人员优化分配模型

1、人员优化分配模型摘要本文通过合理假设，在考虑到工程师的结构，工资情况，以及完成项目要求的因素下，把合理分配工程师问题转化为线性规划中的目标函数，与约束条件问题，建立0-1线性规划的数学模型，借助Lingo软件求得所需最优解。模型一：针对问题一，首先我们假设决策变量：安排工程师在时期内完成项目，：没有安排工程师在时期内完成项目，建立目标函数：，利用0-1线性规划确定约束条件，再运用Lingo软件求解，得到最优值为：元，最优方案：，。模型二：针对问题二，在模型一的基础上，只要增加一个约束条件：，同理运用Lingo软件求解，得到最优值为：元，最优方案：，与模型一比较，影响了最优解，使得总费用增加了5

2、400元。模型三：针对问题三，在模型一的基础上，只要增加一个约束条件：，同理运用Lingo软件求解，得到最优值为：，与模型一比较，不会增加费用。最优方案：，。模型四：针对问题四，在模型一的基础上，只要增加一个约束条件：，或，或，同理运用Lingo软件求解，得到最优值为：，与模型一比较，会改变最优解，但不会改变最优值，有3个最优方案。关键词：0-1线性规划 资源优化配置 Lingo软件 决策变量一、 问题重述一个技术管理人员安排一些工程师完成几个计划的项目。项目，分别需要18,12，和30人一月完成。工程师1,2,3和4可以完成这些项目。他们每月的工资分别为3000,3500,3200和3900

3、元。根据信息绘制表格如下。表1项目ABC人数181230表2工程师1234工资3000350032003900根据题目完成以下问题。问题一：求完成所有项目的总费用最少的分配方案。假设工程师每六个月中只能被安排一个项目，所有的项目要求18个月内完成。问题二：假设由于早期工作安排，工程师1在时期2内没有时间，那么完成问题一，是否会影响最优解。问题三：假设由于性格原因，工程师2和3不能一起工作。这会增加多少费用。问题四：如果项目能在6个月内完成，公司会发10000元的奖金，会如何改变最优解。二、 问题分析根据对题目的理解，我们知道问题的求解是在满足每题要求的情况下，要对项目工程师做出合理优化分配方案

4、，使得项目总费用最少，因此我们需要对每一个问题进行分析。2.1问题一的分析：问题一是要求完成所有项目的总费用最小的分配方案。即是求，约束条件有对工作能力的约束（每个工程师每个时期至多被安排一个项目）和对单个项目完成时间的约束（项目，分别需要18、12和30人一月来完成，即需要在3、2、5个时间段内完成）最后在这两个约束条件下求解目标函数。2.2问题二的分析：问题二是要求，假设工程师1在时期2内没有时间，重复（1）的计算，是否会影响最优解，要求解这一问题，只需在问题一的模型上加入一个约束条件：，即是表示工程师1在第二个时期内不参加项目，中的任一个项目。2.3问题三的分析：问题三是假设由于个性冲突

5、，工程师2和3不能同时在一个项目中工作。问他们的个人矛盾是否会对人员的安排带来额外损失。工程师2和3不能同时在一个项目中工作可理解为它们不同时在一个项目中工作，于是只需在问题一的模型基础上增加约束条件： 。2.4问题四的分析：问题四其实就是在问题一的模型的基础上加入约束条件：项目A在六个月内完成，即是项目在一个时间段内完成，这一个时间段可以是第一个时间段也可以是第二个时间段还可以是第三个时间段。已知项目需要18个月一人完成，现要在六个月内则要安排3个工程师来完成。所以约束条件为：此时目标函数变为,加入约束条件建立新的模型，再使用Lingo软件进行求解。三、模型假设（1）假设工程师每六个月中只能

6、被安排一个项目，所有的项目要求18个月内完成。（2）假设这些项目除了有工程师1,2,3,4没有其他人员加入进来。（3）假设项目，可以随时开工，没有先后顺序。（4）假设项目所需要的时间数依次为为（3,2,5），。（5）假设安排的人数能按时完成项目。（6）假设：安排工程师在时期内完成项目，：没有安排工程师在时期内完成项目，其中：，分别表示工程师1,2,3,4 ，根据约束条件，18个月被划分成3个时期，分别表示，三个项目。四、符号定义： 表示工程师在时期内所做项目，或，： 工程师的月工资，： 项目需要的时间数，： 总费用五、模型的建立与求解5.1【模型一】的建立与求解5.1.1目标函数的建立根据题意

