第三章_空间向量与立体几何_导学案

1、§3.1.1 空间向量及其运算两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，uuur，uuurOBAB，学习目标试试 ：1.分别用平行四边形法则和三角形法则求1.理解空间向量的概念，掌握其表示方法；rr rrab2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及ab, ab.它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程一、课前准备（预习教材 P84 P86，找出疑惑之处）复习 1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度） ；叫零向量，记着；r叫单位向量.叫 相 反 向 量 ， a 的 相 反 向 量 记 着叫相等向量.向量的表示方法有，

2、和共三种方法 .复习 2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数 与向量 a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|a|.(2)当 0 时， a 与 A.；当 0 时， a 与 A.；当 0 时， a.3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律： a b b a加法结合律： (a b) ca（ b c）数乘分配律： (a b) a b二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的相关概念问题 ： 什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空

3、间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为反思 ：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？加法交换律： A. + B. = B. + B；加法结合律： (A. + B ) + C. =A. + (B. + c)； 典型例题例 1 已知平行六面体ABCDA' B'C ' D ' （如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：uuuruuuur AB BC；uuur uuuur uuuur AB AD AA '；uuuruuuur1 uuuurABADCC'21 uuuruuuuruuuur(ABADAA ' )2uuur uuuruuu

4、ruuuur uuuur'''和变式 ：在上图中，用AB, AD, AA表示 AC,BDuuuur'DB .小结 ：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量例 2 化简下列各式：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuur AB BC CA;uuur ABMBBOOM ;uuuruuuruuuruuuruuuruuur ABACBDCD ; OAODDC .变式：化简下列各式：uuuruuuruuuruuur OA OC BO CO;

5、 uuur uuur uuur AB AD DC;uuuruuuruuuuruuur NQ QP MN MP.小结 ：化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 动手试试练1. 已知平行六面体ABCD A'B'C'D ' , M 为A1C 1 与 B1 D 1的交点 ，化简下列表达式：uuuruuuurAA1A1B1 ;1 uuuur1 uuuurA1B1A1D1 ;221 uuuuruuur1 uuuur AA1A1B12A1 D12uuuuruuuruuur uuur uuuur

6、AB BC CC1 C1 A1A1A .三、总结提升 学习小结1. 空间向量基本概念；2. 空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移 .学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：1. 下列说法中正确的是（）rrrrA. 若 a = b ，则 a ， b 的长度相同，方向相反或相同 ;rrr rB. 若 a 与 b

7、是相反向量，则a = b ;C. 空间向量的减法满足结合律;uuuruuuruuurD. 在四边形 ABCD 中，一定有 ABADAC .2. 长 方 体 ABCD A'B'C'D' 中 ， 化 简 uuuuur uuuur'' uuuur''AA '=ABADrruur uurrr3. 已知向量 a ，b 是两个非零向量， a0 , b0 是与 a ，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（）uuruuruuruuruuruurA. a0b0B. a0b0 或 a0b0uurrrC. a01D. a 0 = b0 uu

8、uruuuruuur4. 在四边形 ABCD 中，若 AC AB AD ,则四边形是（ ）A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（）A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量课后作业1. 在三棱柱 ABC-A'B'C' 中， M, N 分别为 BC,B'C' 的中点，化简下列式子：uuuur uuuruuuuruuuruuuur'' AM+ BNA'NMC + BB2. 如图，平行六面体 ABCDA1B1C1

9、D1 中，点 M 为uuurruuurruuurrAC 与的 BD 的交点， ABa ， ADb ， A1 Ac ，uuuur则下列向量中与B1 M 相等的是（）A.1 r1 rrab c22B.1 r1 rrabc22C.1 r1 rrabc2 21 r 1 r rD.ab c2 2§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）uuurrr uuurrr试试：已知 ABa5b, BC2a8b,uuurrr，求证 : A,B,C 三点共线 .CD3 ab学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意

10、义及运算律解决简单的立r r反思 ：充分理解两个向量a, b 共线向量的充要条件中体几何中的问题rr的 b0 ，注意零向量与任何向量共线 .学习过程 典型例题一、课前准备例1 已知直线AB，点 O 是直线AB 外一点，若（预习教材 P86 P87，找出疑惑之处）uuuruuuruuur复习 1：化简：OPxOAyOB ，且 x+y 1，试判断 A,B,P 三点是rrrr否共线？ 5（ 3a2b ） +4 （ 2b3a ）；rrrrrr6 a3bcabc .变式 ：已知 A,B,P 三点共线，点 O 是直线 AB 外一点，uuur1 uuuruuur若 OPOAtOB ，那么 t2复习 2：在平

