上海市各区2019届九年级中考二模数学试卷汇编：二次函数专题

1、上海市各区 2019 届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24.(本题满分 12 分，第(1)小题 4 分，第(2)小题 4 分，第(3)小题 4 分)已知平面直角坐标系xOy(如图 7),直线y = x+m的经过点A(_4,0)和点B(n,3).(1 )求m、n的值；(2) 如果抛物线y =x2 bx c经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sin. ABP的 值；(3) 设点Q在直线y二x m上，且在第一象限内，直线y二x m与y轴的交点为点D,一yI如果NAQO =NDOB，求点Q的坐标.,LILILI-Ox图 724.解：(1)直线y = x m的经过点A(-4

2、,0)4 m = 0.1 分 m = 4. 1分直线y =x - m的经过点B(n,3)n 4 = 3.1 分n - -1. 1分(2)由可知点B的坐标为(-1,3)2抛物线y = x bx c经过点A、B16-4b + c =0J1 b + c=3- b = 6,c = 8抛物线y = x2bx c的表达式为y = x2 6x 8.1 分抛物线y=x2，6x，8的顶点坐标为P(-3,-1).1 分AB =3、2,APF2,PB =2 52 2 2AB2BP2=PB2PAB =90 .1 分AP二sin ZABP =PBV10八二sin . ABP.1 分10（3）过点Q作QH _ x轴，垂足

3、为点H，则QH/y轴 . AQO二/DOB OBD =/QBOOBD s QBO.OB DB八QB OB直线y = x 4与y轴的交点为点D点D的坐标为（0,4）,OD =4又OB二10,DB = _2QB =5.2，DQ =4.2.1 分/AB =3、2AQ = 81 2,DQ = 4 2/QH/y轴OD ADQH -AQ4 4丘QH 8 2QH -8 .1 分即点Q的纵坐标是8又点Q在直线y = x 4上点Q的坐标为（4,8）.1 分长宁区24.(本题满分 12 分，第(1)小题 4 分，第(2)小题 3 分，第(3)小题 5 分)如图在直角坐标平面内，抛物线y = ax2 bx -3与

4、y 轴交于点 A,与 x 轴分别交于点B (-1, 0)、点 C (3, 0),点 D 是抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；(2) 联结 AD、DC,求.ACD 的面积；(3) 点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与 ABC 相似，求点 P的坐标.当POC二ABC时，由tan POC二tan ABC得旦旦 = =些些,OHBO第 24 题图24.（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）解：(1) 点 B (-1, 0)、C (3, 0)在抛物线y =ax2+bx_3上a = 1解得丿b =

5、2- CD AC2AD2 CAD =90( 2 分)1 1 -SACDAC AD 3 2.2= 3.(1 分)：2 2(3) CAD = /AOB =90 ,AD二些=.2,BO AOCAMA AOB, 乙ACD ZOAB/OA=OC ,AOC =90 OAC OCA =45OACOAB =/OCA ACD,即BAC =/BCD( 1 分)若以 O、P、C 为顶点的三角形与 ABC 相似，且厶 ABC 为锐角三角形则POC也为锐角三角形，点 P 在第四象限由点 C ( 3 , 0), D (1, -4)得直线 CD 的表达式是y =2x 6,设P(t,2t -6)(0：t：3)过 P 作 PH

6、 丄 OC,垂足为点 H ,则OH =t,PH =6-2ta-b -3 = 09a 3b -3 = 0(2 分)抛物线的表达式为2y = x - 2x - 3，顶点 D 的坐标是（1，-4）(2 分)(2) A (0, -3),C (3, 0), D (1, -4) AC =3.2,CD =2.5,AD 262t=3，解得t=6,R(6,-18)t555当.POCACB时，由tan. POC = tan. ACB = tan45 = 1得巴6 -2t亍！=1，解得t =2 , F2(2,_2)综上得Pd6,-18)或P2(2,-2)55崇明区24.（本题满分 12 分，第（1）、（2）、小题满

7、分各 4 分）已知抛物线经过点A（0,3）、B（4,1）、C（3,0）.求抛物线的解析式；联结 AC、BC、AB，求.BAC 的正切值；点 P 是该抛物线上一点， 且在第一象限内，过点 P 作 PG _ AP 交y轴于点 G，当点 G 在点A的上方，且APG与厶ABC相似时，求点 P 的坐标.24.（本题满分 12 分，每小题 4 分）解：（1）设所求二次函数的解析式为y = ax2bx c（a = 0），16a 4b c =1,将A(0,3)、B(4,)、C(3,0)代入，得 彳9a + 3b + c=0, I c = 3.(2 分)(2 分)(1)(2)(3)2 / PAG = / ABC

