(x)是定义在R上的奇函数，对任意的xwA.满足/(x+l)-/(x)=0,且当0k1时，/(x)=32贝切(log/8)+/(4)=解:(幻+1)=0WQ+1)丁=2(性质(2)/(4)=/(0),奇函数=/(0)=0/(4)=0/(log；18)+/(4)=6+0=6例2：已知函数八x)满足1)=7,4/(.r)/(y)=f(x+y)-f(x-y贝步(2022)=解：令工=1,)，=0.则4/(1)/(0)=/(1+0)+/(1-0)Xf(l)=7)=2/(1)=：，又尸1，则/(x)=/(x+1)+/(x-1)42由(1)可知:f(x)的周期r=6.-./(2022)=/(0)

15、=i六、函数的对称性.类型(1)线对称:/(x)满Hf(a+x)=f(b一x)。对称轴lx=Q+*；，(2)点对称：/(幻+/仍-幻=2。0对称点(号).特点类比于周期函数的时称函数的区别一一“同周异称”/(-2)/(0),故加七、函数对称性与周期性综合考虑L两线对称：函数/(x)关于直线无=a,x=6对称，则/(x)的周期为7=2|a-b|.一点一线对称：/*)关于直物=4及点(6,0)对称，则/(：)的周期为T=4|-U.两点对称：/&)关于(&0),仍.0)村称，则/*)的周期为7=2,一目例：/(%)是定义在A上的偶函数，11/(2)=-1,对任意xeK都句/。)=-/(2贝旷(201

16、6/J值为解:/为偶函数，即/Xx)关于直线x=0对称W(2t)=/(x)+/(2-x)=0,即/U)关于点(L0)对称满足(2).7=4(1-0)=4A/(2016)=/(0)令x=0,代入/V)=/(2t)Wlf(0)=-/(2)=l/,/(2016)=1八、函数的翻折IJV）=|X）K0即XlEW轴的图像不变.负半轴的图像去掉,把正半轴图像关于），轴对称过去（去左翻转）/（T）,X0点拨：之前偶函数有而要性质外x|）=/（x）J（k|）为偶函数，偶函数的图像美力，轴对称（去左翻右）2.|/（刈=?可即r轴上方的图像不变,必轴下方的图像由身对称翻上去1-/（X）J（x）W0点拨即函数图像一

17、定在X轴的上方，所以把人工）的图像在卅下方部分沿着册向上翻折（去下翻上）例1：直蜘=1与y=x2-|x|+四个交点，则。的取值范围解：/一同+4=1=/一卜|=1一4令g（x）=丁-同=|x|2-区=g（k|）g（x）为偶函数（去左翻右）如下图：例2：已知函数/（X）=,-4x+3,若方程（，（x）F+”（幻+c=Of合仔匕个不同的实数根,则实数硼取值范围是解：/（外二卜2一叔+3|20=幻变换（去下翻上）如卜.图:九、抽象函数与具体函数的对应抽象函数具体函数f(x+y)=f(x)f(y)y-kx(kWO)/(x)9=/W(y)/(x)=/(xW0)f(x-y)=f(xW(y)f(x)=aaO

18、,flaWl)八叼卜祟/(y)f(x)=ax(a0,且aWl)/)=/()+/U)f(x)=logdx(a0,且。1)ryf(x)=logux(a0,且。Hl)例1：己孙(x+y)=/*)/(y)对任意的实数xj都成立，11/(1)=4,则殁+&+巫Uo8。/(0)/(I)/(20I9)解：由/(x+)=/(x)+f(y)对应的具体函数约为f(x)=ax./(1)=44=4.,/(制=41%+殁+,(2020)=4+4+4=4x2020=8080/(0)/(I)/(2019)例2：己知/)=/(x)+Ry),对任意的非负实数都成立，Je1/(4)=2,贝旷(1)十，(2)+/(4)+/(64)

