带状态观测器控制系统综合设计与仿真

1、浙江大学宁波理工学院现代控制理论MATLAB仿真大作业报告题 目带状态观测器的控制系统综合设计与仿真项目成员专业班级 指导教师 何小其学 院信息科学与工程学院完成日期 2015年6月18日摘要 31匸芟破术参綴 31.1某一 DC电机控制系统 31.2性能指标要求 32设计思路 43状态空间描述 43.1选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型 43.2使用Matlab得到状态空间表达式 54对原系统仿真并比较性能指标 65根据性能指标确定系统一组期望极点 76通过状态反馈法对系统进行极点配置 86.1引入状态负反馈K 86.2验证状态负反馈系统的稳定性 106.3使用Matlab程序求矩阵

2、K 117合理增加比例增益，使系统满足稳态指标 117.1放大系数改变后系统动态性校验 127.2控制系统阶跃响应指标 138设计全维观测器 138.1判断观测器的能观性： 138.2计算观测器的反馈矩阵L 148.3得到观测器的状态方程 168.4对所得到的状态方程进行仿真验证 168.5用Matlab求解矩阵L 179在simulink下对经综合后的系统进行仿真分析 1810课程设计心得体会 21参考文献： 21带状态观测器的控制系统综合设计与仿真摘要：状态重构器是根据系统的外部输入和输出变量的实测值，得出状态变量估计值的一类动态系统。60年代初期，为了对控制系统实现状态反馈或其他需要，

3、D.G.吕恩伯格、R.W.巴斯和J.E.贝特朗等人提出状态观测器的概念和构造方法， 通过重构的途径解决了状态的不能直接量测的问题。状态观测器的出现，不但为状态反馈的技术实现提供了实际可能性，而且在控制工程的许多方面也得到了实 际应用，例如复制扰动以实现对扰动的完全补偿等。关键字：系统，状态空间，matlab，稳定性，反馈，矩阵，增益，指标，仿真1主要技术参数1.1某一 DC电机控制系统U(S)5XI10X2(s1X3(s>Y(B)£ + 5S-F 10S图1受控系统方框图1.2性能指标要求1.2.1动态性能指标超调量二岂5%；t <05超调时间tp 0.5秒；系统频宽b

4、' 10 ；1.2.2稳态性能指标e = 0静态位置误差 p （阶跃信号）；静态速度误差6咗0.2 （数字信号）;2设计思路按图中选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型；对原系统在simulink下进行仿真分析，对所得的性能指标与要求的性能 指标进行比较；根据要求的性能指标确定系统综合的一组期望极点；假定系统状态均不可测，通过设计系统的全维状态观测器进行系统状态重 构；通过状态反馈法对系统进行极点配置，使系统满足要求的动态性能指标；合理增加比例增益，使系统满足要求的稳态性能指标；在simulink下对经综合后的系统进行仿真分析，验证是否达到要求的性 能指标的要求。3状态空间描述3.1

5、选定的状态变量建立系统的状态空间数学模型由选定的电机控制系统要求可以写出如下关系式:5 U(s )s+510X1(s )s+10x 2(s)由上方程可得:(S 5) Xi(s) = 5U (S)(s 10) x2 (s 10 x1 ( s),sx 3 ( s ) = X 2 ( s )sx( s)二 - 5( s) 5U (s)sx2(s)二 10 x,s) - 10 x2 (s).SX3(S) = X2(s)拉式反变换为f Lx i = - 5 x5UI Lx 2 = 10- 10 x 2I Lx 3 二 x 2输出由图可知为厂X3则传递函数的状态空间表达式可写为：Lx1-500 x15X2

6、=10-100 X20u卩1010_ilx3_i10I X3-一y = '0 0 1 lx3.2使用Matlab得到状态空间表达式在Matlab中输入如下语句也得到状态空间表达式k=50;z=;p=-5 -10 0;sys=zpk(z,p,k);G1= ss(sys)运行程序可以得到状态变量的空间数学模型G1 =xlx2x3xi010x201x300-10b =ulxl0x20x3sxlx2x36.25004对原系统仿真并比较性能指标原受控系统仿真图如图2所示:51015+5&+10srSlePTransfer FenTransfer Fcn1IntegratorScope图2

