夏乐天概率论与数理统计109方差分析

1、 单因子方差分析双因子方差分析1、非重复试验双因子方差分析2、重复试验双因子方差分析第九章 方差分析概论在生产及科研工作中，人们常常需要了解哪些因素对试验结果有显著作用，哪些因素没有显著作用。例如：施肥品种、施肥量、品种、下种量、土质、水份等诸因素中哪些对小麦的产量有显著影响，哪些又没有。这类可通过方差分析的予以解决。91单因子方差分析概念及例子数学模型离差分解 H0的检验 mi-mj的区间估计方差分析是对试验结果的数据作分析的一种常用的统计。我们在显著性假设检验中已讨论过两总体均值是否相等的检验，这种可称为单因子二水平的试验。在本小节中我们要讨论单因子多水平的试验，现它实际上是多个总体的均值

2、是否相等的显著性检验。发在正态总体和方差相等的基本假定下，这类假设检验问题称为单因子方差分析或一元方差分析。一、概念及例子为了比较四种不同的肥料对小麦产量的影响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地，分成16块。肥料品种记为A1，A2，A3，A4，例9.1每种肥料均按比例下：四块土地上，得亩产量如品亩产田块种A1A2A3A41234981964917669607693506358791642810705901703792883问施肥品种对小麦亩产有无显著性影响？例9.2某灯泡厂用四种不同的配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，在每一批中若干个作试验，得如下数据（：小时）灯泡12345678

3、灯丝甲(A1)乙(A2)丙(A3)丁(A4)16001610165016801700172018001580164016401700175014601550160016201640166017401820151015201530157016001680问灯丝的不同的配料方案对灯泡有无显著影响？例9.1中的肥料品种和例9.2中的不同配料的灯丝称为因子或因素，记为A， 这里都只有一个因子。各种肥料或不同配料方案称为水平。一般地，因子A有r个水平A1，A2,Ar .二、数学模型设有r个正态总体Xi，i=1,r, Xi N(mi, s2)，作假设 H0 : m1=m2= =mr个样本，列成下表：地从各

4、总体中取出一总体样本样本均值12,L, X1n1LLLr2 ,L, XrnrX1LLXr用以上r个样本检验上述假设H0 是否成立。（水平为a）等价于：因子A有r在应用上，上述个水平A1，A2,Ar，设在每一种水平下试验结果都服从正态分布，现在各种水平作若干次试验获得一些观测值，问因素A的各种水平对试验结果是否有显著影响？显然，检验可用t 检验法：所有相邻两个总体的均值是否相等。共做r1次检验，太繁琐！通常采用离差分解法去解决这个。三、离差分解将每个样本看成一个组，记组内平均为nini1 Xij, Xij = ni XiXi =ni = 1,2,L, r,j=1j=1ini1nrrn = nii

5、=1X =X,总平均iji=1j =1nir= (Xi=1j=组内离差平方和- Xi )2Seij 组间离差平方和r S= n (Xi - X)2Aii=1离差平方和ninirrS= (-)2Tiji =1j =1= Se + SAi =1j =1(9.1)四、H0的检验Xij = mi+ eij,j = 1,2,L,ni , i = 1,2,L,r令i ide N(0, s 2 ).其中ij rm = 1 n m ,a= m- m令iiiini=1nirr则niai= ai= 0,(9.2)i=1= m +ai + eij ,i=1j =1j =1,2,L, ni , i =1,2,L, r

6、Xij令(9.3)ninir1e = 1j=1i=1j=1eee=i = 1,2,L, r,ij,iij nninir= (e- e i )2S则eij i=1j=1rr r i=1i=1i=1n ae - e )2n ae - e )S=+ 22n (iiAiiiiinirE(S ) = E(e- e i )2 eiji=1j =1r= (n-1)s 2 = (n - r)s 2ii=1rr- ne 2 n a 2n e2E(S ) =+ EiAiiii=1i=1r+ 2 niai E(e i - e )i=1r iin a+ (r -1)s 2=2i=1Se故) = s 2E(9.4)n