7、可知，要求我们制定一个完成所有项目的总费用最小的分配方案。首先我们假设决策变量为：安排工程师在时期内完成项目，：没有安排工程师在时期内完成项目，其中：，分别表示工程师1,2,3,4，根据约束条件，18个月被划分成3个时期，分别表示，三个项目。根据决策变量，以总费用最小建立目标函数。目标函数：根据0-1规划线性函数确定约束条件。约束条件有：、根据工作能力约束：每个人每个时期至多安排一个项目，即，、单个项目完成时间约束：、是否安排工程师在时期内完成项目的约束：安排工程师在时期内完成项目 ：没有安排工程师在时期内完成项目即约束条件为：5.1.2目标函数的求解运用 Lingo软件求解（完整程序及结果见

8、附录1），得出的结果如下：目标函数值：元最优解：，由最优解得出工程师的最优分配方案见下表3:表3 时间段项目第一个时间段第二个时间段第三个时间段工程师4工程师3工程师3工程师2工程师2工程师1、2、3工程师1工程师1由分配方案得出工程师的工资费用见图1：图15.2【模型二】的建立与求解5.2.1目标函数的建立由于早期工作安排，工程师1在时期2内没有时间，因此只需在问题一的模型上增加一个约束条件：即数学模型为：5.2.2目标函数的求解运用 Lingo软件求解（完整程序及结果见附录2），得出的结果如下：目标函数值： 元 最优解：， 与模型一比较，既影响了最优解又影响了最优值，费用增加值为：2034

9、00-19800=5400元。当重新安排工程师1到工期2时的损失不超过5400元时，可以将他的工作重新安排。由最优解得出工程师的最优分配方案见下表4：表4 时间段项目第一个时间段第二个时间段第三个时间段工程师4工程师4工程师3工程师3工程师2工程师1、2、3工程师2工程师1由分配方案得出工程师的工资费用见图2：5.3【模型三】的建立与求解5.3.1目标函数的建立由于性格原因，工程师2和3不能一起工作，因此只需在问题一的模型上增加一个约束条件：即数学模型为：展开式为：5.3.2目标函数的求解运用 Lingo软件求解（完整程序及结果见附录3），得出的结果如下：目标函数值： 元 最优解：， 与模型一

10、比较，不会增加费用。由最优解得出工程师的最优分配方案见下表5：表5 时间段项目第一个时间段第二个时间段第三个时间段工程师4工程师3工程师3工程师2工程师1工程1、3工程师1、2工程师2由分配方案得出工程师的工资费用见表6：表6工程师工程师1工程师2工程师3工程师4工资（元）540006300057600234005.4【模型四】的建立与求解5.4.1目标函数的建立如果项目能在6个月内完成，公司会发10000元的奖金，因此只需在问题一的模型上增加一个约束条件：即是项目在一个时间段内完成，这一个时间段可以是第一个时间段也可以是第二个时间段还可以是第三个时间段。已知项目需要18个月一人完成，现要在六

11、个月内则要安排3个工程师来完成。所以约束条件为：，或，或，即数学模型为：同理，或，可以按照一样的数学模型及展开式（略）。5.4.2目标函数的求解运用 Lingo软件求解（完整程序及结果见附录4,5,6），得出的结果如下：目标函数值： 元 最优解：利用 的解为： 利用的解为： 利用的解为： 与模型一比较，只会改变最优解不会改变最优值。由最优解得出工程师的最优分配方案见如下表7：表7增加约束条件：得出以下分配方案 时间段 项目第一个时间段第二个时间段第三个时间段A工程师1、3、4B工程师2、3C工程师2工程师1、2、3工程师1增加约束条件：得出以下分配方案 时间段项目第一个时间段第二个时间段第三个

12、时间段A工程师1、3工程师1B工程师2、4工程师3C工程师2、3工程师1、2增加约束条件：得出以下分配方案 时间段项目第一个时间段第一个时间段第一个时间段A工程师1、2、3B工程师2、3C工程师1、2、3、4工程师1六、模型评价6.1模型的优点1）本文利用0-1规划模型能直接运用Lingo软件求解，具有一定的实际应用价值。2）利用线性规划的思想来解决人员安排的方案，其方法简便、直观、快捷、可操作性强。3）模型建立的正确及软件的可靠性，可以保证结果的正确性。4）这个模型分析思路简洁，清晰，可以紧密的联系的我们的日常生活中的实际问题，文章有很强的实用性。6.2模型的缺点1）模型假设是理想化的，实际