8、则tan/ PAG = tan/ ABC = 31a =25解得b.2 分2c = 315所以，这个二次函数的解析式为y =1x2_5x 322(2 )A(0,3)、B(4,)、C(3,0) AC =3,2,BC =一2,AB = 2,52 2 2- AC BC = AB/ ACB =90(3)过点 P 作PH 丄 y 轴，垂足为 H125125设P (x, x - x 3)，则H (0, x - x 3)222 2 A(0,3)125- AH二x - x,PH二x22/ / ACB = / APG =90当厶 APG 与厶 ABC 相似时，存有以下两种可能：1 / PAG = / CAB则t

9、an/ PAG =tan/ CAB =13- tan/ BACBC_ V2 _ 1AC 3；232 / PAG = / ABC则tan/ PAG = tan/ ABC = 3解得x=11点P的坐标为(11,36)PHAHx31x011图 8 1 分1 分PH奉贤区点P的坐标为（17,一）24.（本题满分 12 分，每小题满分各4 分)已知平面直角坐标系xOy（如图 8），抛物线y =-X2+2mx+3m2（m 0）与x轴交于点? y + 2x + i .7i * (I 4lC(03b SJ OJA、B （点 A 在点 B 左侧），与y轴交于点 C,顶点为 D，对称轴 为直线，过点 C 作直线的

10、垂线，垂足为点 E，联结 DC、BC.（1）当点 C （ 0, 3）时，1求这条抛物线的表达式和顶点坐标；2求证：/ DCE= / BCE;（2 ）当 CB 平分/ DCO 时，求m的值.it虑ZAZDCSF*ZOCi = ZJCD=6CT12517黄浦区24.(本题满分 12 分)已知抛物线y = x2+bx+c经过点 A (1,0)和 B (0,3),其顶点为 D.(1) 求此抛物线的表达式；(2) 求厶 ABD 的面积；(3)设 P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作 PH 丄对称轴，垂足为 H，若 DPH 与厶 AOB 相 似，求点 P 的坐标.yaJL0 = 1 b c24

11、. 解：（1）由题意得：，- （2 分）3 = c丄b - -4解得：，- （1 分）3所以抛物线的表达式为y = x2-4x 3.-（1 分）（2 ）由（1）得 D （ 2, 1）,-（1 分）作 DT 丄 y 轴于点 T,111则厶ABD的面积=_乂2乂4_工1疋3_（1+2 $ 1 =1-（3分）2222.（3）令 Pp, p _4p 3 p 2 .-（1 分）由厶 DPH 与厶 AOB 相似，易知/ AOB=ZPHD=90,所以p2-4p 3 1P一2p2_4p+3 + 1 _ 1_p-23，（2分）所以点 P 的坐标为（5,8 ）,7_8|.9丿金山区24.（本题满分 12 分，每小

12、题 4 分）2平面直角坐标系 xOy 中（如图 8）,已知抛物线y=x bx C经过点 A（ 1,0）和 B（ 3,0）,与 y 轴相交于点 C，顶点为 P.（1） 求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标;（2）点 E 在抛物线的对称轴上，且 EA=EC, 求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线 MN，点 Q 在直线 MN 右侧的抛物线 上，/ MEQ=ZNEB,求点 Q 的坐标.224.解：（1 ）二次函数y=x bx c的图像经过点这条抛物线的表达式是y = x2_4x 3.（1 分）顶点 P 的坐标是（2, -1）. . （1 分）（2）抛物线y=x2-4x 3

13、的对称轴是直线x = 2，设点 E 的坐标是（2, m）.（ 1 分）根据题意得：(21)2 (m 0)2=(2 0)2 (m )2，解得：m=2，(2分）1 b c =09 3b c = 0，解得:(2 分)(1 分)A (1, 0)和 B ( 3, 0),点 E 的坐标为（2, 2）.（3）解法一：设点 Q 的坐标为（t, t2-4t 3），记 MN 与 x 轴相交于点 F.作 QD 丄 MN，垂足为 D,则DQ=t_2，DE =t2_4t 3_2=t2_4t 1.（1 分）vZQDE=ZBFE=90,ZQED=ZBEF,.AQDEABFE, .（1 分）.DQ DE t2 t24t+1丽