7、- rSAr+ 1 ) = s 2n a2E(9.5)iir -1r -1i=1可见，一般地说，有SASe) E(E()r -1n - r但在H0成立时，ai= 0,i = 1,2,L,r从而SASe) = E(E()r -1n - rnir= (ei=1j =1- e )2且STijnirr= (e- e i )2e- e )2+= S+ Sn (iijieAi=1j =1i=1nininirr= r= 2ee- e + e )e- e ) +e222(nijijiji=1j =1i=1j =1i=1j =1nirr(eij i=1j =1- e i ) + ni (e i - e )2+

8、ne(9.6)=22i=1nire ij i =1j =1+ S+ ne 2.2= S即eAniid X ,L, X N(0, 1),c (n)设Q =22X 为变量,1nii=1若Q=Q1+Qk，其中Qi为某些正态变量的平方和，这些正态变量分别是X1，Xn的线度为fi ，则诸相互性组合，其，ki=1c ( f )且为变量 = n.2fii定理9.1（柯定理见P166定理6.2.3F值来源离差平方和度均方离差rSAQA ii=x- nxr -1=r -1F =Q22组间(因子A) SAnQAi=1eSeS = S- Sn - rQ=组内(误差e)eTAen - rniri=1j=1ST =-

9、nx2n -1x2总和ij方差分析表五. mi-mk的区间估计- X k - (mi- mk ) t(n - r)T = X i由于1/ ni +1/ nkQe故，给定信度1 -a，可得mi-mk的置信区间1 + 1( X i - X k t(n - r)Q )a / 2ennik其中Q=Seen - r在例9.2中给定a=5%，问灯丝的例9.3不同的配料方案对灯泡影响？有无显著解：已知r=4, n1=7, n2=5, n3=8, n4=6,n=26. 计算的下列方差分析表F值来源离差平方和度均方离差因子A误差e44,374.6149,970.8194,345.43222514,791.56,

10、816.82.17总和查表知Fa (r -1, n - r) = F0.05 (3, 22) = 3.05 2.17 = F故，接受H0.即认为灯丝的不同的配料方案对灯泡无显著影响。92 双因子(二元)方差分析一、非重复试验情形提出一般模型检验法的导出二、重复试验情形提出检验法的导出1、提出例9.4在某种橡胶的配方中，考虑了三种不同的促进剂，四种不同份量的氧化锌。各种配方试验一次，测得300%如下表所示：氧化锌B促进剂AB1B2B3B4A1A2A33235.5363536.537.535.53839.538.539.543一、非重复试验双因子方差分析问不同的促进剂，不同份量的氧化锌分别对有无显

11、著性影响？此例中有A、B二个因子，因子A有三个水平A1，A2，A3；因子B有四个水平B1，B2，B3，B4 ，在各种组合水平Ai Bj上作一次试验获得一个观测值。问因子A、B分别对试验结果有无显著性影响设有A、B二个因子，A有r个水平A1，, Ar；因子B有s个水平B1， ，Bs ，在A、B的每一种组合水平Ai Bj上作一次试验，得结果Xij，(i=1, , r ；j=1,，且假定Xij N( mij ，s2 )，, s),其中所有Xij都相互mij= m +ai + b j ,i =1,L, r; j =1,L, s(9.7)rsrs1 abm =m= 0,= 0,而(9.8)ijijrsi

12、=1j =1i=1j =1H01 :a1 = a2 = L = ar= 0;H02 : b1 = b2 = L =bs = 0;(9.9)(9.10)作假设2、一般模型如果H01成立，则mij与i无关，这表明因子A对试验结果无显著影响；同理，如果H02成立，则mij与j无关，这表明因子B对试验结果无显著影响。另外，在式(9.7)中，ai称为因子A在水平 Ai的效应，它表示水平Ai在总体平均数上引起的偏差；同理， bj称为因子B在水平Bj的效应，它表示水平Bj在总体平均数上引起的偏差.3、检验法的导出导出检验H01与H02的类似，可采用离差分解法。与一元方差分析s= 1 令i = 1, 2,L,