13、难以实现。2）线性规划模型考虑的因素可能不全面，实际中有些情况没有被考虑到。 3）本文建立模型的方法单一，没有运用多种不同的方法建立模型。七、模型的应用及推广此模型通过的人力资源的调配，从量化的角度推出该项目的总费用最少，利用此模型的方法可以求出所有类似本模型的线性规划模型。1.本模型只是单目标的规划，可以在此基础上增加目标要求，从而建立多目标规划模型，解决更复杂的实际问题。2.规划问题在日常生活中很常见，应用广泛，如产品的生产与销售，水电的输送，人员的安排等模型。以后在涉及此类规划问题时，我们都可以首先考虑用线性函数模型，利用Lingo软件来求解。八、参考文献1姜启源，谢金星，叶俊，数学模型

14、（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2姜启源，叶俊，数学建模，北京：高等教育出版社，2003。3韩中庚，数学建模方法及其运用（第二版），北京：高等教育出版社，2009。4ml,2012,8,27。5赵东方，数学模型与计算，北京：科学技术出版社，2007。6谢金星，薛毅，优化建模与LIDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005。九、附录附录1：min=18000*(x111+x112+x113+x121+x122+x123+x131+x132+x133)+6*3500*(x211+x212+x213+x221+x222+x223+x231+x232+x233)+6*3200*(

15、x311+x312+x313+x321+x322+x323+x331+x332+x333)+6*3900*(x411+x412+x413+x421+x422+x423+x431+x432+x433);x111+x121+x131<=1;x112+x122+x132<=1;x113+x123+x133<=1;x211+x221+x231<=1;x212+x222+x232<=1;x213+x223+x233<=1;x311+x321+x331<=1;x312+x322+x332<=1;x313+x323+x333<=1;x411+x421+x

16、431<=1;x412+x422+x432<=1;x413+x423+x433<=1;x111+x211+x311+x411+x112+x212+x312+x412+x113+x213+x313+x413>=3;x121+x221+x321+x421+x122+x222+x322+x422+x123+x223+x323+x423>=2;x131+x231+x331+x431+x132+x232+x332+x432+x133+x233+x333+x433>=5;endint 36Global optimal solution found. Objective

17、value: 198000.0 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 22 Variable Value Reduced Cost X111 0.000000 0.000000 X112 0.000000 0.000000 X113 0.000000 0.000000 X121 0.000000 0.000000 X122 0.000000 0.000000 X123 0.000000 0.000000 X131 1.000000 0.000000 X132 1.000000 0.000000 X133 1.000000 0.00

18、0000 X211 0.000000 0.000000 X212 0.000000 0.000000 X213 0.000000 0.000000 X221 0.000000 0.000000 X222 1.000000 0.000000 X223 1.000000 0.000000 X231 1.000000 0.000000 X232 0.000000 0.000000 X233 0.000000 0.000000 X311 0.000000 0.000000 X312 1.000000 0.000000 X313 1.000000 0.000000 X321 0.000000 0.000

19、000 X322 0.000000 0.000000 X323 0.000000 0.000000 X331 1.000000 0.000000 X332 0.000000 0.000000 X333 0.000000 0.000000 X411 1.000000 0.000000 X412 0.000000 0.000000 X413 0.000000 0.000000 X421 0.000000 0.000000 X422 0.000000 0.000000 X423 0.000000 0.000000 X431 0.000000 0.000000 X432 0.000000 0.0000

20、00 X433 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 198000.0 -1.000000 2 0.000000 5400.000 3 0.000000 5400.000 4 0.000000 5400.000 5 0.000000 2400.000 6 0.000000 2400.000 7 0.000000 2400.000 8 0.000000 4200.000 9 0.000000 4200.000 10 0.000000 4200.000 11 0.000000 0.000000 12 1.000000 0.00000

21、0 13 1.000000 0.000000 14 0.000000 -23400.00 15 0.000000 -23400.00 16 0.000000 -23400.00附录2min=18000*(x111+x112+x113+x121+x122+x123+x131+x132+x133)+6*3500*(x211+x212+x213+x221+x222+x223+x231+x232+x233)+6*3200*(x311+x312+x313+x321+x322+x323+x331+x332+x333)+6*3900*(x411+x412+x413+x421+x422+x423+x431+x

22、432+x433);x111+x121+x131<=1;x112+x122+x132<=1;x113+x123+x133<=1;x211+x221+x231<=1;x212+x222+x232<=1;x213+x223+x233<=1;x311+x321+x331<=1;x312+x322+x332<=1;x313+x323+x333<=1;x411+x421+x431<=1;x412+x422+x432<=1;x413+x423+x433<=1;x111+x211+x311+x411+x112+x212+x312+x41