19、=解：rtl/(x)=/(x)+/(y)对应的具体函数为/(幻=log/V/(1)=2/.logfl4=2a=2/(x)=log,x/+八2)+/(4)+/(64)=0+1+2+6=21十、高斯函数性质.概念对任意函数K国为不超过x的最大整数，j，=印称为取整函数或叫高斯函数.并将y=/i7=x-x称为小数部分函数,表示x的小数部分.性质j=x的定义域为凡值域为Z(2)如果xwR,sZ,则+x=+x(3)对任意xgR,有1x+l,x-lxW(4)当rWy时，有1对0用,即y=国是递减函数(5)对于占yH荀小yWx+yWx+训+1(6)如果gNxgR,则内(7)如果wNJxwR则与=区nn例：用

20、灯表示不超出的最大整数，如1.8=1对于下面关于函数/()=(工-刈)2的四个命题:函数J，=/(K)的定义域为凡值域为(0,1；(2)函数y=/(x)的图像关于y轴对称；(3)/(幻是周期函数，最下正周期为1；(4)/(x)在伏,上+1)上是增函数，其中正确的序号是：解：x-lxWx,故()Wx-xl,从而八工)的值域为0,1,故错误当xwZ时，/(%)=0=f(-x);SxZ0t.x=k+a,0a1,则x=k,-x=-k-a=(-k-l)+(l-a),0l-a0,则制取值范围是(6)/(xMlMl+kD-p二,则使版Xx)/(2x-l)成立得x的取值范围是1IX(7)/(x)=ln+l)-

21、3ox为偶函数,则。=/=/x2+2x+/:+sinxx2+r(Z0)得到最大值为“,最小值为M且M+N=4,则实数f的值为(9)已为!/(工)=ax5+W+8,/(2)=3,贝/(一2)二(10)定义在R上的函数/G)满足4丫+6)=/(x),当时，/(x)=(x+2产,当141时，/(x)的递增区间是TOC o 1-5 h z55774匕,+勾8.(1,了C.-,+)D(l.)4444XiaoMu与y=/(x)的图像交点为(14)已知函如(x)(xwA)满山(0=2/(x),若y=(西，乂)，(2，)，(0H)，(匕，以)，则Z(X/)=(15)/(k*J定义域为凡布口+1)与/6-1)都

22、是有函数，则4/(k)是偶函数8/(x)是奇函数C./(.r)=/(x+2)D.f(x+3)是奇函数(16)已知定义在A上的奇函豺(x)满足/(x-4)=-/(x),且在区|可0,2上是增函数，若方程曲)=m(m0那区间-8,8上有四个不同的根与小3,七，如灯+超+/+七=一(17)关于剃方程(丁-1)2-3,_|卜2二即不相同实根的个数是A.3B.4C.5D.8(18)己知函数/(幻=|戈2+3工|,六/?方程外%)-|工-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数MJ取值范围是(19)到。+)，)=/(灯,/(歹)对任意的未知数都成立，5/(1)=2,则+也+殁+/00)=/(I)/(2)/(3

23、)/(9)(20)若“X+)，)=/(幻+/(,)时任意实数都成立，月/=3,贝/(3x-5)/Fo=tan0=110V10V10103又。为象限角aiecos0=J10,tun0=103例2：若tan。=,Msin0=,cos。=12解：同例1：但是，题目条件中没有说明0是第二象限角，所以sin。=2，cos0=二、各次三角函数.概念分子和分母的次数都是相同的齐次式，特别注意：例：ab为二次式，国为三次式,小为四次式（各项次数之和）例1：己知tan0=2,则叫3皿3sin0+4cos0解：分子:sin8+2cos6为一次式，分母：3sin6+4cos6为一次式sin9+2cos。3sin+4

24、cos0为一次齐次式，sinOnsin0+2cos0_cosO3sin0+4cos0sin0/cos。tand+2_2+2_23ian0+43x2+45g一a-1mlsin?0+sin8cos-2c。/6例2：已知urn0=2,贝i,，八-r-=sin*0+2cos-0解:fssin20+sinOos0-2cos20为二次(sin10Tcos10为二次分母:si/。+2cos为二次为二次齐次式sin204-sin0cosO-2cos二0sin20+2cos20sin20sin。.sin20sin0cos0-2cos20_cos2q+cos。_tan20+tan0-2_2?+2-2_2sin2(