13、 r,X iX,ijsj =1r= 1 i = 1, 2,L, sX jX,ijri=1sX = 1 rr= 1 s= 1 XX iXjijrsrsj =1 i=1i=1j =1则总离差rsS= (X- X)2Tiji=1 j=1rs = (Xi=1 j=1-) + (Xi - X) + (Xj - X)2ij= (X)2 + (Xi - X) + (X - X)22j-iji,ji,ji,j r s rs )2= s(Xi - X)2 + r(Xj - X)2 + (X-iji=1j=1i=1 j=1记因子A引起的离差为r S= s( X i - X )2(9.11)Ai=1记因子B引起的离

14、差为s - X )2S= r(X j(9.12)Bj=1误差为rsS = ( X-)2(9.13)eiji=1j=1则（离差分解为）ST= SA + SB + Se(9.14)从直观上看，SA是由因子A的效应和s2引起的随机波动;SB是由因子B的效应和s2引起的随机波动； Se则是由s2引起的随机误差。故可用比较SA与Se的值来检验H01是否成立；而用比较SB与Se的值来检验H02是否成立。这个所谓的“ 值”，当然指得是数学期望。= mij + eij = m +ai + b j + eij ,j = 1,2,L, s, i = 1,2,L, riidX ij令(9.15)e N (0, s

15、2 )其中ij则有sr= 1 s= 1 rj =1= m +a+ e= m + b+ eXX;XX;i ji jijiijjj =1rX = 1 s= 1 = m + eX iX jrsi=1j =1= 1ss= 1rr1rsj =1i=1i=1j =1eeeee =e,记i jijijijrsrr r - e )+ s(e i - e )2i=1aaeS= s+ 2s2i(iAii=1i=1ra+ (r -1)s 2 ,ES= s故2iAi=1sb+ (s -1)s 2 ,= (r -1)(s -1)s 2ES= r2jESBei=1111Q=Q=Q=令S,S,SAABBeer -1s -1

16、(r -1)(s -1)sra+ s 2 ,=2iEQ则Ar -1i=1s= rb+ s 2 ,= s 22jEQEQBes -1j =1EQA = EQe ,EQB = EQe ,否则EQA EQe ;否则EQB EQe ;当H01当H02QA , QB分别称为因子A、B引起的均方离差，Qe称为均方误差。当H01、H02ai = bj = 0,i = 1,L,r; j = 1,L,s.式(8.11) (8.14)可表为Xij = m + eij,故s - e )2;r S= r(e j(e i - e )2;S= sBAj=1i=1rs rsS = (e= (e- e i - e j+ e

17、)2;- e )2SeijTiji=1j=1i=1j=1rsrs= i=1j =1- e )2 + rse 2+ S + rse 2e(e= S+ S由于2ijijABei=1j=1r 1 se c 2 (rs)及c 2- 分布故由2ij的分解定理s 2i=1j =1）知，当H01、H02（柯，SAs 2SBs 2Ses 2 c 2 (r -1), c 2 (s -1), c 2 (r -1)(s -1).且SA、SB、Se相互。由F分布r.v.的构造知SB(s -1)F=s 2= QB F (s -1, (r -1)(s -1);BSe(r -1)(s -1)Qes 2SA(r -1)F=s

18、 2= QA F (r -1, (r -1)(s -1);ASe(r -1)(s -1)Qes 2非重复试验双因子方差分析检验法1、提出假设H01：aI2、引进统计量H02:bj = 0= 0;QH01真QH02真FA =F(r -1, (r -1)(s -1);FB =F(s -1, (r -1)(s -1) A Qe B Qe3、由显著性水平写出拒绝域形式 PFA Fa (r -1,(r -1)(s -1) = a; PFB Fa (s -1,(r -1)(s -1) = a4、查表、计算得统计量的观测值及分位数的值5、比较大小的结论。F值来源离差平方和度均方离差rSAF = QAS= s

19、(x- x)2r -1Q=因子AiAAr -1SBQi=1esF = QBS= r- x)2s -1Q=(x因子B jBBs -1SeQj=1eS = S - S - S(r -1)(s -1)Q =误差eeTABe(r -1)(s -1)rsS= (x- x)2rs - 1总和Tij i=1 j=1非重复试验双因子方差分析表设有A、B二个因子，各有r个水平A1，, Ar；和s个水平B1， ，Bs ，现在A、B 的每一种组合水平Ai Bj上重复试验c(c1)次，得试验值Xijk，(i=1, , r ；j=1, , s;将它们列表如下：k=1, ,c ),1、一般模型二、重复试验双因子方差分析因