11、面上，什么叫做两个向量平行？r rrr在平面上有两个向量 a, b ， 若 b 是非零向量， 则 a 与 rb 平行的充要条件是二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的共线问题 ：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量 .2. 空间向量共线：r r rrr r定理： 对空间任意两个向量a,b （ b0 ）， a / b 的充要条件是存在唯一实数，使得推论： 如图， l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点 O，点 P 在直线 l 上的充要条件是例

12、2 已知平行六面体 ABCD A' B'C 'D ' ，点 M 是棱AA ' 的中点，点 G 在对角线rA ' C 上，且 CG:GA ' =2:1,uuur ruuurr uuuurr r r设 CD = a ， CBb,CC 'c ，试用向量 a, b, c 表示向uuur uuur uuuuruuur量 CA,CA' , CM ,CG .变式 1：已知长方体ABCD A'B'C' D '，M 是对角线 AC ' 中点，化简下列表达式：uuuruuurAA 'CBuuuu

13、ruuuuruuuur ; AB'B'C 'C'D'1 uuur1 uuur1uuur'ADAB2A A22变式 2：如图，已知 A, B, C 不共线，从平面 ABC 外任一点 O ，作出点 P,Q, R,S ,使得：uuuruuuruuuruuur OP OA 2AB 2ACuuuruuuruuuruuur OQ OA 3AB 2ACuuuruuuruuuruuur OR OA 3AB 2ACuuuruuuruuuruuur OS OA 2AB 3AC .小结 ：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点

14、，并且要注意向量的方向 . 动手试试练 1. 下列说法正确的是（r）rrr rA. 向量 a 与非零向量 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与rc 共线；B. 任意两个共线向量不一定是共线向量； C. 任意两个共线向量相等；rrrrD. 若向量 a 与 b 共线，则 ab .2.rrr rrrrr， 若已 知 a3m2n,b( x 1)m8n， a0rra / b ，求实数 x.三、总结提升 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指

15、“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移 .学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10分）计分：1. 下列说法正确的是（）r rrrr rA. a 与非零向量b 共线 ,b 与 c 共线，则 a 与 c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等r rrrD. 若向量 a 与 b 共线，则 ab2. 正方体 ABCDA'B'C' D ' 中，点E 是上底面uuuruuuruuuruuur,A'B 'C &#

16、39;D ' 的中心，若 BB'xADy ABzAA'则 x，y，z .3. 若点 P 是线段 AB 的中点，点 O 在直线 AB 外，uuuruuuruuur则OPOA+OB.4. 平行六面体 ABCDA'B'C'D ', O 为 A1C 与 B1D的交点 ,则1 uuuruuuruuur')uuur( ABADAAAO3ABCDA'B'C'D' ，M 是 AC 与5. 已知平行六面体ruuurruuuruuurruuuurBD 交点，若 ABa, AD'c ，则与'相等b, AA

17、B M的向量是（）A.1 r1 rrB.1 r1 rrabc ；abc ；2222C.1 r1 rrD.1 r1 rrabc ；abc .2222课后作业：§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）学习目标1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题学习过程一、课前准备（预习教材 P86 P87，找出疑惑之处）r r复习 1：什么叫空间向量共线？空间两个向量a, b ，rrr若 b 是非零向量，则a 与 b 平行的充要条件是复习 2：已知直线AB ，点 O 是直线

18、AB 外一点，若uuur1 uuur2 uuurOPOAOB ，试判断 A,B,P 三点是否共线？33试试： 若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满uuur1 uuur1 uuur1 uuur足关系式 OPOAOBOC ,则点 P 与 A,B,C236共面吗？反思 ：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C 满uuuruuuruuuruuur足关系式 OP xOAyOBzOC , 且点 P 与A,B,C 共面，则 xyz. 典型例题例 1 下列等式中， 使 M,A,B,C 四点共面的个数是 （ ） uuuur uuur uuur uuuur OM OA OB OC;uuuur1 uuu

19、r1 uuur1 uuuur OMOAOBOC;uuur532uuuruuuur r MA MB MC 0;uuuuruuuruuuruuurr OMOAOBOC0 .A. 1B. 2C. 3D. 4二、新课导学 学习探究变式 ：已知 A,B,C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一探究任务一 ：空间向量的共面ur ruuur 1 uuur7 uuuruuur问题：空间任意两个向量不共线的两个向量a,b 有怎点，若向量 OPOAOBOCR ,样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位53则 P,A,B,C 四点共面的条件是置关系？新知：共面向量：同一平面的向量 .2. 空间向量共面：r rur定

20、理： 对空间两个不共线向量a, b ，向量 p 与向量r r例 2 如图，已知平行四边形ABCD, 过平面 AC 外一a,b 共面的充要条件是存在，使得.点 O 作射线 OA,OB,OC,OD, 在四条射线上分别取点推论： 空间一点 P 与不在同一直线上的三点A,B,CE,F,G,H, 并且使 OEOFOGOHk,OAOBOCOD共面的充要条件是：求证： E,F,G,H 四点共面 . 存在，使 对空间任意一点O，有变式：已知空间四边形 ABCD 的四个顶点 A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点，求证： E,F,G,H 四点共面 .AEHBDFGC小结

