第8章IIR数字滤波器设计20150907

1、数字信号处理数字信号处理第八章：第八章：IIR数字滤波器设计数字滤波器设计2022-2-208.1 引言8.2 滤波器设计的技术指标8.3 模拟低通滤波器设计的基本方法8.4 频率变换与模拟高通、带通、带阻滤波器的设计8.5 脉冲响应不变法设计IIR低通滤波器8.6 双线性变换法设计IIR低通滤波器8.7 数字高通、带通、带阻滤波器的设计2022-2-208.1引言引言设计并实现数字滤波器是我们学习和研究数字滤波器性能的根本目的，数字滤波器的设计过程大致包括如下三个步骤：a)了解所需设计数字滤波器的技术指标；b)设计一个传输函数 ，使其无限逼近所需要的技术指标；c)选择合适的滤波器结构形式，来

2、实现所设计的传输函数 。8.2 滤波器设计的技术要求1.1定义：IIR(Infinite Impulse Response)数字滤波器，即无限脉冲响应数字滤波器，或递归滤波器，具有反馈，一般认为具有无限的脉冲响应。1.2特点：1、封闭函数：IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。2、IIR数字滤波器采用递归型结构IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型4/25四种结构形式，都具有反馈回路。由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。3、借助成熟的模拟

3、滤波器的成果IIR数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。在设计一个IIR数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。4、需加相位校准网络IIR数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。5/251.3 IIR数字滤波器和数字滤波器和FIR数字滤波器区别数字滤波器区别IIR数字滤波器数字滤波器FIR数字滤波器数字滤波器单位响应为无限脉冲序列单位响应为有限的幅频特性精度很高，不是线性相位的，可

4、以应用于对相位信息不敏感的音频信号上。幅频特性精度较低，线性相位。有限的单位响应也有利于对数字信号的处理，便于编程，用于计算的时延也小不方便处理。6/251.4 IIR滤波器设计的技术要求频率选择型数字滤波器主要可分为：低通滤波器(LP)、高通滤波器(HP)、带通滤波器(BP)和带阻滤波器(BS)等四种。每一个特定的数字滤波器都有它们相应的通带和阻带的幅度响应指标，它们是表征和设计数字滤波器的重要参数和基本指标。7/25此外，在实际的数字滤波器中较理想滤波器的幅度响应还会多出一个过渡带，以使幅度平滑下降。以最常用到的低通滤波器为例，其幅度响应曲线如下图所示。8/25 典型幅度指标上图中, 的频

5、率范围定义为通带，其幅度响应要求以误差 逼近1，即而 的频率范围则定义为阻带，其幅度响应要求以误差 逼近0，即其中,频率 和 分别定义为通带边界频率和阻带边界频率，通带和阻带的误差容限 和 则称为波纹峰值。由于在大多数应用中，所研究的0P P1|H(e)| 1,|jPpp s s|H(e )|,|jss psps数字滤波器的传输函数 H(z)具有实系数，且其幅度响应 是 的偶函数，因此仅讨论范围 内的数字滤波器指标。数字滤波器的指标通常由单位为dB的损益函数给出，峰值通带波纹 和最小阻带衰减 ，即数字滤波器的损益指标为： 10/2520lg(1)ppdBdB|H(e )|j0 |ps20lgs

6、s11/251 :通带截止频率通带截止频率 :阻带下限截止频率 :通带截止频率 :阻带上限截止频率低通滤波器高通滤波器以下是四种数字滤波器的技术要求和相应含义|H(e )|j|H(e )|j112pssppsps12/25 :通带下限截止频率 :通带上限截止频率 :下阻带截止频率 :上阻带截止频率 :通带下限截止频率 :通带上限截止频率 :下阻带截止频率 :上阻带截止频率带通滤波器带阻滤波器|H(e )|j|H(e )|jsllushlslshuluslshlslush8.38.3模拟低通滤波器设计的基本方法模拟低通滤波器设计的基本方法将模拟传输函数转换成IIR数字滤波器传输函数的基本思路就是

7、应用一个域到域的映射。为了保持模拟滤波器的基本特性不变，该映射就必须满足：1. 平面的虚轴被映射到平面的单位圆上；2. 稳定的模拟传输函数能转换为稳定的数字传输函数。模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计2022-2-20由于IIR数字滤波器的设计基于模拟低通滤波器的变换，因此其阶数的估计也应该基于所估计的阶数。常见的低通滤波器有如下几种：(1)巴特沃思(Butterworth)滤波器：该滤波器函数在通带和阻带内具有单调衰减的幅频特性。(2)切比雪夫(Chebyshev)滤波器：其幅频特性在通带内等波纹变化，在阻带内单调衰减。在相同阶数条件下，切比雪夫滤波器比巴特沃思滤波器有更好的衰减特性。巴特