25、?+2cos20sin201tan20+22:+23cos1(?*拓展询0=29求5亩20的值解八出2。=2$后拆05。=2加。8$=2黑。85?转化为二次齐次分式1sirrO+cos，。2sin0”-。产夕一二工要力二沼二2sinfc0fiairO+12-15-277+,cos*0三、和差配凑法题设条件中出现两式子之间有明显联系，采用和差配凑法解决例1：已知sin(2+a)=且，则sin(2/r-a)的值为TOC o 1-5 h z424解：令6二工+a,f、=3万一a；显然:0+八=乃=sin.=4-4112例2：已知cos(C-a)=追，则cos(;r+a)-sin2(a-)=6366c

26、ub=-/r+a.4=a6.636显然:/l+/2=,/l+r3=o/cosr2=cos(-/1)=-cos/psin/3=sin(-r1)=-sin.15丁耳,拒.sinr1=忑四、三角函数的平移变换(上加下减，左加右减)1.特点(1)正弦平移得到正弦(2)余弦平移得到余弦(3)正弦平移得到余弦，余弦得到正弦例k若想得到g(x)=sin(2+sin(2.v-乙)进行怎样的平移？3解：图像之间平移的实质就是点之间的平移，故我们将坐标系点(0,0)g(x):令2工+=0=x,=-g36/:令=36从数轴可以清晰看出向左平移:个单位长度可以得到例2：为得到g(x)=cos(3.r+y)/(x)=c

27、os(3x-进行怎样的平移变换?解：同例1：找出坐标系原点(0,0)g(x):令3x+=Onx.=-6118/(幻：令3叫一1=0=x2=5v从数轴可以看出，/(X)向左平移三个单位长度可以得到g(x)例3：为得到函数尸cos(x+g),将函数y=sinx进行怎样平移变换?解：y=cos(x+?):令M+g=071/、/-；y=sinx:令x=一32注意：根据诱导公式sin(x+%)=cosx,即sin乂句左平移二个单位长度可得到cosx22故若cosx找原点(0,0),sinx得找(I)各点从数轴可以看出向左平移-7个单位长度即可6五、导数在三角函数中的应用.对称轴：三角函数中出现对称轴，直

28、接求导便可解题(对称轴指的是极值点)例：若函却(x)=sinx+acos2t的图像关Jfiy=-y对称，则a=8解：/=2cos2x-2sin2x由题设条件知：/(-)=082cos(-)-2asin(*-)=0=a=I442.求导：题设条件中出现最tfi，直接求导例：若x=。时，函批(工)=sinx-2cosx取得最大值，则cos”解：由题设条件知：/(0)=0/(x)=cosx+2sinx=cos0+2sinO=O=tanO=-2又/(1)取得最大值：cos。0cos。=-5/?六、射影定理在04801，4,/氏/。所对边分别长0也0,则：a=hcosC+ccosBh=acosC+ccos

29、Ac=acosB+bcosA例：在6cosc+ccosH=2A则色=h解：山射影定理知：bcosC+ccos8=。：.a=2b：.-=2h七、三角形面积公式S=-absinC=iacsini?=/csinJ222S=-(b+c2-a)tanA=-(a+c?-Z)tan5=(a;+/?-c)tanC444例：他48O44,满足：4cos8+bcos/=csinC,S=(方2-a)求N84解：由射影定理的：acosB+bcos/=c/c=csinc=sinc=lZC=90。XS=(62+c2-o2)tani(Z2+c2-a2)44tan/=1=Z/4=45.,/B=45*八、三角形中的平方差公式s