14、EF，12，解得t1（不合题意，舍去），t2=5. . （1 分）t =5，点 E 的坐标为（5, 8） . . （1 分）解法二：记 MN 与 x 轴相交于点 F.联结 AE,延长 AE 交抛物线于点 Q,/ AE=BE EF 丄 AB,.ZAEF=ZNEB,又vZAEF=ZMEQ,.ZQEM=ZNEB, . （1 分）点 Q 是所求的点，设点 Q 的坐标为（t, t2_4t 3）,作 QH 丄 x 轴，垂足为 H,则 QH=t2-4t 3, OH=t, AH=t-1,vEF x 轴， EF / QH,. 旦 =竺 , , . （ 1 分）QH AHt 4t+3 t1解得t1（不合题意，舍去

15、），t2=5. . （1 分）- t =5，点 E 的坐标为（5, 8） . . （1 分）静安区24.（本题满分 12 分，第（1 ）小题满分 4 分，第（2）小题满分 4 分，第（3 ）小题满分 4分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 B（ 8,0）和点 C（ 9,- 3）.抛物线y = ax2- 8ax c（a, c 是常数，0）经过点 B、C,且与 x 轴的另一交点为 A.对称轴上有一点 M，满足MA=MC.yi（1）求这条抛物线的表达式；一（2） 求四边形 ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点 D,满足四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AD/BC 求点 D 的坐标.,1

16、11 1 iJh 1IO-Bx第 24 题图C1 分）524.（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴x- -翌，即x = 4.2a点 B （ 8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）.C= 0 ,1 分)1 分)21将 C (9, -3)代入y =ax -8ax，得a =-31 分)1 8抛物线的表达式：-3x23x1 分)（2）点 M 在对称轴上，可设 M （4, y）2 2又 MA=MC,即卩MA二MC二42y2=52(y 3)2,解得 y=-3, M (4, -3)/ MC/AB 且 MCMAB, 四边

17、形 ABCM 为梯形，AB=8,MC=5,AB 边上的高 h = yM= 3-(AB MC) MH =- (8 5) 3=392222 分)将点 B (8,0)和点 C (9, - 3)代入yBc= kx b可得亦+“0，解得9k +b = 32 分)ACM由题意得， AD/ BC,kBC_ -3kAD_ -3,yAD- -3x分）又 AD 过(0,0) , DC=AB=8,设 D(x,-3x)(X 9)2+(3x +3)2=82,1 分)13解得X1 =1（不合题意，舍去），X2：1 分)5y = -3x = -39.点D的坐标(邑，-39).5551 分)闵行区24.（本题满分 12 分，

18、其中每小题各 4 分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线点 A 和点 B（ 1，0），与 y 轴相交于点 C（ 0，3）.（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2 ）求证：/ DAB=/ ACB;（3）点 Q 在抛物线上，且 ADQ 是以 AD 为 底的等腰三角形，求 Q 点的坐标.224 .解：(1 )把 B (1, 0)和 C (0, 3)代入 y 二 ax -2x c 中，(9a 6 c = 0 ”a = 1八得，解得.(2 分)c = 3|c = 3抛物线的解析式是： y _ -x2_2x 3 . . (1 分)顶点坐标 D (- 1 , 4). . (1 分)(2)令

19、y =0，贝 V x22x 3=0 ,洛-3 , x? =1 , A (- 3, 0) OA =OC =3，/ CAO=ZOCA. . (1 分)OB 1在 Rt. BOC 中,tan . OCB. . (1 分)OC 3/ AC =3 . 2 , DC , AD =2 .5 , AC2DC2=20 , AD2=20 ； AC2DC2二 AD2, ACD 是直角三角形且ACD =90 , tan. DAC =DC =1 ,AC 3又/ DAC 和/ OCB 都是锐角，/ DAO/ OCB. . (1 分) . DAC . CAO = . BCO . OCA ,即 乙 DAB ZACB . .

20、(1 分)(3)令 Q(x , y)且满足 y - -x2-2x 3 , A(-3,0), D(-1 , 4)/ADQ 是以 AD 为底的等腰三角形， QD2二 QA2，即(x 3)2y2=(x 1)2(y -4)2,化简得：x -2 2y =0 . . (1 分)x2 2v = 0由x 222y 0, . (1 分)y =-x -2x 3一 3 - 41X2：y =ax2_2x c 与 x 轴交于-3 41411 -.418411 +如y2 :、8点 Q 的坐标是，土送!,化空!_3_ 41 _1141（2 分）普陀区24.(本题满分 12 分)如图 10，在平面直角坐标系xOy中，直线y

21、= kx 3与x轴、y轴分别相交于点A、B,127并与抛物线y xbx汕的对称轴交于点C 2,2，抛物线的顶点是点D.(1 )求k和b的值；(2)点G是y轴上一点，且以点B、C、G为顶点的三角形与BCD相似，求点G的坐 标；(3 )在抛物线上是否存有点E:它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上.如果存有，直 接写出点E的坐标，如果不存有，试说明理由.图 1024.解:(1) 由直线y二kx 3经过点C 2,2，可得k二2（1分）17由抛物线J xbx的对称轴是直线x=2，可得b =1.42（1分）(2)直线-2x 3与x轴、y轴分别相交于点A、B，点A的坐标是6,0，点B的坐标是0,3.（2分）

