解析几何 存在性问题含答案

1、解析几何存在性问题1、已知椭圆 的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（）求椭圆的方程；（）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.解：（1）因为直线的方程为，令，得，即1分 ，又， ， 椭圆的方程为.分（2）存在点P，满足 圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为，由垂径定理得，故圆的方程为.分设圆上存在点，满足即，且的坐标为，则， 整理得，它表示圆心在，半径是的圆。 分故有，即圆与圆相交，有两个公共点。圆上存在两个不同点，满足.分2、平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，焦点为、，直线：经过焦点，并与相交于、两点

2、求的方程；在上是否存在、两点，满足，？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由解：依题意，2分，由得3分，椭圆的方程为4分（方法一）若存在满足条件的直线，设直线的方程为5分由6分，得7分，（*）设，则，9分由已知，若线段的中点为，则，10分，即，由，解得13分时，与（*）矛盾，不存在满足条件的直线14分（方法二）假设存在， ，线段的中点为，则，5分由两式相减得：7分，代入、化简得： 由已知，则，9分由得，由解得，即11分直线CD的方程为：，联立得 13分，方程（组）无解，不存在满足条件的直线14分3、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点 若点C满足 点C的轨迹与抛物线：交于A、B两点(1

3、)求证：；(2)在x轴上是否存在一点使得过点P直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点, 若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由解：(1)由知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是, 即由, , 故.6分(2)法一：存在点 满足条件。证明如下：由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，设弦所在的直线方程为：代入得，, 故以AB为直径的圆都过原点 .10分法二：若存在这样的点P满足条件，设. 则有得又 由D、P、E三点共线可得当时， 此时 可验证当且时也符合条件，所以存在点满足条件. 设弦AB的中点为则，弦AB的中点M的轨迹方程为：，消去k得4、如图（

4、6），设点、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且最小值为（1）求椭圆的方程；（2）若动直线均与椭圆相切，且，试探究在轴上是否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设，则有，-1分 -2分由最小值为得，-3分椭圆的方程为-4分（2）当直线斜率存在时，设其方程为-5分把的方程代入椭圆方程得直线与椭圆相切，化简得同理，-8分，若，则重合，不合题意，-9分设在轴上存在点，点到直线的距离之积为1，则，即，-10分把代入并去绝对值整理，或者前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的恒成立则，解得；-12分当直线斜率不存在时，其方程为和，-13分定点到直线的

5、距离之积为； 定点到直线的距离之积为； 综上所述，满足题意的定点为或 -14分5、已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，且经过定点，为椭圆上的动点，以点为圆心，为半径作圆求椭圆的方程；若圆与轴有两个不同交点，求点横坐标的取值范围；是否存在定圆，使得圆与圆恒相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由解：由椭圆定义得， 1分即， 2分，又， . 3分故椭圆的方程为 4分圆心到轴距离，圆的半径，若圆与轴有两个不同交点，则有，即，化简得. 6分点在椭圆上，代入以上不等式得：，解得：. 8分又， ，即点横坐标的取值范围是. 9分存在定圆与圆恒相切，其中定圆的圆心为椭圆的左焦点，半径为椭圆的长轴长4.

6、 12分由椭圆定义知，即，圆与圆恒内切. 14分6、已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点在椭圆 上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.(1) 求椭圆的方程；(2) 是否存在满足的点? 若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）; 若不存在，说明理由.（1）椭圆的方程为. 3分 (2)解法1：设点,，则，三点共线, （. 4分, 化简得：. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即. 同理，抛物线在点处的切线的方程为 . 8分 设点，由得：，而，则 . 9分代入得 ，则，代入 得 ，即点的轨迹方程为. 11分若 ，则点在椭圆上，而点又在直线上

7、，12分直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法2：设点,，由,即得. 4分抛物线在点处的切线的方程为，即. 5分， .点在切线上, . 6分同理， . 综合、得，点的坐标都满足方程.经过的直线是唯一的，直线的方程为， 9分点在直线上， .点的轨迹方程为. 11分若 ，则点在椭圆上，又在直线上，12分直线经过椭圆内一点,直线与椭圆交于两点. 13分满足条件 的点有两个. 14分解法3：显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 由消去，得. 4分设,则. 5分由,即得. 6分抛物线在点处的切线的方程为，即.7分， . 同理,得抛物线在点处的切线的方程为. 由

8、解得. 10分,点在椭圆上. 11分化简得.(*) 由, 可得方程(*)有两个不等的实数根. 满足条件的点有两个. 14分7、已知双曲线的焦点分别为,且双曲线经过点.（1）求双曲线的方程；（2）设O为坐标原点，若点A在双曲线C上，点B在直线上，且，是否存在以点O为圆心的定圆恒与直线AB相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）解法一：依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为点在双曲线C上， -3分又，所求双曲线C的方程为-4分解法二：依题意知双曲线C的焦点在x轴，设其方程为-1分点在双曲线C上， -又，-代入去分母整理得：，又，解得-3分所求双曲线C的方程为 -4分(2) 设点A，B的坐标分别为，其中或.-5分当时，直线AB的方程为，即-6分若存在以点O为圆心的定圆与AB相切，则点O到直线AB的距离必为定值，设圆心O到直线AB的距离为，则.-7分， ， ，-8分又，故=-11分此时直线AB与圆相切，-12分当时，代入双曲线C的方程并整理得，即，解得，此时直线