30、in2/I-sin2=sin(J+)sin(/4-=sinCsin(/4-B)sin2/I-sin2C=sin(X+C)sin(/f-C)=sinBsin(/f-C)sin25-sin2C=sin(5+C)sin(-C)=sinCsin(5-C)例：在LJ/8O3-/)sin(/+砌=(/+)sin(4-8)判断三角形的形状解：由正弦定理得：(sin2A-sin8)sin(4+B)=(sin2J+sin2li)sin(A-B)nsin(4+8)sin(力-8)sin(/+8)=(sin4+sM8)sin(4-8)=sin(X-B)sin2C-(sin24+sin28)sin(4-8)=0=si

31、n(4-5Xsin2C-sin2/f-sin28)=01sin(4-8)=0或sin，C=sin2J+sin2=b或sin?C=sin2/J+sin2Bnc2=a2+d2，三角形为等腰或直角三角形九、正切恒等式1.公式在非直角三角形中,tan。+tan5+tanC=tanAtanBtanC例：在DABC中，已知tan力：tan8:tanC=1:2:3,求,的值c解：设tanA=k,tanB=2k.tanC=3k由正切恒等式得：k+2k+3k=k：2k3knk=l/tan4=1.tan8=2,tanC=3tanB=2=sinB=马小tanC=3nsinC=f=V10.bsin82/2=csinC

32、32.三角函数习题已知0是第四象限角,tan0=-5，则sin0=,cosO=(2)已知tan,求3si+2cos。的值.24sin0-cos0(3)已知lan0=2,则一型投一=sin0cos0+l(4)若sin(乙一。)=L则cos(2+2。)=535(5)为得到人工)=cos(x+三),只需要符g(x)=sin(g.r)进行怎样的平移？(6)/(x)=。sin(x+工)+bsin(工一三)(abHO)是偶函数,求+b的值44“x)=sinx+2ocosx关丁立线x=对称，则=4(8)f(x)=sinx+3cosx,在t=0日寸取得最小值，则tan。=(9)在IdBC中4/36-c)cos

33、AacosC,则cos.4=(10)位ABC1,a2+b2-c2=ab,S=(a2+c2-b21则NC=4)在锐角三角形中满足:sin2/_sin24=；sin(4-8),则NG(12)在锐角三角形中，若sinJ=2sin3sinC贝4tan/IlanBurnC最小值为第三章平面向量一、平面向量共线定理若48.C互不重合，是48,C三点所在平面的任意一点，且满足京川西+y丽则48,C三点共线ux+y=l例：在4803己知。是48上的一点,西二;15+%函则2=解:由题意得:4昆。三点共线+2=1=%=2二、左右拆分法则在点Q为点，满足畏如图所示:则：cd=m+wm+n例:在“8C中，点。在/f

34、K满足而=2而，连接CD取e的中点，过点，作直线MN分别交于/C于点M,8c于点M若=yCB.则2x+）的最小值XiaoMu解：由脱意条件知:二二=2DB：.CD=CA+-CB=2CH33：.CH=-CA-CB63xCN=yCBCB=-CNy：.cfi=CM+CN6x3y又M,N,三点共线A+=16x3y，(2%+y)(J+6x3y3三、降维秒杀（实质是特殊值法）在题设条件中，没有出现角度，均采用降维秒杀处理向量问题TOC o 1-5 h z例：若。为8c所在平角内一点，比=31，则（）=+8,而而且衣3333414一1一（J.AD=AB+ACD.AD=-ABAC3333解：题设条件中没有出现

35、角度，故采用降维秒杀.A当4点与8点重合时，如图l一假设CD=L贝|J8C=3,（48两点重合，而=0）化4,ad=-ac；HlAa四、平面向量特殊值法的应用题设条件中，对于三角形没有过多的限制，说明一般吧它特殊式等边三角形或是直角三角形，以方便计算，（四边形特殊成矩形或正方形）例：在14403例是ZKTKJ中点,4W=3,4C=10,则而正=XiaoMu 解：此题设条件无其多余的限制，故可假设4/18(:以点M为坐标原点，MC为xtt，也4为轴建立坐标系4(0,3),B(-5,0),C(5,0)方=(一5,3),衣=(5,-3)/.4C=-5x5+(-3)x(-3)=-16五、“k”值法(共

