人教版 垂径定理及其推论【十大题型】

PAGE1专题24.2垂径定理及其推论【十大题型】【人教版】 【题型1由垂径定理及其推论判断正误】 1【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】 2【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】 3【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】 5【题型5利用垂径定理求平行弦问题】 6【题型6利用垂径定理求同心圆问题】 7【题型7垂径定理的实际应用】 8【题型8垂径定理在格点中的运用】 9【题型9利用垂径定理求整点】 11【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】 12【知识点1垂径定理及其推论】（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1由垂径定理及其推论判断正误】【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（）A．AE=BE B．AD=BD C．OE=DE 【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.下面对这两个命题的判断,正确的是A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（

）A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）A．DE=BE B．BCC．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形【题型2根据垂径定理与勾股定理综合求值】【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是（

）

A．3 B．33 C．23 【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为．【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E点，已知⊙O的半径为1，则AE2+CA．1 B．2 C．3 D．4【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），PM【题型3根据垂径定理与全等三角形综合求值】【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB=CD=6，则

A．22 B．32 C．42【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角平分线OP；(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是BD的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找一点P，使四边形ABPD是平行四边形．【题型4在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为42，则aA．4 B．3+2 C．32 【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,0)，点B的坐标是(8,0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为．【变式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点0,10，直线y=kx+2k−4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（

）A．62 B．103 C．8【题型5利用垂径定理求平行弦问题】【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=．【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为．【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；（2）若CD=46，且EF=BF，求弦AB【题型6利用垂径定理求同心圆问题】【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心．（1）求证：AC=BD；（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．【变式6-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末）如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为cm【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A．6 B．42 C．43 【变式6-3】（2023·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是．【题型7垂径定理的实际应用】【例7】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由APB和直角∠ACB围成，且点C也在APB所在的圆上，已知AC=4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP=7m，则该道路的路面宽BC=m；在APB上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是AP的中点，则这两排照明灯离地面的高度是【变式7-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【变式7-3】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，2≈1.414

问题解决：(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）【题型8垂径定理在格点中的运用】【例8】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD=BC；(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再画弦MN的中点G．【变式8-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方形网格交点）A、B、C，其中B2,3，则圆弧所在圆的圆心坐标为【变式8-2】（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是．【变式8-3】（2023·北京·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是cm．（结果保留一位小数）【题型9利用垂径定理求整点】【例9】（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是，⊙C上的整数点有个．【变式9-1】（2023春·全国·九年级统考期中）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，满足线段OP的长为整数的点P有处不同的位置．【变式9-2】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(latticepoint（1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为；（2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过格点．【变式9-3】（2023·湖南邵阳·校联考一模）⊙O的直径为10，弦AB=8，点P为AB上一动点，若OP的值为整数，则满足条件的P点有个．【题型10利用垂径定理求最值或取值范围】【例10】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD的顶点A，C在半径为5的⊙O上，D2,1，当点A在⊙O上运动时，点C也随之运动，则矩形ABCD的对角线AC的最小值为（

A．25 B．10−5 C．10+5【变式10-1】（2023·广东佛山·统考二模）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动