概率论与数理统计科学课后习题答案

1、第二章 随机变量2.1 X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据，得，即。 故2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，XB(2,0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=(2)甲比乙投中的次数多PX>Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=2.4解:（1）P1X3= PX=1+ PX=2+ PX=3=(2) P0.5<X<2.5=PX=1+ P

2、X=2=2.5解：（1）PX=2,4,6,=（2）PX3=1PX<3=1PX=1- PX=2=2.6解：设表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1，2=2.7解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则XB(4,0.4)(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数，则YB(5,0.4)2.8 （1）XP()=P(0.5×3)= P(1.5)=（2）XP()=P(0.5×4)= P(2)2.9解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服

3、从参数为的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.10解：一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为2.11解：(1) (2) 2.12解：(1)由及，得，故a=1,b=-1.(2) (3) 2.13（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：2.14解:要使方程有实根则使解得K的取值范围为,又随机变量KU(-2,4)则有实根的概率为2.15解：XP()= P()(1)（2

4、）（3）2.16解：设每人每次打电话的时间为X，XE(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为的泊松分布。所求的概率为2.17解：(1)(2)2.18解：设车门的最低高度应为a厘米，XN(170,62)厘米2.19解：X的可能取值为1,2,3。因为；所以X的分布律为X123P0.60.30.1X的分布函数为 2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21（1）当时，当时，当时，X-112P0.30.50.2（2）Y120.80.22.22（1）设FY(y)，分别为随机变

5、量Y的分布函数和概率密度函数，则对求关于y的导数，得（2）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，有对求关于y的导数，得（3）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，对求关于y的导数，得2.23（1）对求关于y的导数，得到（2），,对求关于y的导数，得到（3）， 对求关于y的导数，得到第三章 随机向量3.1 P1<X2,3<Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)=3.2YX1220=3=03.4（1）a=（2）（3）3.5解：（1）（2）3.6解：3.7参见课本后面P227的答案3.83.9解：X的边缘

6、概率密度函数为：当时，当时，Y的边缘概率密度函数为： 当时， 当时，3.10 （1）参见课本后面P227的答案（2）3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13（1）对于时，所以对于时，所以3.14X Y025X的边缘分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的边缘分布0.20.430.371由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故所以X与Y不独立3.15X Y123X的边缘分布12ab+a+bY的边缘分布a+b+1由独立的条件则可以列出方程解得 3.16 解（1）在3.8中当， 时，当或时，当或时，

7、所以，X与Y之间相互独立。（2）在3.9中，当，时， ，所以X与Y之间不相互独立。3.17解：故X 与Y相互独立3.18参见课本后面P228的答案第四章 数字特征4.1 解：甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，54.3参见课本230页参考答案4.4解：4.6参考课本230页参考答案4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则4.8解500+10001500 4.9参见课本后面230页参考答案4.10参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为,方差为,则XN(,)根据题意有:,解得t=2即=

8、12所以成绩在60到84的概率为4.124.13解：4.14解：设球的直径为X,则：4.15参看课本后面231页答案4.16解:4.17解X与Y相互独立，4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是独立同分布的，又所以4.22参看课本后面232页答案4.234.244.254.26因为XN(0,4),YU(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)=故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)=4.27参看课本后面232页答案4.28后面4

9、题不作详解第五章 极限理5.3解：用表示每包大米的重量，则,5.4解：因为服从区间0,10上的均匀分布，5.5解：方法1：用表示每个部件的情况，则，,方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则5.6略第六章样本与统计6.1证明:由=+b可得，对等式两边求和再除以n有由于所以由 可得=因为 所以有6.2 证明：6.3（1）（2）由于所以有两边同时除以（n-1）可得 即 6.4 同例可知得 查表可知=1.96 又 根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：(2)根据题意有6.6 解：（1）记一

10、个月（30天）中每天的停机时间分别为，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：（注：当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）（2）根据题意有：6.7证明：因为T，则，随机变量的密度函数为 显然，则为偶函数，则6.8 解：记，则XN(,),n=25故6.9 解：记这100人的年均收入为，它们是来自均值为万元，标准差为万元的总体的样本，n=100则根据题意有：（1）（2）（3）6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为，标准差为的总体，样本容量为n=5 （1）依题意有（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于1

11、0的概率：设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有即样本的最小值小于10的概率是0.5785.（3）同（2）要求样本的最大值大于15的概率，即5个数中至少有一个大于15的概率，首先计算每个样本大于15的概率：设X是5个样本中大于15的样本个数则X服从二项分布B(5,0.0668)故有即样本的最大值大于15的概率是0.2923第七章参数估计7.1解因为:是抽自二项分布B（m,p）的样本，故都独立同分布所以有用样本均值代替总体均值，则p的矩估计为7.2解： 用样本均值代替总体均值，则的矩估计为由概率密度函数可知联合密度分布函数为： 对它们两边求对数可得 对求导并

12、令其为0得 即可得的似然估计值为7.3解:记随机变量x服从总体为0,上的均匀分布，则 故的矩估计为X的密度函数为故它的是似然函数为要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计（示性函数I= ，=min =max）7.4解:记随机变量x服从总体为,上的均匀分布，则所以的矩估计为X的密度函数为故它的是似然函数为要使达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是尽可能大。由于是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小于,因此给出的最大似然估计7.5 解:似然函数为:它的对数为:对求偏导并令它等于零有 解得的似然估计值为 7.6解:根据所给的概率密度函数是指数函数的密度函数可知 (1)故这四个估计都是的无偏估计.（2）故有 7.7证明（1）因为X服从上的均匀分布，故 故样本均值不是的无偏估计（2）由（1）可知的矩估计为 又 故它是无