二阶非齐次线性微分方程的解法研究

1、引言 数学分析中所研究的函数，就是指自变量与因变量之间的一种关系。但在实际问题中，往往很难找到自变量与因变量之间的直接联系（即函数关系），反而比较容易从其变化过程中求出自变量，因变量及它们的导数或微分的关系式。这种联系着自变量、未知函数及它们的导数或微分的关系式，称之为微分方程。 微分方程特别是线性微分方程在实际问题中有着广泛的应用。本文除简洁介绍n阶线性微分方程的主要基本理论外，着重对二阶常系数线性微分方程的解法进行研究。1 线性微分方程的基本理论与初等解法1.1 基本理论 （1.1） （1.2）方程（1.1）称为n阶非齐次线性微分方程，方程（1.2）称为n阶齐次线性微分方程。下面给出方程（

2、1.1）和（1.2）的解的性质和结构。定理1（齐线性方程解的叠加原理） 如果是方程（1.2）的n个解，则它们的线性组合也是方程（1.2）的解。其中是任意的常数。定理2（1.2）的通解结构定理） 如果是方程（1.2）的n个线性无关的解，则方程（1.2）的通解可表示为： （1.3）其中是任意的常数，且（1.3）包括了方程（1.2）的所有解。定理3（非齐线性方程解的叠加原理）如果是方程的解，而是方程的解，则也是方程的解。定理4（1.1）的通解结构定理） 如果是方程（1.2）的基本解组，而是方程（1.1）的某一解，则方程（1.1）的通解可表示为： （1.4）其中是任意的常数，且（1.4）包括了方程（1

3、.1）的所有解。1.2 初等解法假设方程（1.1）和（1.2）中的所有系数都是常数，即 （1.5） （1.6）方程（1.5）称为n阶常系数非齐次线性方程，方程（1.6）称为n阶常系数齐次线性方程。1.2.1 齐线性方程的初等解法 常系数齐线性方程对于常系数齐线性方程（1.6）的求解，关键在于找出它的基本解组，即n个线性无关解。参照一阶常系数齐线性方程的求解，对于方程（1.6）我们也试求其形如x=的解，其中为待定常数，将其代入方程（1.6）得：由于对于t，都有，则： （1.7）式（1.7）称为方程（1.6）的特征方程。而方程（1.6）的解的形式将由式（1.7）的特征根决定。这就是所谓的欧拉待定指

4、数函数法。例1. 求解方程解：特征方程 特征根 故所求通解为，其中为任意常数例2. 求解方程解：特征方程 特征根 （二重根）故所求通解为, 其中为任意常数 欧拉方程所谓欧拉方程就是指如下特殊的变系数方程： （1.8）经变换，则： （1.9）方程（1.9）有形如y=的解，则方程（1.8）有形如的解，将代入（1.8），得特征方程： （1.10）至此，对于方程（1.8）的求解方法可参照方程（1.6）的求解1.2.2 非齐线性方程的初等解法 常数变易法 在求解一阶非齐线性方程的通解时，我们使用了常数变易法，这一方法同样适用于求解非齐线性方程（1.1）。其具体方法与步骤如下：1）写出方程（1.2）的通解

5、：2）常数变易，即令 （1.11）3）把（1.11）及其一阶到n阶导数（在附加了n-1个条件 ）代入方程（1.1）,可得个确定的方程组（A）：（A）解方程组（A）得,4）逐个积分，得5）写出方程（1.1）的通解： =, 为任意常数例3. 求方程于域的通解解：对应齐线性方程 解之得 ，A，B为任意常数易知基本解组为 1，原方程可改写为 (*)则运用常数变易法，令代入上式(*)得 解得 故原方程的通解为 为任意常数 比较系数法现在讨论常系数非齐线性方程（1.5） （1.5）的求特解问题事实上，当方程（1.5）的非齐次项具有某些特殊形状时，可采用一种简便有效的求特解方法比较系数法。类型设，其中及为实

6、常数，那么方程（1.5）有特解：，其中k为特征根的重数，而为待定常数，可通过比较系数法来确定。类型设，其中为常数，为带实系数的m次（或不超过m次）多项式，则方程（1.5）有特解：， 其中k为特征根的重数,而为待定的带实系数的m次多项式，可通过比较系数法来确定。例4. 求的通解解：特征方程 特征根 则对应齐线性方程通解为是特征根，取k=1 原方程有特解，代入原方程，得 特解为 故原方程的通解为, 为任意常数例5. 求的通解解：特征方程 特征根 则对应齐线性方程通解为 不是特征根，故取k=0 原方程有特解，代入原方程，得 则 解得 故特解为 故原方程的通解为 其中为任意常数至此，关于方程（1.5）

