解析几何中的定值和定点问题

1、精品解析几何中的定值定点问题（一）一、定点问题【例 1 】已知椭圆 C ： x2y23 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆221(a b 0) 的离心率为ab2与直线 x y2 0相切 求椭圆 C 的方程； 设 P(4,0) ， M 、 N 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆 C 于另一点 E ，求直线 PN 的斜率的取值范围； 在 的条件下，证明直线ME 与 x 轴相交于定点2222解： 由题意知 ec3 ，所以 e2 cab3，即 a24b 2 ，又因为 b1，所以2211a2aa42a24,b21，故椭圆 C 的方程为 C ： xy21 4 由题意知

2、直线 PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为 yk( x4)yk( x4)联立x2消去 y 得： (4 k21)x232k2x4(16k21)0，y214由(32k 2 )24(4 k21)(64k24)0 得 12k210 ，又 k0不合题意，所以直线 PN 的斜率的取值范围是3k0或0k3 66 设点 N ( x1 ,y1 ),E (x2 , y2 ) ，则 M ( x1 ,y1 ) ，直线 ME 的方程为 yy2y2y1 ( xx2 ) ，x2x1令 y0 ，得 xx2y2 ( x2x1 ) ，将 y1k( x14),y2k (x24)代入整理，得 x2 x1 x24( x1 x2 )

3、y2 y1x1x28由得 x1x232k 2, x1 x264k24代入 整理，得 x1，4k22114k所以直线 ME 与 x 轴相交于定点 (1,0) 【针对性练习1 】 在直角坐标系xOy 中，点 M 到点 F13 , 0， F23 , 0的距离之和是4，点 M 的轨迹是 C 与 x 轴的负半轴交于点A ，不过点 A 的直线 l : ykxb 与轨迹 C 交于不同的两点P和Q 求轨迹 C 的方程；感谢下载载精品uuuruuurl 过定点当 APAQ 0 时，求 k 与 b 的关系，并证明直线解：点 M 到3,0 ，3, 0 的距离之和是4 ， M 的轨迹 C 是长轴为 4 ，焦点在 x

4、轴上焦中为 2 3的椭圆，其方程为x2y21 4yPOxQ 将 ykx b ，代入曲线 C 的方程，整理得(1 4k 2 )x282kx40，因为直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 P和Q，所以64k2b 24(14k2 )(4 b24)16(4k 2b 21)0设 P x1 , y1 ， Q x2 , y2 ，则 x1x28 2k2 ， x1 x21421 4 k4k且 y1 y2(kx1 b)( kx2b)(k2 x1 x2 )kb(x1x2 )b 2 ，显然，曲线 C 与 x 轴的负半轴交于点A2,0 ，所uuuruuuruuuruuur2)( x22) y1 y2以 APx1 2 ,

5、 y1 ， AQx22 , y2 由 AP AQ 0 ，得 (x10 将 、 代入上式， 整理得 12k216kb 5b20 所以 (2 kb)(6k5b)0 ，即 b2k 或 b6k 经检验，5都符合条件 ，当 b2k 时，直线 l 的方程为 ykx 2 k 显然，此时直线l 经过定点2 ,0 点即直线 l经过点 A ，与题意不符当b6时，直线 l 的方程为 ykx6kx5kk556显然，此时直线 l 经过定点6, 0点，且不过点A 综上， k 与 b 的关系是： b6k ，且直线 l 经过定点556 ,0 点5【针对性练习 2 】在平面直角坐标系x2y 2A 、B，右焦点xoy 中，如图，

6、已知椭圆1的左、右顶点为95为 F。设过点 T（ t, m ）的直线 TA、 TB 与椭圆分别交于点M ( x1 , y1 ) 、N (x2 , y2 ) ，其中 m>0, y10, y20 。（ 1）设动点 P 满足 PF 2PB24 ,求点 P 的轨迹；（ 2）设 x1 2, x21，求点 T 的坐标；3感谢下载载精品（ 3 ）设 t9 ,求证：直线MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。解：（ 1）设点 P（ x， y），则： F（ 2 ， 0）、 B（ 3 ， 0

7、）、 A （-3 ， 0 ）。由 PF2PB24 ，得 ( x 2)2y2( x3)2y2 4,化简得 x9。92故所求点 P 的轨迹为直线。x125120（ 2 ）将 x1 2, x2y10, y20得： M （2，分别代入椭圆方程，以及）、N（，）3339直线 MTA 方程为：y 0x3 ，即 y1 x1，523303直线 NTB方程为：y0x 3，即 y5 x5。200162933x7联立方程组，解得：y10 ，3所以点 T 的坐标为 (7, 10) 。3（ 3 ）点 T 的坐标为 (9, m)直线 MTA 方程为：直线 NTB方程为：y 0 x3 ，即 ym ( x 3) ，m0931

