微积分基础知识

1、4.1 4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义三、不定积分的性质三、不定积分的性质四、基本积分公式四、基本积分公式五、不定积分的求法五、不定积分的求法 前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基前面我们讨论了一元函数的微分学，它的基本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问本问题是求已知函数的导数或微分。而在实际问题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数题中，还会遇到与此相反问题，即已知一个函数的导数或微分，求此函数。的导数或微分，求此函数。 例如：已知作非匀速直线运动的物体在任意例如：已知

2、作非匀速直线运动的物体在任意时刻时刻 的速度的速度 ，要求物体的运动方程：，要求物体的运动方程： 。这类问题在数学中归结为求导运算。这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。的逆运算，我们称之为求函数的不定积分。)(tvv )(tss t一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 1. 1.原函数：原函数： 设设 是定义在某区间上的已知函数，如果是定义在某区间上的已知函数，如果存在一个函数存在一个函数 ，使对于该区间任意，使对于该区间任意 ，都有关系式：都有关系式： 或或成立，则称函数成立，则称函数 为函数为函数 在该区间上在该区间上的一个的一个原函数原函数

3、。)(xf)(xFx)()(xfxFdxxfxdF)()()(xf)(xF例例 ),( , cossin xxx。上上的的一一个个在在是是原原函函数数),( cos sin Ixx455)(xx又因为：又因为：455) 1(xx455)3(xx455)(xcx 所以显然所以显然 ， ， ， 都是都是 的一个原函数。的一个原函数。5x15x35xcx 545x 由此不难得出：由此不难得出： （1）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。）一个函数的原函数不惟一，且有无穷多个。 （2）同一函数的原函数之间只相差一个常数。）同一函数的原函数之间只相差一个常数。 （3）若）若 为为 的一个原函数，则的一

4、个原函数，则 表示表示 的所有原函数。的所有原函数。 CxF)()(xF)(xf)(xf2. 不定积分的定义：不定积分的定义： 设设 是是 在区间在区间I上的一个原函数，则函上的一个原函数，则函数数 的全体原函数的全体原函数 （c为任意常数）为任意常数） )(xF)(xfCxF)()(xf任意常数任意常数积分符号积分符号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量 3.如何求不定积分如何求不定积分称为称为 在该区间在该区间I上的不定积分。上的不定积分。)(xf即：即：例例1解：解：Ccosdsinxxx例例2解：解：求求dxx211 dsin xx求求xxsin

5、)cos(因为因为xcosxsin所以所以是是的一个原函数，从而有的一个原函数，从而有因为因为211)(arctanxx所以所以xarctan是是211x的一个原函数，从而有的一个原函数，从而有cxdxxarctan112从从而而有有的的一一个个原原函函数数是是所所以以 ,|ln xx1例例3dxx1求求),(|ln01xxx因为因为cxdxx|ln1 结论结论 （3）不是每个函数在定义区间上都有原函）不是每个函数在定义区间上都有原函数；在数；在 定义区间上的定义区间上的连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数（即：一定有不定积分）。（即：一定有不定积分）。 （1）求函数）求函数 的的 不定积

6、分就是求不定积分就是求 的全体原函数，实际上只需求出它的一个原的全体原函数，实际上只需求出它的一个原函数，再加上一个常数函数，再加上一个常数 C 即可。即可。 )(xf)(xf （2）检验积分结果正确与否的方法是：积）检验积分结果正确与否的方法是：积分结果的导函数等于被积函数。分结果的导函数等于被积函数。)(xf)(xF)(xFy )(xf 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而而的全部积分曲线的全部积分曲线)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方

7、程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上)(xFy 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而而)(xf)(xF.)(cxFy所组成的积分曲线族。其方程为所组成的积分曲线族。其方程为cxFy)(yo的图象显然可由这条曲线沿的图象显然可由这条曲线沿或向下平行移动就可以得到，这样就得到一族曲线，或向下平行移动就可以

8、得到，这样就得到一族曲线， 因此，不定积分的几何意义是因此，不定积分的几何意义是轴向上轴向上)(xFy 设函数设函数在某区间上的一个原函数为在某区间上的一个原函数为，则，则 在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。在几何上表示一条曲线，称为积分曲线。而而)(xf)(xF二、不定积分的几何意义二、不定积分的几何意义如下图所示：如下图所示： xyx0cxFy)()(xf斜率斜率)(xFy 例例4 4 设曲线通过点（设曲线通过点（1, 2），且其上任一点处的切），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解 设曲线方程为设曲线方程为),(xfy

9、 根据题意知根据题意知,2)(xxf 即即)(xf是是x2的的一一个个原原函函数数. ,2Cx ,C)(2 xxf由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1C 所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy xxd2三、不定积分的性质三、不定积分的性质（k是常数，是常数，)0 k 定理定理1 微分运算与积分运算互为逆运算，即微分运算与积分运算互为逆运算，即 dxxfdxxfdxfdxxf)()()()()(或或1cxFxdFcxFdxxF)()()()()(或或2dxxfkdxxkf)()(定理定理2定理定理3dxxgdxxfdxxgxf)()()()( niiniidxxfdxxf11)()(推

10、论推论 积分运算和微分运算是互逆的，因此，积分运算和微分运算是互逆的，因此，对每一对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式个导数公式都可以得出一个相应的积分公式。四、基本积分公式四、基本积分公式 将基本导数公式将基本导数公式从右往左从右往左读，（然后稍加整理）读，（然后稍加整理）可以得出可以得出基本积分公式（基本积分表）基本积分公式（基本积分表）。基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数); dxx )(2 dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(;sinCx ;cotarcCx ;arccosCx xdxsin)7(;

11、cosCx xdx)3(;|lnCx );(111 Cx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsh)14(;chCx xdxch)15(.shCx xdx2sec )8(;tanCx xdx2csc )9(;cotCx 基基本本积积分分表表1.直接积分法直接积分法（直接利用直接利用基本积分公式与性质求基本积分公式与性质求积分）积分）解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据根据幂函数的积分公式幂函数的积分公式Cxdxx 11 例例5 5 求下列函数的不定积分求

12、下列函数的不定积分（恒等变形法恒等变形法） 五、五、 不定积分的求法：不定积分的求法：.2dxxx (1)dxxx)1sin43()2(2 解解:dxxx)1sin43(2 C xxxcos43dxxxxx)35(cos)3(3 cxxxx 131|ln35ln5sin131cxxxx 3443|ln35ln5sin解解:原式原式例例6 求下列函数的不定积分求下列函数的不定积分dxxxxx )1(1)(221dxxxxx )1()1(22解：原式解：原式dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx dxxxx )1 (21 ) 2(222dxxxxx )1(12222）（d

13、xxdxx 22111.arctan1Cxx 解：原式解：原式dxxx 241)3(解：原式解：原式dxxx 24111 ）（dxxx）（ 22111.arctan33Cxxx dxxx 2sincos1)4(22解：原式解：原式dxxx)( cos1cos122dx x )cos1(2C.xx )sin(2 xdx2cot (5)解：原解：原 式式 dxx)1(csc2 dxxdx2csc.cotCxx dxexx2 (6)解：原解：原 式式 dxex)2(ceex )2ln()2(cexx 2ln12 dxexxx1235 )7(解：原解：原 式式 dxexx)2)(23()25(21( dxedxxx)2()23()25(21.)2()2ln1(23)25()2ln5(ln21Cexx 解解,sinsec)(2xxxf dxxx sinsec2由由,costanCxx , 5)0( f及及, 6 C得得所求曲线方程为所求曲线方程为. 6costan xxy的的一一个个原原函函数数。是是xx