22、抛物线的顶点是点D，点（1分）点G是y轴上一点，.设点G的坐标是0,m. BCG 与厶 BCD 相似，又由题意知，ZGBC ZBCD, BCG 与BCD相似有两种可能情况:（1分）1如果BG=BC，那么3m=，解得m=1,点G的坐标是0,1 -（ 1 分）CB CDy/5522如果BG=BC，那么 3；m5，解得m=1，点G的坐标是0,1. （1 分）CD CB52I 2丿2综上所述，符合要求的点G有两个，其坐标分别是0,1和O；.（3）点E的坐标是-1,9或2,9. .（ 2 分+2 分）I 4丿V 2丿青浦区24.（本题满分 12 分，第（1）、（ 2）、（ 3）小题，每小题 4 分）2已

23、知：如图 8,在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y = ax bx 3的图像与 x 轴交于 占八、A （3, 0）,与 y 轴交于点 B，顶点 C 在直线x=2上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移，当 顶点 C 恰好落在 y 轴上的点 D 处时，点 B 落在点 E 处.（1） 求这个抛物线的解析式；（2） 求平移过程中线段 BC 所扫过的面积；（3） 已知点 F 在 x 轴上，点 G 在坐标平面内，且以点 C、E、F、G 为顶点的四边形是矩 形，求点F 的坐标.b24.解：(1) / 顶点 C 在直线x =2上，x一= 2, b = -4a .(1 分)2a2将 A (3, 0)代入y二ax

24、 bx 3，得9a 3b 3=0 ,.(1 分)解得a =1,b = -4.(1 分)抛物线的解析式为y=x24x+3. .(1 分)(2)过点 C 作 CM 丄 x 轴，CN 丄 y 轴，垂足分别为 M、N.2 2Ty=x _4x+3 = = ( x_2 ) T, C(2, T ). (1分)/ CM =MA=1,/ MAC=45/-ZODA=45 OD =.OA =3. 2抛物线y=x -4x 3与 y 轴交于点 B,/. B （0,3）,BD=6.（1 分）抛物线在平移的过程中， 线段 BC 所扫过的面积为平行四边形 BCDE 的面积，/SBCDE=2SBCD=21BD CN =6 2=

25、122（3）联结 CE四边形BCDE是平行四边形，点O是对角线CE与BD的交点,即OE =OC5.（i ）当 CE 为矩形的一边时，过点 C 作CF1_ CE，交x轴于点F1,设点F1（a,0）,在RLOCF1中，OF12=OC2CR2,55即a2=（a-2）25，解得a，点（,0 ）.（1 分）225同理，得点F2（-,0 ） .（1 分）2（ii）当 CE 为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点F3、F4，可得OF3=OF4=OC=75，得点F3（V5,O）、）（2 分）55综上所述：满足条件的点有(,0),F2(-,0),F3(JB,0),F4(-J )22松江区

26、24 （本题满分 12 分，每小题各 4 分）如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C （1, -1）, P 是抛物线上位于第一象限内的一 点，直线OP 交该抛物线对称轴于点 B,直线 CP 交 x 轴于点 A.（1 ）求该抛物线的表达式；（2） 如果点 P 的横坐标为 m,试用 m 的代数式表示线段 BC 的长；（3）如果 ABP 的面积等于 ABC 的面积，求点 P 坐标.（第24题图）(1 分)(1 分)24.(本题满分 12 分，每小题各 4 分)解：(1)抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C (1, _1 )a b - -1解得：*|b= 2抛物线的表达式为:2y=x -2

27、x；(2)点 P 的横坐标为 m , P 的纵坐标为：m2-2m令 BC 与 x 轴交点为 M,过点 P 作 PN 丄 x 轴，垂足为点P 是抛物线上位于第一象限内的一点,2二 PN= m -2m, ON=m , O M=12,PN BM m m -2m BM由得ON OM m1 BM=m-2. 1分点 C 的坐标为（1, -1 ）, BC=m-2+1=m-1.1.分.（3）令 P（t, t2-2t）.分 ABP 的面积等于 ABC 的面积 AC=AP过点 P 作 PQ 丄 BC 交 BC 于点 Q CM=MQ=12 t -2t=1. j 分t = 1 *2（t = 1 -、2舍去）.分 P 的坐标为（1 .2,1） .1分