36、起点)平面内组基角/、丽及任向量而=UHi+加(儿wR)若。在直线力8上或在平行于48的五线匕则=A(定值)例：在平行四边形力中，P为对角线/IC靠近四等分点，如图所示,若=AAB+疝，则+=解：连接C。物。于点O由k值法，可知：a+=kJ优=。AO2六、向量共线模型的三角形式XiaoMu由点。发出三条射线/,P8,尸设4尸=a/CPB=PlAAPB=a+尸那么48,C三点共线的充要条件是:sin(a+p)sinasinft=+PCPBPA例：如图，在同一平面内，刀,砺，灰的模分别为1,1,6刀与丽夹角为60。诉与的的夹角为30。，若反=根况+而，则相+=解：连接与OC的交点为点。rhk”值法

37、知：加+=%=也|OD|由向量共线模型的三角形式，可得sin60sin30sin300“、GODOBOA2.26+=4=3七、向量极化恒等式46=(a+h)2一(一盯如图葩48。3A7是8c的中点，则通前=痴;!应。4例：在UACf,A1是/ft勺中点，BM=AC=4MBABC=22XiaoMu 解：由极化恒等式可得，4而友=(而+画2-(而-坛)2=(2丽=4|两T函2=4x3。=20八、平面向量的坐标系题设条件若出现直角，则通常采用建系坐标系运算例：如图，4B=8C=4,NABC=30?,是边8c上的高，则诟衣=解：题设条件中，出现高也就是直角，故采用建系以免D为坐标原点，OC为x轴，04

38、为釉4(0,2),0(0,0),C(4-2后-2)而=(0,-2),衣=(4-2万,-2)：.7aAC=4九、奔驰定理若点。是X8C内一点，则S，/乂OA+S,gOB+S,、式用OC=6推论：已知为48(讷一点，且满足加刀+而+定=0则：Sa/sc:S4pbcS八pc#p-in.n例：已知点。在/IB。勺内部，力西+2丽+3反=0,贝ij2a=SOC解方=荏衣=(+而)+g(+画化简可得2方+2万+正=0由奔驰定理得：之=-Sabc2+2+15十、三角形“四心”风采1.重心G是/18C所在平面上的一点，且而十而+而=，则G是/18C的重心(三条中线的交点)OP=OAa(AB+元),2(0,+8

39、),则用勺轨迹一定通过重心奔驰定理点。是416EJ重心。SgRc:=1:1:12.垂心都是居所在平面内,点且可用=而方=方可则尸是J8CM垂心（三条高线的交点）丽=日+以_而|而此os8AC+.|JC|g:osC）则。一定通过垂心奔驰定理：。是/!&的垂心SBC:SgoB=tan4:tan8:tanC3.内心若/是a8（7所在平角内一点，且。石+力7；+。7；=0,则/是48E外心（三条角平分线的交点）好+“篙籍”定通过内心奔驰定理：s/：Smoa：SQB=a：b:c若O是力8r所在平面上的点,SlOA：=ob2=OC：则。是乙48的夕卜E三条中垂线的交点）OP=4B|/月|cos6|ACco

40、sC），则P一定通过外心奔驰定理:：S&E:S2GB胃sin2川:|sin2B|:|sin2C|例：点/是力水的内心，乙4=30。，NB=45。，求力=解：有内心性质和奔驰定理Sabc:5awc=1Sin2川sin2814.外心若O是A46C所在平面上的一点，且赤、丽丁灰冶面的保持不变5.平面向量习题集.已知数列凡为等差数列，且满足2=q而+/灰，若茄=%反点O为直线8c外一点，则期=.在L/18C+，D为8c边的中点,”为/DfKj中点，过点“作直线A/N分别交NC于点M、N,若而二a不，而=，衣，则x+4y的最小值是点/在上，CD平分N48C,若息二,右3=反|=2,仍|=2,则S=”22