8、2y0x 3 ，即 ym ( x 3) 。m 09 36x2y21 联立方程组，同时考虑到x13, x23 ，分别与椭圆593(80m2 ),40 m3(m220)20m2 ) 。解得： M(m280 m2)、 N(2,20m8020my20mx3(m220)（方法一）当 x1x2 时，直线 MN方程为：20m220m240m20m3(80m2 ) 3(m220)80m220m280m220m2令 y 0，解得： x 1 。此时必过点 D （1 ，0 ）；当 x1 x2 时，直线 MN 方程为： x 1 ，与 x 轴交点为 D（ 1， 0 ）。感谢下载载精品所以直线 MN必过 x 轴上的一定点

9、D（1 ，0 ）。（方法二）若x1x2 ，则由2403m23m2600 ，得 m210 ，80m220m2及 m此时直线 MN的方程为 x 1，过点 D（1，0）。40m10m若 x1 x2 ，则 m210 ，直线 MD 的斜率 kMD80m2，2403m240m2180m220m10m直线 ND 的斜率 kND20m2，得 kMDkND ，所以直线 MN过D点。3m260140m220m2因此，直线 MN 必过 x 轴上的点（1，0）。【针对性练习3 】已知椭圆 C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为 2，短轴长为2 3 （）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 l ： y kxm k0 与椭

10、圆交于不同的两点M、N （ M 、N 不是椭圆的左、右顶点），且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A 求证：直线 l 过定点，并求出定点的坐标解 : （）设椭圆的长半轴为a ，短半轴长为 b ，半焦距为 c ，则2c2,a2,x2y 22b23, 椭圆 C 的标准方程为解得b3,414分a2b2c2 ,3x2y2（）由方程组41消去 y ，得3ykxm34k 2x28kmx 4m2120 6 分24 34k 24m2120 ，由题意8km整理得： 34k 2m207 分设 M x1 , y1 、N x2 , y2 ，则8km4m212x1 x234k 2 ， x1 x234k 28 分由已知

11、，AMAN ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ， x12 x22 y1 y20 10 分感谢下载载精品即1 k 2 x1x2km 2 x1x2m24 0 ，也即1k 2 4m2 12km238kmm240 ，34k24k 2整理得 7m216mk4k 20 解得 m2k或 m2k，均满足11 分7当 m2k 时，直线 l 的方程为ykx2k ，过定点(2,0) ，不符合题意舍去；当 m2k时，直线 l 的方程为ykx2，过定点 ( 2 ,0) ，777二、定值问题【例 2 】已知椭圆的中心在原点，焦点F 在 y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点 F 距离的最大值是

12、6.( )求椭圆的标准方程和离心率e；( )若 F 为焦点 F 关于直线 y3的对称点， 动点 M 满足MFe ，问是否存在一个定点A，使M到2MF点 A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解： ( )设椭圆长半轴长及半焦距分别为a， c ，由已知得a4，解得 a4, c2 .ac6，所以椭圆的标准方程为y2x21. 离心率 e21.161242( ) F (0,2), F (0,1) ,设 M (x, y), 由 MFe 得x2( y2)21MFx2( y1)22化简得 3x23y214 y150 ，即 x2 （y7)2(2)233故存在一个定点A(0,7

13、) ，使 M 到 A 点的距离为定值，其定值为2.33【例 3 】已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上， P(2 ， 0) 为定点( )若点 P 为抛物线的焦点，求抛物线C 的方程；( )若动圆 M 过点 P，且圆心M 在抛物线C 上运动，点A 、 B 是圆 M 与 y 轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线C，使 |AB| 为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由解： ( ) 设抛物线方程为 y22 px( p 0) ，则抛物线的焦点坐标为( p ,0) .由已知，p2 ，即 p4 ，22感谢下载载精品故抛物线 C 的方程是 y28x( )设圆心 M (a,b) (a0) ，点

14、 A (0, y1 ) ，B (0, y2 ) . 因为圆M 过点 P(2 ，0) ，则可设圆 M的方程为(xa)2( yb)2( a2) 2b2.令 x0 ，得 y22by 4a40 .则 y1 y2 2b ，y1 y24a 4 .所以| AB|( y1y2 )2( y1y2 )24 y1y24b2 16a16 .，设抛物线 C 的方程为y2mx(m0) ，因为圆心M 在抛物线C 上，则 b2ma . 所以| AB|4ma 16a 164a(m4)16. 由此可得， 当 m4 时， | AB | 4 为定值 故存在一条抛物线 y24x ，使 |AB| 为定值 4.解析几何中的定值定点问题（二