7、的求解大体可分为两大步骤： 1）先求出对应齐线性方程的基本解组；2）根据的具体情况，运用比较系数法，求出特解，随后组合便得方程（1.5）的通解。2 二阶常系数非齐线性微分方程的解法研究 线性微分方程的理论研究已比较完善，应用范围也很广泛，特别是二阶常系数线性微分方程在力学、电工学等方面应用最广泛。根据前面的知识，我们知道对于二阶常系数非齐线性方程的求解，可分为两大步骤：一是求出对应二阶常系数齐线性方程的通解；二是求解出二阶常系数非齐线性方程的一个特解，随后组合便得非齐线性方程的通解。二阶常系数非齐线性方程 （2.1）二阶常系数齐线性方程 （2.2） 2.1 特解的解法研究求解齐线性方程（2.2

8、）的方法已经趋于完善，因此求得方程（2.1）的一个特解便成为求解方程（2.1）的关键。下面介绍几种求特解的方法。2.1.1 升阶法对于方程 （2.1） 当为多项式时，设，此时方程（2.1）两边同时对x求导n次，得显然，方程（2.1）的解存在，且满足上述方程。最后一个方程的一个明显解（不妨设时，情况类似）是： .此时，由通过倒数第二个方程可得 ，依次往上推，一直推到（2.1），即可得方程（2.1）的一个特解。上面这种方法称为升阶法。此种方法比一般教科书所介绍的比较系数法更为简便。下面举几个例子来探讨比较一下。例1. 求方程 （1）的一个特解解：方程（1）两边同时对x求导，得 （2）方程（2）两边

9、同时对x求导，得令将其代入（2），得，再将其代入（1），得 因此方程（1）的一个特解为例2. 求方程 （3）的一个特解 解：方程（3）两边同时对x求导，得 （4）方程（4）两边同时对x求导，得令，将其代入（4）得 再将其代入（3），得 得，解得 故方程（3）的一个特解为当时，令，则代入方程（3），经整理得 这样，类型就可转变为类型。从这里可以看出，升阶法不需要讨论是否为特征根的问题。因此，求解问题的过程得以简化。例3. 求方程 （5）的一个特解解：令则方程（5）可化为 （6）利用方法，方程（6）两边同时对x求导，得 （7） 令 再将代入（6），得 解之得方程（6）的一个特解为 因此方程（5）的

10、一个特解为 当为正弦函数或余弦函数时，我们首先将其转化为复指数的形式，然后按的方法进行求解。例4. 求方程 （8）的一个特解解：以方程（8）的非齐次项为虚部作复指数，作方程 （9）令，再利用方法，可求得 因此方程（9）的特解为 故方程（8）的一个特解为当为多项式、指数函数、正弦函数或余弦函数某种组合时，这时可根据迭加原理进行求解。例5 求方程 （10）的一个特解解：方程（10）的右端由两项组成，故根据迭加原理，可先分别求下列两个方程 （11） （12） 的特解，而这两个特解之和即为方程（10）的一个特解由方法，可求得（11）的特解为由方法，可求得（12）的特解为因此方程（10）的一个特解为 公

11、式法对于方程（2.1），当为某些特殊形式时，可采用比较系数法求特解，具有一定局限性。下面介绍当特征根且无论为何种形式的情况下的特解公式。定理5 设二阶常系数非齐线性方程 （2.1）且该微分方程的特征根（实根或虚根）为，构造两个一阶线性微分方程： 且设它们的特解分别为，若，则方程（2.1）有特解 证明：因为的根 故 显然 且 而的左端= + 设则 这样的左端故为方程（2.1）的一个特解例1. 求方程 的一个特解解：特征方程 特征根 构造微分方程 ， 由一阶微分方程通解公式，可得上两方程的特解分别为 ， 故原方程的特解为例2. 求方程的一个特解 解：特征方程 特征根 ， 构造微分方程 由一阶微分方