41、1-3-4-4-3一4与+tbB.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b33335555.在48C+，。跳过48上一定点，满足008=1/8,且对于边匕任一点P,4恒有而屁2两的己则4N力8c=90。8.N84C=90C.AB=ACD.AC=BC.如图，在NB=60。,4B=3,BC=2,点DgCl.,WO=|oC,则而云=.在同一平面内,OA,OB,OClfJ模分别为1,1,后方与面的夹角为a,且tana=7OBljOCm夹角为45。，若历=mOA+前,则i+=.在直角梯形/I8CQ41,BCHAD,ABA.AD,AB=4,=2,AD=4若?为CD（向中点，则可向的值为.如图，在矩形4灯”,

42、4B=戊,BC=2点E为BC的中百、，点尸在边CD上,若布万:血，则%I而讷值为.在平行四边形48a，点”在8。上满足的=2丽，点N在C上满足丽=3灰/8=&4。=6,则丽询=.已知点。在/火的内部，且刀+3丽+40C=6,则408的面积与，。向面积的比为11已知点P在力BQAl，行丽=4赤+5充,则1”=12.如图所示：|8|=|函|=1,它们之间的夹角为120。，点C在以。为圆心的圆弧4夕上运动，OC=xOAyOB,则x+M勺最大值是第四章不等式一、均值不等式“1”的调用凑出可以得到其不等式的形式2例1：己知xO,y0,x+2y=1,求一+一的最小值xy解：(+)l1=(+)(x+2y)=

43、1+-+425+2V4=9xyxyyx当且仅当空=红，即尸1时取等yx3I2例2：%歹0,x+2y=3,求一+的最小值1y：(-+-H=-(-+-)(x+2y)=(l+-+4)1(5+2回=3xy3xy3yx3当且仅当巴即当K=y=1时取等yx3二、合并法(分子为一次式，分母为二次式)类似于等差数列的等差中项例：已知x-1,求函数),=荒詈?的最大项解：令x+l=O=x=-lx+3=0=x=-3然后，各项分子分母引入新的参数使得-3.-La成为新的等差数列-3+a=1x2=a=1.当工=。=1时，y取得最大值为3三、轮换对称不等式ill：a+bAab,交换4删位置,从十/，2必与原式相同。与b

44、完全对称，则取等的条件是。=6例1：若x0,y0,满足/+),2+町,=1与题设条件相同则x与完全对称，x+的最大值取得的条件忌=yHfx=yAx2+y2+町,=1=x2=：=x=x,州最大值为亭+李=飙例2：x0,y0,x+2y=L求的最大值解：题设中：x与y交换位置，y+2x=1和y-x与原式不同，即不与y不是完全对称但是与2丁交换位置”+汇=1可=；（2y-X）交换为h=；（x-2刃与原式相同，故x与2y完全对称当孙取得最大值的条件是x=2=19的最大值为:四、部分对称不等式题设条件中，出现三个及以上的未知数时，则会出现部分对称例：A,x-2y+=4,施？+：+二?的最小值解：题设条件中

45、，出现三个未知数，现明显x与c完全对称与y不对称，贝卜与之部分对称当/+/+d取得最小值的条件如=-将“工=二”代Ax-2y+二=4中，化简的：工-），=2求2/+/的最小值TOC o 1-5 h zQ42x2+y2=2（y+2）2+V=3丁+8y+4当y=_：时取得）33五、对称不等式与均值不等式的结合22例1：x0j0,x+y=l.求上一+上一的最小值工+1y+1解：显然x与y完全对称，则工+的最小值的条件是x+iy+1X2）,2（|）2（1）：X=yng，J+J的最小值为/-+*_=:2%+1户11+1+13TOC o 1-5 h z22例2：x0j0,x+y=L求的最小值xy解：显然X