21、：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向 . 动手试试练 1. 已知 A, B,C三点不共线，对平面外任一点，满uuur1 uuur2 uuur2 uuurP 与足条件 OPOAOBOC ，试判断：点555A, B,C 是否一定共面？rrrrrrrr练 2. 已知 a3m2n,b( x 1)m8n， a0 ，若rra / b ，求实数x.三、总结提升 学习小结1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. 知识拓展同的长度” ，空间的平移包含平面的平移.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况

22、为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：uuuur1. 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，向量 D1 A 、uuuuruuuurD1C 、 A1C1 是（）A. 有相同起点的向量B等长向量C共面向量D不共面向量 .2. 正方体 ABCDA'B 'C' D ' 中，点 E 是上底面uuuruuuruuuruuur,A'B 'C 'D ' 的中心，若 BB'xADy ABzAA'则 x，y，z .3. 若点 P 是线段 AB 的中点，点 O

23、在直线 AB 外，uuuruuuruuur则OPOA+OB.4. 平行六面体 ABCDA'B'C'D ', O 为 A1C 与 B1D的交点 ,则1uuuruuuruuur')uuur3( ABADAAAO .5. 在下列命题中：若 a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；若a、 b 所在的直线是异面直线，则a、b 一定不共面； 若 a、b、c 三向量两两共面， 则 a、b、 c 三向量一定也共面；已知三向量a、 b、c，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为pxayb zc其中正确命题的个数为（） .A0B.1C.2D.3课后作业：1.rrrr r(

24、 xrrr若 a3m2n4 p,b1)m8n2 yp ，rrrra0 ，若 a / b ，求实数 x, y .uruuruuur uruur2. 已 知 两 个 非 零 向 量 e1, e2不 共 线 , AB e1e2 ,uuururuur uuururuurAC2e18e2 , AD3e13e2. 求证： A, B, C,D 共面平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相§3.1.3空间向量的数量积（1）学习目标1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法

25、，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题学习过程一、课前准备（预习教材P90 P92，找出疑惑之处）rr复习 1：什么是平面向量a 与 b 的数量积？复习2 ：在边长为 1 的正三角形 ABC 中，求 uuur uuurAB ?BC .二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的数量积定义和性质问题 ：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？rr 你能说出 ab 的几何意义吗？3) 空间向量数量积的性质：rrr r（ 1）设单位向量rre ，则 ae| a | cosa, errrr（ 2） ababrr.（ 3）

26、aa4) 空间向量数量积运算律：rrrrrr（ 1） ( a) b(a b ) a ( b ) rrrr（ 2） abba （交换律）rrrrrrr（ 3） a(bc)abac （分配律反思 ：rrrrrr （ab) ca(bc) 吗？举例说明 .rrrrrr 若 abac ，则 bc 吗？举例说明 .rrrrrr 若 ab0 ，则 a0 或 b0 吗？为什么？ 典型例题例 1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 .新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量在空间uuurr uuurrr一点 O，作 OAa ,OBb ，则做向量

27、r.a与 b 的夹角，记作试试：r r范围 :rra ,br rrrrra, b =0 时, a 与 b; a,b=时, a 与 brrr r成立吗？a, bb, arrrra,b，则称 a 与 b 互相垂直，记作r r变式 1：用向量方法证明： 已知： m,n 是平面内的a, b ，AOB 叫两条相交直线，直线l 与平面的交点为B ，且l m,ln .求证： l.2) 向量的数量积：r rr r例 2如图，在空间四边形ABCD 中， AB2，已知向量 a, b ，则叫做 a, b 的数量积，记r rr r.BC 3，BD 23，CD3， ABDo，作 a b ，即 a b30规定 :零向量与

28、任意向量的数量积等于零.ABC60o ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值反思： 两个向量的数量积是数量还是向量？r rr 0 ? a（选 0还是0）DACB变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1 B1C 1 中，若AB=2 BB1,则 AB1与 C1B所成的角为（）A.60°B. 90°C. 105°D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1 B 1C 1D 1中，AB4,AD 3, AA'5 ,BAD 90 , BAA'=DAA' =60° ,求 AC ' 的长 . 动手试试练 1.uur uurrr

29、rr已知向量 a,b满足 a1 ， b2， ab 3 ，rr则 ab _.rr2 r rr r练 2. 已知 a 2 2 , b, a b2 , 则 a 与b2的夹角大小为 _.三、总结提升 学习小结1.向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用. 知识拓展两条直线的夹角和线段长度的新方法.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10分）计分：1. 下列命题中：rrrrr若 a ? b0 ，则 a ， b 中至少一个为 0rrr rrrr r若 a0 且 a ?ba ? c ，则