23、2+x113+x213+x313+x413=3;x121+x221+x321+x421+x122+x222+x322+x422+x123+x223+x323+x423=2;x131+x231+x331+x431+x132+x232+x332+x432+x133+x233+x333+x433=5;x112=0;x122=0;x132=0;endint 36 Global optimal solution found. Objective value: 203400.0 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 22 Variable V

24、alue Reduced Cost X111 0.000000 0.000000 X112 0.000000 0.000000 X113 0.000000 0.000000 X121 0.000000 0.000000 X122 0.000000 0.000000 X123 0.000000 0.000000 X131 1.000000 0.000000 X132 0.000000 0.000000 X133 1.000000 0.000000 X211 0.000000 0.000000 X212 0.000000 0.000000 X213 0.000000 0.000000 X221 0

25、.000000 0.000000 X222 0.000000 0.000000 X223 1.000000 0.000000 X231 1.000000 0.000000 X232 1.000000 0.000000 X233 0.000000 0.000000 X311 0.000000 0.000000 X312 0.000000 0.000000 X313 1.000000 0.000000 X321 0.000000 0.000000 X322 1.000000 0.000000 X323 0.000000 0.000000 X331 1.000000 0.000000 X332 0.

26、000000 0.000000 X333 0.000000 0.000000 X411 1.000000 0.000000 X412 1.000000 0.000000 X413 0.000000 0.000000 X421 0.000000 0.000000 X422 0.000000 0.000000 X423 0.000000 0.000000 X431 0.000000 0.000000 X432 0.000000 0.000000 X433 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 203400.0 -1.000000 2

27、 0.000000 5400.000 3 1.000000 0.000000 4 0.000000 5400.000 5 0.000000 2400.000 6 0.000000 2400.000 7 0.000000 2400.000 8 0.000000 4200.000 9 0.000000 4200.000 10 0.000000 4200.000 11 0.000000 0.000000 12 0.000000 0.000000 13 1.000000 0.000000 14 0.000000 -23400.00 15 0.000000 -23400.00 16 0.000000 -

28、23400.00 17 0.000000 5400.000 18 0.000000 5400.000 19 0.000000 5400.000附录3min=18000*(x111+x112+x113+x121+x122+x123+x131+x132+x133)+6*3500*(x211+x212+x213+x221+x222+x223+x231+x232+x233)+6*3200*(x311+x312+x313+x321+x322+x323+x331+x332+x333)+6*3900*(x411+x412+x413+x421+x422+x423+x431+x432+x433);x111+x1

29、21+x131<=1;x112+x122+x132<=1;x113+x123+x133<=1;x211+x221+x231<=1;x212+x222+x232<=1;x213+x223+x233<=1;x311+x321+x331<=1;x312+x322+x332<=1;x313+x323+x333<=1;x411+x421+x431<=1;x412+x422+x432<=1;x413+x423+x433<=1;x111+x211+x311+x411+x112+x212+x312+x412+x113+x213+x313+

30、x413>=3;x121+x221+x321+x421+x122+x222+x322+x422+x123+x223+x323+x423>=2;x131+x231+x331+x431+x132+x232+x332+x432+x133+x233+x333+x433>=5;x211+x311<=1;x212+x312<=1;x213+x313<=1;x221+x321<=1;x222+x322<=1;x223+x323<=1;x231+x331<=1;x232+x332<=1;x233+x333<=1;endint 36Glob

31、al optimal solution found. Objective value: 198000.0 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 23 Variable Value Reduced Cost X111 0.000000 0.000000 X112 0.000000 0.000000 X113 0.000000 0.000000 X121 0.000000 0.000000 X122 0.000000 0.000000 X123 1.000000 0.000000 X131 1.000000 0.000000 X132

32、 1.000000 0.000000 X133 0.000000 0.000000 X211 0.000000 0.000000 X212 0.000000 0.000000 X213 0.000000 0.000000 X221 1.000000 0.000000 X222 0.000000 0.000000 X223 0.000000 0.000000 X231 0.000000 0.000000 X232 1.000000 0.000000 X233 1.000000 0.000000 X311 0.000000 0.000000 X312 1.000000 0.000000 X313 1.000000 0.000000 X321 0.000000 0.000000 X322 0.000000 0.000000 X323 0.000000 0.000000 X331 1.000000 0.000000 X332 0.000000 0.000000 X333 0.000000 0.000000 X411 1.000000 0.000000 X412 0.000