46、与y完全对称，则,+1取得最小值的条件忠=y=:xy2+1的最小值为1+=4XV1122六、对称不等式与三角形的结合在解三角形中经常出现范围问题例：在N8=g,8=2,求鼠最大值解S=-acsnB=ac24由余弦定理：b1=a:c2-2accos8=a2+c2-ac显然，。与c完全对称，财取得最大值的条件是a=c又VZfi=yA/8C是等边三角形a=c=b=2S&acgx)=fx2x2=6七、柯西不等式的三维形式(/+/2)(c2+d,)2(。(?+/)当且仅当4二6时取等推得：a0.b040”O,(a+b)(c+d)(7+而当且仅当取等例1：a2b2=5,/，心+方=5,贝1/1下的最小值为

47、解：行柯西不等式的：(/+/)(/+6)(ma+nb)2画+2)2(ma+nbYa2+b2例2：已知kjwR,3/+2V=4则2+)的最大值为解：由柯西不等式：(3/+2/)(/+/2)2(5x+0为，尸二令瓜=2n=,&b=Inb=(3/+2川+；)曲”JM(2x+j)2WU，(2x+y)YVTT八、柯西不等式与均值不等式的结合17例1：x0,y0,-+-=2,求6x+2j的最小值xy解：(6x+2y)(-+劣)=22(而+2=22+12应xy/.(6x+2y)222+12&=11+65/2例2：x0j0.x+2y=町，求r+2)的最小值解：由x+2y=xy12,21yxxy：.(x+2y)

48、(2+-)2(71+y/2)2=8xy/.(x+2y)N8例3：xO,yO,x+y=1,求x+yy+的最小值解：x+y=1=x+l+y+l=3心+1+)，+1)(1+42x+yy+3例4：x0,yO,x+y=1,求2x+y歹+3的最小值解：（+2x+yy+3)a(2x+y)+by+3)2(石+0力广a(2x+y)+b(y+3)=lax+(a+b)y+3b令2a=1+2x+yy+3l)2w3、)(x+y+-)3+2立2x+yy+3)2=-2九、柯西不等式的三维形式（a：+a；+a3:）（/12+b；+22（岫+生&+也）？当且仅当=a2b:=44取等推导：入出，4也,”均为正实数（%+生+&+4

49、）2（mB+皿+例1：X,%,nex-2y+二=4,求/+y2+二?的最小值为解：，-y2+z2a2+bz+c2)(ax+by-cz)2令。=l,A=-2,c=lA(x2+/+z2)(I+4+1)2(x-2y+z)2,222、168.(r+/+z2)=-例2：x,y,三w-2y+2=4,求V+(-)2+/的最小值为解：x-2y+z=4=x-2(y-l)+z=6x：+(y-l)2+?(+6+c?)(ar+/)(-1)+er)令q=l,b=2,c1.r+(y-l)2+?(l+4+l)(x-2(-l)+r)2.,f+G,-l)/吟=6例3：x,j,re/?,x-2y+r=4,求/+2y?+z?的最小

50、值解:，+2y2+z2)(a2+b2+c2)(ax+/2by+cz)2令a=-2,c=1/.(x2+2/+z2Xl2+(-71(+12)*-2y+)2Ax2+2v2+z2=4,4十、柯西不等式的三维形式与均值不等式的结合4016例La0,Z0,c0,a+B+c=9,则一+7+的最小值为ahc4Q14llj-解：(二十二+12乂4+8+U)汉凤灰)0labc.4914810abc923例2：a0.609c0,a+26+3c=2,则+22的最小值为abc：(-+7+-)(a+2/+336一+2=18abc2例3：a0,0,c0,。+b+c=1,求一!一+!+!的最小值+a1+b1+c解：a+b+c