12、程通解公式，可得上两方程的特解分别为 故原方程的特解为 积分法对于方程 （2.1） （2.2） 定理6 设 是方程（2.2）的一个非零解，上连续，则 就是方程（2.1）在区间0，x上的一个特解。证明： 利用参变量积分的求导公式，得 故是方程（2.1）的一个特解，证毕 符合的一个齐次方程非零解可以和特征值被解出而同时得到。设是两个特征值，可以这样选：例1. 求的一个特解解：特征方程 特征根 故取 故特解为 例2. 求的一个特解解：特征方程 特征根 故取 故特解为 2.2 通解的解法研究 从上面所学的知识，我们知道对于方程（2.1）的求解，一般情况下要分两步来完成，其过程繁琐，计算量大，易出错。现

13、在我们尝试两步并一步走，直接探寻方程（2.1）的通解公式。 公式法 设方程（2.1）对应的齐次方程的特征根为，连续，由韦达定理，从而可化为：，即，则解方程组得故方程（2.1）的通解为由此可得：定理7 若对应的齐次方程的特征根为（包括共轭复根），则方程的通解可表示为： （定理证明参考文献11）推论 若相应的特征方程有两个相同的实根，则方程的通解为.例1. 求解方程解：特征方程 特征根 由定理7得，所求通解为 例2. 求解方程解：特征方程 特征根 作辅助方程 故所求辅助方程的通解为： 故所求通解利用定理7，在某些特殊情况（当积分为可积时），可求得通解，但须进行二次积分，有一定局限性。我们不妨利用该

14、通解公式，令积分常数均为0，即得原方程的一个特解，然后根据非齐次方程的通解结构求出通解。定理8 若对应齐次方程特征根（1）当时，原方程特解为特别地，当且为共轭复根时，特解（2）当时，原方程特解为 （定理证明参考文献11，12）例3. 求的通解解：特征方程 特征根 由定理8，原方程有特解：， 取故所求通解为： ，为任意常数例4. 求的通解解：特征方程 特征根 定理8，由原方程有特解： 故所求通解为例5. 求的通解解：特征方程 特征根 定理8，由原方程有特解： = = 故所求通解为 常数变易法通过对常微分方程的学习，我们知道常数变易法广泛应用于非齐次线性微分方程的求解。下面将常数变易法应用于二阶常

15、系数线性微分方程的求解，同样适用有效，简捷。对于方程 （2.1） （2.2）对方程（2.2）的特征方程 （2.3）有实根和复根的情形分别加以考虑：若r为方程（2.3）的一实根，则是（2.2）的一解，由常数变易法，可设（2.1）的解为，则， （2.4）将（2.4）和代入（2.1），得，这是关于的一阶线性方程，其通解为，从而方程（2.1）的通解公式为 （2.5）若为（2.3）的一复根，则是方程（2.2）的一解，由常数变易法，可设（2.1）的解为，与情形的推导类似，可得方程（2.1）的通解公式为： （2.6）例1. 求的通解解：特征方程 有解 ，且由公式（2.5），得通解为： 例2. 求的通解解：特

16、征方程 有解 ，且由公式（2.6），得通解为： =结束语本文对教科书上有关线性微分方程的求解方法进行了一些总结，并在此基础上，尝试运用几种新的方法去探寻方程的特解，同时介绍了求方程通解的新方法。文中所介绍的这些方法为我们求解微分方程提供了新的思路和途径，具有一定参考意义。参考文献1 王高雄等. 常微分方程M. 北京：高等教育出版社,1983.2 林武忠等. 常微分方程M. 北京：科学出版社. 2003.3 梅宏. 常系数非齐次线性微分方程特解的一种方法升阶法J. 高等数研究.2003.6（2）：22-23.4 朱灵. 用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解J. 高等数学研究.2002.5 黄

17、兰德. 常系数非齐次线性微分方程特解求法的改进. 工科数学. 1994.（02）6 季红蕾. 求特解的一种新方法J. 盐城工学院学报.1999.9（3）：32-33.7 汤光宋. 某类二阶常系数非齐次线性微分方程特解的简捷求法J. 南都学坛.1994.（06）.8 吴晓平. 二阶常系数非齐次线性微分方程一特解的积分求法J. 工科数学.1996.6（2）：123-124.9 秦军. 二阶常系数非齐次线性微分方程特解的一些求法J. 皖西学院学报.2005. 10 王德利. 常系数非齐次线性微分方程的解法研究J. 湖北民族学院学报自然科学版. 1995.4（2）：26-28.11 梁俊奇，王庆东.