8、沃思滤波器巴特沃思滤波器一般的, Butterworth滤波器的3. 确定即2N个极点均匀分布在s(p)平面半径为 1的圆上，应取左半平面的N个予G(p) ，右半平面的N个赋予 G(-p) 因此，切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器2221|()|1( )nG jC切比雪夫多项式的特点：1coscos( )cos()nCn 221( )cos ( cos)nCn 2022-2-20241112( )2( )( )( )2( )( )nnnnnnCCCCCC 的多项式11( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )( )cos(1)cos()cos( )sin()sin( )n

9、nCnnnCnnn 2022-2-2025首项系数是12n(1)1nC012210332142432( )cos(0)1( )cos( )( )2( )( )21( )2( )( )43( )2( )( )881CCCCCCCCCCC 2022-2-2026切比雪夫滤波器2. 解出 和2022-2-20271设计过程: 为求滤波器的阶次，还要利用另外的条件：注意:2221|()|1( )nG jC22( )10lg1( )nC /1022(1)101pnC21( )10lg|()|G j 2(1)1nCQ/102101pn1. 将实际频率归一化：利用另外的条件：,:1sssNote 必须不大于

10、1因此： 时，切比雪夫多项式要重新定义，采用双曲函数：1cosh/2sinh/2xxxxxeexee1( )cos( cos)nCn/1022221()101cosh cosh ()snssCn/10212/10101cosh cosh ()101spsnaSo,11cosh ( )cosh ()san221( ) ()1(/ )nG p GpCpj221( / )0nCp j求根1coscosh()n arjpj 3. 确定( )G s22(21)sinsinh()2(21)coscosh()2kkpnkjn1,2,2kn2022-2-2030切比雪夫滤波器的极点分布 此试求出的2n个极点

11、,一半属于G（p），一半属于G（-p）,把左半平面的极点赋予G（p）,即k=1,2.nkp低通切比雪夫滤波器转移函数极点的分布2022-2-2031最终,111( )2()nnkkG ppp111( )( )2()pnpnpnkpkG sG psp转移函数: 反映了实际频率p8.4 冲击响应不变法设计IIR数字滤波器1. 变换原理给定数字滤波器的技术指标给定数字滤波器的技术指标 p p，s s ， p p， s s转换成模拟低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标p p, , s s, , p p， s s设计模拟低通滤波器 （p p）得到模拟高通、带通、带阻滤波器 H(s)得到数字

12、高通、带通、带阻滤波器 H(z)转换成模拟滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标 p p, , s s, , p p， s s变换原理数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应 h(n)h(n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应 h ha a(t)(t)( )( )at nTh nh t( )( )at nTh nh t( )H z( )aHs( )( )sTaz eH zHs12akHsjkTT12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs2. 模拟滤波器的数字化方法( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z1( )NkakkA

13、Hsss111kNks TkAez11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zez 极点：s 平面 z 平面kssks Tze 系数相同：kA 稳定性不变：s 平面 z 平面Re0ks1ks Te1()jaH eHjTT当T 很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：11( )1kNks TkTAH zez2()jakkH

14、 eHjT则：aHjT3. 利用冲击响应不变法设计滤波器的步骤（1）利用sT ，将 转换成,ps,ps ,sp 不变线性转变关系（2）设计低通模拟滤波器 G s（3）将 转变为 Hz 相对于 有较大的失真，这是由于抽样频率过小时，易产生混迭。此外，该方法对高通、带阻滤波器不适用。jHe()G j G s4. 优缺点优点：缺点：T 保持线性关系：线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器 频率响应混迭只适用于限带的低通、带通滤波器 h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应时域逼近良好( )aht8.5 双线性变换法设计IIR低通滤波器1. 变换原理使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似

15、。冲激响应不变法：时域模仿逼近缺点是产生频率响应的混叠失真1s Tze:, 1:,T T 12Ttg 1111zsz 11szs11sin2cos2TT1111s Ts Tee12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Te为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数 c12Tc tg 1111zsczcszcs2. 变换常数c的选择12Tc tg 2cT2）某一特定频率严格相对应：cc 122cccTc tgc tg

16、2cccctg 1 1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置1 12Tc3. 逼近情况2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虚轴z平面单位圆cscjzcscj 2）01z左半平面单位圆内s平面z平面右半平面单位圆外 优点：2c tg 00 避免了频率响应的混迭现象s 平面与 z 平面为单值变换00 4.优缺点 缺点： 除了零频率附近， 与 之间严重非线性11/T 1112 tgc2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器 非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变，如右图所示5. 模拟滤波器的数字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统1111()() 1, 2,.,iiazsczHzHsim其 中 ：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12