常用离散型和连续型随机变量

1、word常用离散型随机变量的分布函数(1) 离散型随机变量1 概念：设X是一个随机变量，如果X的取值是有限个或者无穷可列个，如此称X为离散型随机变量。其相应的概率P(X Xi) Pi (i 1、2)称为X的概率分布或分布律，表格表示形式如下：XX 1X 2X 3X iPP 1P 2P 3p i2性质：Pi0nPi 1i 1分布函数F ( x)PiXj XPXXiF(x) F(Xi 1)连续型随机变量1 概念：如果对于随机变量的分布函数 F(x)，存在非 负的函数f(X)，使得对于任意实数X，均有：XF(x) f(X)dX如此称X为连续型随机变量，f (x)称为概率密度函数或者密度函数。2 连续

2、型随机变量的密度函数的性质f(x) 0f(x)dx 1Pa X b F(b) F(a) f (x)dx假如f (x)在x点连续，如此F (x) f (x)连续型随机变量和离散型随机变量的区别：1 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是,，对于任何 x ,PX xo F(xo) F(xo ) 0 ；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个连 续点，其图形呈阶梯形。2 概率密度f(x) 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布pi不仅非负，而且一定不大于1.3 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此 X取任何 给定值的概率都为0.4 对任意两个实数a b，连续型随机变

3、量X在a与b之 间取值的概率与区间端点无关，即：Pa X b Pa X bPa X b Pa X bF(b) F(a)bf (x)dxa即: PX b PX b F(x)只取0、1两个值的随机变量，称为0-1分布, 它用来描述只有两种对立的结果成功与失 常用的离散型随机变量的分布函数：1 0-1 分布：:间A出现与不出现的伯努利实验。败、合格与不合格、击中目标与击中目标、时如果离散型随机变量X的概率分布PX kpkq1kK=0、10 p 1 q 1 p称X服从参数为p的0-1分布。2 二项分布：如果离散型随机变量X的概率分布为：PX k C：pkqnkk0、1 n 0 p 1 q 1 p称X服

4、从参数为n、p的二项分布，简记为X B(n, p)注：进展一次实验，假如实验的成功率为 p，如此在一次实验 中成功的次数X服从参数为p的0-1分布二项分布描述n重伯努利实验，假如每次试验的成功率为 p , 如此进展n次独立重复试验，如此成功的总次数X服从参数为n、 p的二项分布如果X服从二项分布X B(n, p),如此Y=n-X服从二项分布 X B(n,1p)3 超几何分布：如果离散型随机变量X的概率分布为：PXmm n mN1CN2CN1 N2m 0、 n称X服从参数为n, Ni、N2的超几何分布，其中n, Ni、N2都 为正整数，且n< Ni+ N2当n N2时，去正概率的X值不是从

5、0开始，而是从n N2开 始；当n Ni时，去正概率的X值最大不是n,而是NJ4泊松分布Poisson如果随机变量X的概率分布为：kPX ke k!k 0、1 n如此称随机变量X服从参数为 的泊松分布，简记为XP(). 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关 系最为密切：1) 参数为p的0-1分布，就是参数为 n、p的二项分布 B (n, p)当n=1时的特例；常用连续型随机变量的分布函数1均匀分布：假如连续型随机变量X的概率密度为:f (x)x其他广1 a§ b a0如此称X服从区间a, b上的均匀分布，其分布函数为:xxaa x ba1 x在a,b上服从均匀分布

6、的随机变量 X在a,b内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在a,b内的位置无关。即：假如c,da,b，如此:11 / 8Pc X d2指数分布:如果连续型随机变量的概率密度为:ef(x) 0口此称X服从参数为 的指数分布，其中 0 ,相应的分布函数为:F (x)e x x 00x0指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。指数分布具有无记忆性。3正态分布:A.正态分布的概率密度为:f(x)于 e(X )22 2其中和均为常数，且简记为：X N( , 2)B.特别地，当1时,称X服从标准正态分布，记作X N(0,1)，其概率密度为:(x)(x)表示。C.标准正态分布 X N(0,

7、1)的分布函数(x)与概率密度(x)的性质。a) ( x) (x)即(x)是一个偶函数(x)0即x轴是(x)的水平渐近线。xc) 分布函数F(x)();概率密度1 Xf(x)()。d) 假如 X N(0,1)，当 C>0 时，PX c 2 (c) 1假如随机变量X服从正态分布X N( ,2)，如此x服从标准正态分布N(0,1)，且 N(0,1)2如果X N(,)，当a 0时，aX b服从正态分布N(ab,a2 2)。特别地，如果a=1,如此 X b N( b, 2)。2 2如果 X1 N( 1, 1 ),X2N( 2, 2 ),且X1、X2相互独立，如此a1X1a2X2 N(a1 12a

8、2 2, a12 2 2、1a22 )(6)随机变量的函数分布的求法设X是一个随机变量，y g(x)是一个实函数，如此Y g(X)也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是X的分布与函数y g(x)，求随机变量Y g(X)的概率分布或者概率密度乃至分布 函数。1 离散型随机变量的函数分布的求法如果随机变量的函数Y g(X)是离散型无论X是不是 离散型的的，求丫的分布只要逐点分析出丫的全部可能取值与 取各可能值的相应概率即可。2 连续型函数的分布的求法1.分布函数法：如果随机变量的函数Y g(X)是连续型的， 最根本的方法是分布函数法，即先求出 丫的分布 函数 FY(y) P(g(x) y)f(x)dx，然后通过g(x) y分布函数求出丫的概率密度，其中f (x)是随机变 量X的概率密度。2.公式法如果X是连续型的随机变量，y g(x)是x 的单调可到函数，其导数不为 0，如此丫的概率 密度f,y)可直接由X的密度fx(y)求出：fy(y)h (y) fx h(y) y Z(g)0其他其中x h(y)是函数y g(x)的反函数，Z(g)是 y g(x)的值域。3.方法总结：确定分布中位置参数的解题方法是建立所 求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数， 建立分布中未知参数方程的主要方法有：1) 分布函数