30、b cr rrrrr (a ? b) ? c a ? (b ? c)rrrrr 2r2 (3a2b) ? (3a 2b)9 a4 b正确有个数为（）A.0 个B.1个C.2个D. 3个uruur2.已知 e1和 e2 是两个单位向量，夹角为3，则下面uurur向量中与2e2e1 垂直的是（）uururuururuururA.e1e2B.e1e2C.e1D. e23.已知 ABC 中，A, B,C所对的边为 a, b, c ，且 a 3,b 1 , Cuuuruuur30 ,则 BC ?CA =rr4.rrrr已知 a4 ， b2 ，且 a 和 b 不共线， 当 abrr.与 ab 的夹角是锐角

31、时，的取值范围是r5.uur uurrrr3 ，已知向量a,b 满足 a 4 ， b2 ， abr r则 a b _课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，ABCD ，ACBD ，求证： ADBC.DACB2. 已知线段、内 ,BD AB, 线段 AC,AB BD 在平面如果 AB a,BD b,AC c,求 C、D 间的距离 .向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求§ 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示学习目标1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；学习过程一、课前准备（预习教材 P92-96 找出疑惑之处）复

32、习 1：平面向量基本定理：ur r对平面上的任意一个向量urP ， a,b 是平面上两个向量，总urur r是存在实数对x, y ，使得向量 P 可以用 a,b 来表ur r示，表达式为rr，其中 a,b 叫做ur. 若 ab ，则称向量 P 正交分解 .复习 2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和 y 轴上的向量r rri , j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对rrrx, y实数 x，y，使得 axiy j ，则称有序对rr为向量 a 的，即 a .底，通常用 i ,j,k表示 . 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz 和向量 a，且设 i 、

33、 j、 k 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组 x, y, z ，使得rrrr x, y, z 为向量 aaxiy jzk ，则称有序实数组的坐标，记着ur.puuur设 A ( x1, y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB . 向量的直角坐标运算：设 a (a1 , a2 ,a3 ) ， b ( b1 , b2 , b3 ) ，则 ab ( a1b1 , a2b2 ,a3b3 ) ； ab ( a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ； a ( a1 ,a2 ,a3 ) (R) ； a·b a1b1 a2b2

34、 a3 b3 .试试 ：rrrr1.r.设 a2ij3k ，则向量 a 的坐标为2.若 A (1,0,2)， B (3,1,uuur.1)，则 AB 3. 已知 a (2, 3,5) ，b ( 3,1, 4) ，求 ab，ab，8a， a· b二、新课导学 学习探究探究任务一 ：空间向量的正交分解r问题：对空间的任意向量 a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知：r 空间向量的正交分解：空间的任意向量a ，均可uuruuruur分解为不共面的三个向量1 a1、2 a2 、3 a3，使ruuruuruuruuruur uura1 a12

35、a23 a3 . 如果 a1, a2 , a3 两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理 ：如果三个向量r rra, b, c，ur x, y, z对空间任一向量p ，存在有序实数组，使得urrrrr rrp xa yb zc . 把 的一个基底， a,b, c 都叫做基向量 .反思：空间任意一个向量的基底有个 . 典型例题例 1r r r已知向量 a, b, c 是空间的一个基底，从向量urrr rurra, b, c 中选哪一个向量，一定可以与向量pab,rrrqab 构成空间的另一个基底？uuur uuur uuur变式 ：已知 O,A,B,C 为空间四点， 且向量

36、OA,OB,OC不构成空间的一个基底，那么点 O,A,B,C 是否共面？ 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基小结 ：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面 .例 2 如图，M,N 分别是四面体 QABC 的边 OA,BC 的 uuur uuur uuur中点， P,Q 是 MN 的三等分点，用OA,OB ,OCuuuruuur表示 OP和 OQ.变式：已知平行六面体ABCDA'B'C'D'，点 Gruuurr uuurr uuuur是侧面 BB'C 'C 的中心， 且

37、OAa ， OCb,OO 'c ，rr r试用向量 a, b, c 表示下列向量 :uuuuruuuruuuruuur''' OB ,BA,CA;OG .通过作辅助线来创造建系的图形.学习评价 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ：ur ur r1. 若 a,b,c 为空间向量的一组基底， 则下列各项中，能构成基底的是（）r rr rrr rr rrB.A. a, ab, abb,ab, abrr rr rrD.rr rr rC. c,ab, aba2b,ab, a b2. 设 i 、j、k 为空间直角坐标系O-xyz 中 x 轴、 y 轴、z 轴正方向的单位向量，且uuurrrrABijk ，则点 B的坐标是3. 在三棱锥 OABC 中， G 是 ABC 的重心（三条中 uuur uuur uuur线的交点），选取 OA,OB