7、原受控系统仿真图原受控系统的阶跃响应如图3所示:图3原受控系统的阶跃响应曲线很显然，原系统是不稳定的5根据性能指标确定系统一组期望极点由于原系统为三阶系统，应该有三组期望极点，为了计算的方便引入两个 共轭的主导极点 S1、S2和一个远极点 S3。由系统要求的性能指标：超调量 ；乞5%，超调时间tp岂0.5秒，系统频宽b <10。可以计算求得着三个期望极点，具体过程如下。由二阶系统的各项性能指标公式=e、ptp 八1-2b = n(1 - 2 22- 4 2 4 4)式中，和n为此二阶系统的阻尼比和自振频率。可以求得：-由 p=e "亠2 - 5%，可得/二2色2.996，从而有

8、亍-0.69，于是选0.707由tp-0.5s，3T时 >貽9n 0.5 0.707由b乞10和已选的 =得，n - 10，与的结果比较。可以确定° n =9.8。这样，便定出了主导极点 2 一加n = j国1- - 2远极点的实部应为主极点的实部的5倍以上，故选取S3=10QSi 6.93 - j6.936.93 j6.93S3= 1006通过状态反馈法对系统进行极点配置6.1引入状态负反馈K已知能控性判别矩阵为：Qc = b Ab A2b rankQ二 n则1-525Qc = 01-15_0 0 1rank Q 丨=3 二 n 由上式知，因为满秩，原系统是完全能控的。受控系

9、统的特征多项式为：s+500a(s) = det(sl - A) = T0 s+10 0 0-1s二 s(s 5)(s 10)二 s3 15s2 50sa厂 15,a2 二 50,a3 二 0受控系统期望的特征多项式为:a (s 6.93 j6.93)(s 6.93- j6.93)(s-100)二 s3 113.86s2 1392.93s 9605* * *a1 = 113.86;a 1482.05;a3二 9605于是矩阵为：K*IK = a a3*2 一a _ a1'1='9605 1432.0598.86】非奇异变换矩阵P为：10 0P= 'A2b Abb a11

10、 0a!a1112525 5100 01 15051二-7505001510 = 0500_ 5000 _50151_5000-1非奇异变换矩阵P 为：000.02P00.02c10_0.2-0.20于是状态反馈矩阵K为：K 二 Kp T19.8 8.87 192.16.2验证状态负反馈系统的稳定性在原来的开环系统中加入状态反馈可以改变系统的动态性能， 状态反馈环节 的添加如下图4所示：GainGiinlGain?：图4加入状态反馈的系统结构图根据示波器显示观察的图像如图5所示显然看出系统的动态指标不能达到要求，因此还应该调整系统的放大倍数K1来达到稳态性能要求。6.3使用Matlab程序求矩

11、阵KA=-5 0 0;10 -10 0;0 1 0;b=5;0;0;c=0 0 1;pc=-6.93+6.93i,-6.93-6.93i,-100;K=acker(A,b,pc)运行结果为K =19.77208.8690 192.0996 7合理增加比例增益，使系统满足稳态指标将原有闭环传递函数乘以比例增益 K1，对应的闭环传递函数为G(s) =50Ks3 113.86s2 1482.05s 9605所以由要求的跟踪阶跃信号的误差 e 0，有环=0 = ”m 1 _ y(t = lim s 1 一 t sjq l s s s3 113.86s2 1482.05s 9605s3 113.86s2

12、 1482.05s 9605- 50L -lim 1 - G(s) - lims >0s >09605-50Q9605解方程，求得K厂192.1。对上面的初步结果，再用对跟踪速度信号的误差要求来验证，即-1二殴t-y(t八映s侍1lim 1 - G(s) Is；0 s1s2 113.86s 1482.05 ss3 113.86s2 1482.05s 9605s3 + 113.86s2 + 1482.05s=lim 飞2s >0 s3 113.86s2 1482.05s 96051482.059605= 0.154岂 0.2显然满足e,乞0.2的要求，故K 192.1。7.1放

13、大系数改变后系统动态性校验状态反馈改变放大倍数后的仿真图如图 6所示图6放大倍数改变后的状态反馈图示波器的显示图像如图7所示图7闭环系统的阶跃响应曲线7.2控制系统阶跃响应指标图7的局部放大图以及超调量、超调时间、峰值大小如图8所示Step Response0.20.3 O.i O.f O.e C.7C.6Time (Aecond&j1 2Av.图8闭环系统阶跃响应曲线局部放大由仿真图得：匚p = 4.3%乞5% , tp = 0.462s乞0.5s，均满足要求。8设计全维观测器当系统的状态完全能控时，可以通过状态的线性反馈实现极点的任意配置， 但是当系统变量的物理意义有时很不明确，