15、）1 、已知椭圆 C 的离心率 e3 ，长轴的左右端点分别为 A 1 2 , 0 ， A 2 2 , 0 。（）求椭圆 C 的方程；2（）设直线xmy1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，直线A 1P 与 A 2 Q 交于点 S。试问：当m 变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。解法一：（）设椭圆 C 的方程为 x2y2221 ab0 。1 分aba 2， ec3，c32221 。4 分a2， bac椭圆 C 的方程为 x22y1 。5分42（）取 m0,得 P 1,3,Q1,33x3，直线 A 1P 的方程是 y,2263直线 A 2Q

16、 的方程是 y3x3, 交点为 S14,3.7分,2若P 1,3,Q1,3，由对称性可知交点为S2 4,3 .22若点 S 在同一条直线上，则直线只能为l : x4。8 分m, 直线 A 1P 与直线 A 2Q 的交点 S 均在直线 l : xx2y 21以下证明对于任意的4 上。事实上，由4得xmy1感谢下载载精品my24y 24,m24 y22my301Px1 , y1,Qx 2 , y2y1y 22m, y1y 2392m2m44A 1P lS0 (4, y0 ),y02y1,y06y1 .4x12x12A 2 Q lS0 (4, y0y0y2, y02y 2.10),2x 2x 242

17、26y12y 26y1my 212y 2my 134my 1y26 y1y212m12m22Q y0y0x12 x22x12 x 22x12 x 22m 4 m 40x12 x 22y0y0S0 S0mSl : x413m0, P1,3,Q1,3A 1Py3 x3,A2Q2263y33,S14,3 .7x2m1, P830,1A 1Py1x1,A 2 Qy1x 1,S24,1 .,Q55632Sl : x48x2y21m,A 1PA 2QSl : x44xmy1my24y 24,m24 y22my 30P x1 , y1,Qx 2 , y21y1y22m39,y1 y2m2m244A 1Pyy

18、1x2,A2Qyy2xy1x2y2x2x12x 222 ,y,x22x1 2x46y12y 2,x12x 223y1my 21y 2 my13 ,2my 1y23 y1y 2 .2my 1y2 3 y1y26m6m0,mSl: x42424mmx 2y2124y 24,m24 y24my2my3 01xmy1Px1 , y1,Qx 2 , y2y1y 22m, y1y 236m2m244感谢下载载精品A 1P 的方程是 yy1x2 , A 2 Q 的方程是 yy2x2 ,7 分x12x 22yy1x2,x12y1y 2由得x2x2,9 分y2x12x 2yx2,2x 22即 xy2x12y1x

19、 22y2 my 13y1my 212my 1 y23y 2 y12g2 y1 x 222g3 y1 my 212g3y 2y1y2 x1y 2 my 12mg332my1y122gm4m44.12 分22m3y1 y124m这说明，当 m 变化时，点 S恒在定直线 l : x4 上。13 分2 、已知椭圆 E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21 ，离心率为 e22（）求椭圆 E 的方程；uuur uuuur（）过点 1, 0作直线 l 交 E 于 P 、Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ 为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存

20、在，请说明理由22ac21解：（ I）设椭圆 E 的方程为xy1 ,由已知得：c2。 2 分22aba2a22221椭圆 E 的方程为x 2y21。3 分c1bac2（ ）法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设 P(x1 ,y 1),Q(x2 ,y 2 ) ，则：uuuruuuuruuuruuuurMP(x 1m, y1 ),MQ(x 2m, y2 ),MPMQ(x 1m)(x 2m)y1 y2x1x2m(x 1x 2 )m2y1y2 。 5 分 当直线 l的斜率存在时，设直线l 的方程为： yk(x1) ，则x22由2y 1 得 x 22k 2 (x 1)22 0yk(x1)(2k21

21、)x24k2x (2k22)0 x1 x 24k2x1x 22k 227 分2,212k122ky1 y222(x 1x 2 ) 1kk (x 1 1)(x 21) k x 1x 22k2uuuruuuur12k 22m4k 22k 2(2m 24m1)k 2(m 22)所以 MP MQ2121m2k2219分2kuuuur2k12kuuur4m12(m 22)，得 m5 ，对于任意的 k 值， MP MQ 为定值，所以 2m 25uuur uuuur7 ；4所以 M(11 分,0),MPMQ416 当直线 l的斜率不存在时，直线l: x1,x 1x 22,x 1x 2 1,y 1y 212感谢下载载精品uuuruuuur7 综上述 知，符合条件的点M 存在，起坐标为 (由 m5得MPMQ5,0) 416uuuruuuur4法二：假设存在点M(m,0)，又设 P(x1 ,y 1 ),Q(x2,y 2 ), 则： MP(x 1m, y1),MQ(x 2uuuruuuury1y 2 = x1x 2m(x 1x 2 ) m2y1 y2 .MPMQ(x 1m)(x 2m)5 分 当直线 l的斜率不为0 时，设直线 l 的方程为 xty1 ，由x2y2122)y 22ty10y1y22ty 217 分2得 (t