微积分第三章三节泰勒 ( Taylor )公式

1、二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( Taylor )公式 第三三章 特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求求 n 次近似多

2、项式次近似多项式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21机动 目录 上页 下页 返回 结束 令)(xpn则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa

3、)()()(020201)0(之间与在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2. 余项估计余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)

4、0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(

5、00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf0)( 式成立机动 目录 上页 下页 返回 结束 特例特例:(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒公

6、式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林（麦克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nn

7、xnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1

8、( n) 10(1nxxe机动 目录 上页 下页 返回 结束 )sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm机动 目录 上页 下页 返回 结束 ! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx机动 目录 上页 下页 返回 结束

9、) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用

10、1. 在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1! ) 1()(nnxnMxRM 为)() 1(xfn在包含 0 , x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知例例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111nen) 1

11、0(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105 . 076总误差为6105 . 076106105这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .e!91!2111机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 用近似公式!21cos2xx计算 cos x 的近似值,

12、使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.解解: 近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即当588. 0 x时, 由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例3. 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (

13、x1x2x!2 ) 1() 10(机动 目录 上页 下页 返回 结束 x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx机

14、动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( P140 P142 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函

15、数 , xsin例如例如 目录 上页 下页 返回 结束 4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机动 目录 上页 下页 返回 结束 12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近机动 目录 上页 下页 返

16、回 结束 思考与练习思考与练习 计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四节 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P143 1 ;4 ; 5 ; 7 ; 8;10(1),(2)泰勒泰勒 (1685 1731)英国数学家, 他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 线性透视论(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .他是有限差分理论的奠基人 .麦克劳林麦克劳林

17、(1698 1746)英国数学家, 著作有:流数论(1742)有机几何学(1720)代数论(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数麦克劳林级数 ., 1 ,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf, 0)(,2) 1 (,1)0(21fff.24)(, f使一点)(xf)(21之间与在其中x, 1,0 x由题设对证证:备用题备用题 1.321)(!31 xf)(21f221)( x)(! 2121f )(2121xf有)(21f221)( x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明) 1,0(且得分别令, 1,0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 ), 0(211)(21f)1 ,(2123211)(! 3)( f3212)(! 3)(f )0(1f)(21f22121)