将军饮马问题讲

1、将军饮马问题类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MPPQQN最短 【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MPPQ最短 3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N请问：在什么位置列队(即选择点P和Q)，

2、可以使得将军走的总路程MPPQQN最短? 4. 如图，点M在锐角AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小 5已知MON内有一点P，P关于OM，ON的对称点分别是和，分别交OM, ON于点A、B，已知15，则PAB 的周长为（ ）A. 15 B 7.5 C. 10 D. 246. 已知AOB，试在AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等. 7、已知MON40°，P为MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当PAB的周长取最小值时，求APB的度数. 8. 如图，在四边形ABCD中，A90°

3、，AD4，连接BD，BDCD，ADBC.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为_. 练习1、已知点在直线外，点为直线上的一个动点，探究是否存在一个定点，当点在直线上运动时，点与、两点的距离总相等，如果存在，请作出定点；若不存在，请说明理由2、 如图，在公路的同旁有两个仓库、，现需要建一货物中转站，要求到、两仓库的距离和最短，这个中转站应建在公路旁的哪个位置比较合理？ 3、 已知：、两点在直线的同侧， 在上求作一点，使得最小 4、如图，正方形中，是上的一点，且，是上的一动点，求的最小值与最大值 5、如图，已知AOB内有一点P，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得PEF的周长最小。试画出图

4、形，并说明理由。6、如图，直角坐标系中有两点A、B,在坐标轴上找两点C、D,使得四边形ABCD的周长最小。.A. B7、如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？8、,当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值.9、在平面直角坐标系中，A(1，-3)、B(4，-1)、P(a,0)、N(a+2,0),当四边形PABN的周长最小时，求a的值.10、如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，D=120°，点E、F是底边AD与BC的中点，连接EF，在线段EF上找一点P，使BP+AP最短 练

5、习1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A等边三角形 B矩形 C等腰梯形 D平行四边形3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是4、在等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图甲）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过

6、程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )(A)对应点连线与对称轴垂直 (B)对应点连线被对称轴平分(C)对应点连线被对称轴垂直平分 (D)对应点连线互相平行6、对右图的对称性表述，正确的是（ ）A 轴对称图形 B中心对称图形 C既是轴对称图形又是中心对称图形 D既不是轴对称图形又不是中心对称图形7、如图，ABC是由ABC经过变换得到的，则这个变换过程是（A）平移（B）轴对称 （C）旋转 （D）平移后再轴对称CBABBCABCC8、如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于

7、点E（1）记ODE的面积为S，求S关于的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，9、探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.CDBAEO【答案】（1）由题意得B（3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25-a，图1 此时E（2b，0）SOE·CO×2b×1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2图2此时E（3，

8、），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)×1×(52b)·()×3()（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图3由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2，设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股

9、定理知：，S四边形DNEMNE·DH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 10如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为A（0,1），B（-1,1），C（-1,3）。（1）画出ABC关于x轴对称的A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）画出ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的A2B2C2，并写出点C2的坐标；，（3）将A2B2C2平移得到 A3B3C3，使点A2的对应点是A3，点B2的对应点是B3 ，点C2的对应点是C3（4，-1），在坐标系中画出 A3B3C3，并写出点A3，B3的坐标。【答案】（1）C1(-1,-3)

10、 (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)11、分别按下列要求解答：（1）在图1中,将ABC先向左平移5个单位,再作关于直线AB的轴对称图形,经两次变换后得到A1B1 C1.画出A1B1C1；（2）在图2中,ABC经变换得到A2B2C2.描述变换过程.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211121110987654321ABCA2B2C20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1211121110987654321ABC【答案】(1) 如图 (2) 将ABC先关于点A作中心对称图形,再向左平移2个单位,得到A2B2C2（变换过程不唯一）12、(1)观察

11、发现 如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P 再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 题18(a)图 题18(b)图 (2)实践运用 如题26(c)图，已知O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值 题18(c)图 题18(d)图 (3)拓展延伸 如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使APB=APD保留作图痕迹，不必写出作法 【答案】解：（1）；（2）如图：作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是的中点，所以AEB=15°，因为B关于CD的对称点E，所以BOE=60°