14、不是都能用物理方法测量的，给状态 反馈的实现造成困难。为此，人们就提出了所谓的状态观测器或状态重构问题， 创造一个新系统，以原系统的输入和输出为输入，输出就是对原系统状态的估计。8.1判断观测器的能观性：根据给定的受控系统，可以写出能观性判定矩阵CQ。= |CA |只需判断其是否满秩rankQ】=n2 IC001rankQ°=rank010=3 =n1-100所以系统完全能观，又因之前以求得系统是完全能控的，所以系统即完全 能控、又完全能观测。因此，系统的极点可以任意配置。8.2计算观测器的反馈矩阵L该设计中系统的极点为：51 6.93- j6.9352 6.93 j6.93S 10

15、0取观测器极点，是观测器的收敛速度是被控系统收敛速度的 3倍。如果仅仅 对闭环极点乘以3,贝U阻尼比和最大超量不变，而系统上升时间和稳定时间将缩 小到原来的13。因此，选择51 二 20.7952 二 20.79 .S = 360假设全维观测器反馈矩阵为：L1L 二 L2期望的特征多项式可以写为：a (s) = (s 360)(s 20.79)2二 s3 401.58s2 15401.02s 155599.2 a* = 401.58,a；二 15401.02,a； = 155599.2实际的特征多项式求解:-51001010L11(A- Lc)= 10-100 -00L21010.00L3-5

16、01-L11二 10 -10L2_ 0 1L3闭环观测器的特征多项式为:s + 50L1a(s)=|sl - A+ Lc;=-10 s+10 L20-1 s+L3二 s3 (15+L3)s2(15L3 L2 50)s 10L, 5L2 50L3ai = 15+L3, a2 = 15L3 L2 50,a3 = 10L5L250L3可以列出等式：I5+L3 =401.5815L3 L2 50 = 15401.0210J +5L2+5OL3 = 155599.2解得：L厂 8850.86L2 二 9552.32.L 386.588.3得到观测器的状态方程-510018850.86InA - LC二

17、10-100 -9552.32 100 11一 010386.58-510-8850.861二 10-10-9552.32_ 01386.58因此观测器状态方程为：L L-X(t)二(A Lc)X(t) bu(t) Ly(t)508850.86 l58850.86=10109552.32 x0u 9553.32y_ 01386.58_0_ 386.58可以写为另一种形式：X(t) = AX(t) bu(t) Ly(t)-y(t)-500 l58850.86二 10-100 X(t)0u(t) 9552.32 y(t) - y(t)_ 010_0_ 386.588.4对所得到的状态方程进行仿真验

18、证由上面计算得出的带观测器状态反馈的闭环系统方框图如图9所示5ID113*51+10Trnipsr FanTnntfwFml InlEgratorSd&PBGairSGainfi1F1FGainlD J10>+1D5 j*5»：+GainSIrlggralxzl1Trarsf=f Fon2TranETronaGdin4Gain?图9带观测器状态反馈的闭环系统方框图8.5用Matlab求解矩阵L同样可以采用Matlab求得所需要的L矩阵：>> A=-5 0 0;10 -10 0;0 1 0;>> b=5;0;0;>> C=0 0 1&g

19、t;> r0=ra nk(obsv(A,C)>> A仁 A'b 仁 C'C 仁b'>> P=-360 -20.79 -20.79;>> K=acker(A1,b1,P);>> L=K'r0 = 3L =1.0e+03 *8.85109.55230.38669在simulink下对经综合后的系统进行仿真分析在simulink 环境下对控制系统进行仿真分析得到图10如下图10带观测器状态反馈的闭环系统阶跃响应曲线检验系统的跟随性能如下图加入示波器各个部分的响应曲线如下图所示其中实线代表原系统，叉号代表加观测器后的曲线，观测器的各状态的阶跃 信号与原状态反馈 系统的信号完全 相同，可 见观测器的 跟随性 能很好。10课程设计心得体会现代控制理论是一门工程理论性强、比较深奥难懂的书目，概念抽象， 计算的部分比较多。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的， 它大量使用矩 阵论中深奥的内容，比如线性变换、子空间等，是分析中最常用的核心的内容， 要深入理解，才能体会其物理意义。另外，有良好的线性代数基础也显得尤为重 要。对于期末大作业，我们组员也是无从下手。通过多方资料查询，一步一步编 写程序，最终完成了这项任务。通过此次课程设计，让我们有机会将现代控制理 论、自动控制原理以及Matlab的相