20、子B因子AB1B2BSA1 A 2LAr121,L,221,L,Lr21,L,1sc2scLLLrsc假定Xijk N( mij ，s2 )，且所有的Xijk都相互，则mij可表为mij= m +ai + b j +g ij ,i = 1,L, r; j = 1,L, s(9.20)其中 ai , b j , g ij满足rsrsai i=1= b j j =1=g ij i=1= g ij j =1= 0(9.21)rs1事实上，令m =mm= m + (m- m)ij，则ijijrsi=1j =1- m), bs= 1 r= 1 a(m(m- m),iijjijsrj =1i=1g ij=

21、 (mij - m) -ai - b j从而可得(9.20)式，且可等式成立。(9.21)式中四个ai 或bj 称为因子A或因子B在水平Ai 或Bj 上的效应;gij 称为因子A和B在组合水平Ai Bj上的交互作用，即因子A、B组合起来在水平Ai Bj上的作用，而不是因子A或B单独影响试验的结果。作假设H01 :a1 = a2 =L = ar = 0;H02 : b1= b2 =L =br = 0;H03 :g ij= 0,i =1,L, r; j =1,L, s2、检验法的导出若H01成立，则表明因子A对试验结果无显著影响；否则，相反。若H02成立，则表明因子B对试验结果无显著影响；否则，相

22、反。若H03成立，则表明因子A、B对试验结果无显著的交互作用；否则，相反。为了导出检验这三个假设的采用离差分解法。，一般也令1rscX =Xijkrsci=1j=1 k =1c= 1 ,i = 1,L, r; j = 1,L, sX ij.Xijkck =1s= 1 i = 1,2,L, r,X iX ij ,sj =1r= 1 i = 1,2,L, sX jX ij ,rj =1则总离差rsc S = (X- X )2 = S+ S+ S+ S(9.22)TijkABIei=1j=1 k =1r s S = sc(X i - X )2,= rc(X j - X )2,j=1rscS其中ABi

23、=1rs S = c(X ij -S = (X- X ij)2)2,Ieijki=1j=1i=1j=1 k =1事实上- j - j -)ijk称SA为因子A引起的离差，称SB为因子B引起的离差， SI为因子A、B交互作用引起的离差，Se为误差。Q Xijk 可表为= mij+ eijk= m + ai + b j + g ij + eijk ,X ijkj = 1,2,L, s; i = 1,2,L, r; k = 1,L, ciid其中e N (0, s 2 ),代入SA 、SB 、 SI 和Seijk可得其期望值：ra+ (r -1)s 2 ,ES= sc2iAi=1sb+ (s -1)

24、s 2 ,ES = rs(c -1)s 2ES= rc2jBej =1rsES= cg+(r -1)(s -1)s 22ijIi=1j =1SASBQ=Q=,令ABr -1SIs -1SeQ=,Q令Ie(r -1)(s -1)rs(c -1)scra+ s 2 ,EQ=2i则Ar -1i=1s= rc b+ s 2 ,EQ= s 22EQBjes -1i=1r+csj=1EQ= s 2g2ijI(r -1)(s -1)i=1一般有EQA EQe ; EQB EQe ; EQI EQe ,而当H0k为(k=1, 2, 3)，它们均为等式。当H0k为真前提下(k=1, 2, 3)，可用（柯）分解定

25、理得出SA 、SB 、 SI 和Se的分布。事实上，（8.22）式可改写为rscS = (e- e )2Tijki=1j=1 k =1r s = sc(e i - e )2 + rc(e j - e )2i=1j=1rs rsc+ c(e ij - e j - e i + e )2 + (e- e ij)2ijki=1j=1= SA + SB + SI + Sei=1j=1 k =1等式两边除以s2后，即知：左边STs 2 c 2 (rsc -1),右边各项SAs 2SBs 2 c 2 (r -1), c 2 (s -1),SIs 2Ses 2 c 2 (r -1)(s -1), c 2 (rs(c -1).，故由F分布随且它们相互量的构造，知SBs 2(s -1)= QBF = F(s -1, rs(c -1);BSQ(rs(c