51、=l=a+l+/+l+c+l=4L+_L+J+a1+61+c)(a+l+6+l+c+1)2(1+1+1尸=9b:1+b1+a1+bl+c44.2l+al+b1+c4例4：a0.力0.cOm+b+c=L求一+一的最小值+a1+6l+c解：a+b+c=1=o+l+b+l+c+1=4X+l+/+l+c+l)(a+h+c)2l+c卜一、不等式题集12.已知xO,y0,-+=I.求x+2j的最小值*y.已知x0,y0,犬+产+犯.=+的最大值3已知x-2求函纵=曳2的最大值(x+4).一知x0,y0,2x+3y=xy求3x+2)的最小值二wRx+y_3二=5.tr2+y2-i的最小值.已知x0,y0-+

52、=2.求心一十的最小值xy1+xl+y.已知x0,y0,*+2y=2.求白+-的最小值x2y.在E,ZC=-c=2/I求力8c周长的最大值2.49+3产=9求3x+j的最大值与最小值4I.已知lx0,y0,+=3.求x+4i的最小值xy14.已知*0)0,*+=2.求+的最小值x+1y+3.已知0)0,+=1.求1一十；的最小值4x+2vy+4I49.已知x0j0:0,。+5+。=3.求一+的最小值abc.已知x0,y0,二0.+/+。=3.求一+的最小彳直+a1+61+c.已知x,乂二w七2一-二=3.求/+2)+2二4J最小值第五章数列一、数列的通项公式特征根方程pa,N=qa*令%=%=

53、xnpx=qx+c=x=(pHg)p-q啥啥啥时工的解称为WJ的特征根处理：形如：panA=qan+c式f第一步：解出特征根方程=。p-q第二步：应用特征根：p(q-x)=q(a“-x)代入化简：-)=q(an)p-qp-qp2cq=pa“.i=qap-qp-q=p%=qa*例1：已知数列为满足=3勺+4,4.,q=1.求勺的通项解；列出特征根方程：x=3x+4nx=-2应用特征根：。7-(-2)=3(%一(一2)=/+2=3(4+2)=生耳=3,令”=6+2牝+2=导=3,“=4”=3=3-2形如雁=叫+q”式子先简单处理变形：加的夕=之+1qq令“=哂+尸叫+iq剩卜的处理如特征根方程例2

54、M满足1=3%+2”Mm产1.物的通项.解：处理变形:却=3争+1令吟=2bs解出特征根：2x=3x+1=x=-l应用特征根：2(u+1)=3(4+1)判别也+1是比为。的等比数列.,也=6-1形如：ma.3=nan+q+c先舍去c=-nanq同2,=餐=&+1/qinmqx=/ir+l=x=mq-n代入：加)=(3-)qmq一qmq-n令“吟qmq-n=加血”=必代入原式：mqbz=n，+c同1:可得4的通项例3：m+(J)+L求凡O02解：舍;，财尸2令。=2anb,R=“+1nnn*i3n7解出特征根：r=-x+lnx=3、2则：%一3=(4-3)将”.3=(4-3)代回原式=%-3=2

55、3)+12令,=2-3=一+1nnnl3n2“t=C=3-Q3*y心z2+136131=b.=6=a=累积法的另一种形式例4也满足:4=7a.求可3/I+1解：由冯=4讨(+1)=w+1令“=nannb.=bnnfi+in2即是常数列JA2f2例5皿谶足号独=2求应解：由4-扁(2)j=q=(+2K+D，.i一令4=m+M=%=即色是常数列=4n勺=二、等差数列的通项公式(1)等差数列与一次函数的联系an=al+(-)d=nd+(a-d)令k=d,b=Q-d=an=kn+h例I：已知等差数列外,%=4.(=12.求。10ah10-6例2：等差数列a“，4=m.am=n(m工),则q加=解：k=aef._a”=4=7m-nm+nnni-n=，._=_=J=o(2)一个算式模型若题设条件中，只给出一个等式，那么久令数列为常数列例:等差数列血中，q+3/+%=120,则2%-4。的值是解：在腮设条件中，只给出一个等式，故4为常数列q+3%+15=120=ax+3q+q=120=q=24贝Ij24-j10=2q-q=q=24三、等差数列前n项和。电=?/+(一g)令A=g,BztSnAn1+Bn