全国高中数学联赛吉林赛区预赛题及答案

1、2015年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨2015年吉林省高中数学联赛试题及参考答案一、选择题1已知 ，则（ ）A B C D2“实数依次成等差数列”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3若方程在内有解，则的图象可能是（ ）4已知向量的夹角为，且，则（ ）A. B. C. D. 5已知，若对任意的有恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D6函数在上存在最大值，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题 7四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，则四棱锥的外接球的表面积为 _ _. 8设数列的前项和为,且则数列的通项公式为_ _ _ 9

2、已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为 _ _10 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段上的一点，二面角与二面角的大小相等，则的长为_ _11从中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如，则这样的四位数共有_个12非空集合，当时，目标函数既存在最大值，又存在最小值，则实数的取值范围是_ _三、解答题 13在中，内角对边的边长分别是，已知，（）求的周长的最大值；（）若，求的面积14已知椭圆，直线交椭圆于两点，且，判断直线与圆的位置关系，并给出证明.15已知不等式对任意的均成立，求实数的取值范围16已知，设实数满足：（1）、且不全为；（2）、；（3）、若，则（）如果

3、所有形如和的数均不是的倍数，则称为“好集”求“好集”所含元素个数的最大值参考答案一、选择题1 B 2 A 3 D 4 D 5 B 提示：显然，且，又为增函数且为奇函数，故6 B 提示：考虑到的唯一极大值点为，且，故，解得.二、填空题 7 8 9 1011 提示：分三类：不含0的有个；含0且0只用一次的有个；含0且0用两次的有个，于是共有个12 提示：当时，区域为三角形，显然满足；当时，目标函数分别在边界和上取得最小值和最大值三、解答题 13（）由余弦定理及已知条件得，于是，得，所以的周长的最大值为6，当为等边三角形时取到（）由得，即， 当时，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，所以的面积

4、14当直线的斜率不存在时，由知点的坐标分别为，即直线的方程为，此时直线与圆相交。当直线的斜率存在时，设直线的方程为.由得.设两点的坐标分别为，则，.所以 .从而。圆的半径，其圆心到直线的距离当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交。综上，直线与圆相切或相交。15由已知，对任意的均成立记，其中。当时，（其中）故在上单调增，故，符合题设；当时，若，则，故在上单调减，故，不符合题设综上，16（1）构造一个元“好集” 设若均不为，则，即为奇数，一定不是的倍数若中有，不妨设，则由（1）知中至少有一个不为。由条件（3）知。又，因此一定不是的倍数 显然为奇数，一定不是的倍数综上，为元“好集”（2）设S为一个 “好集”，下面证明设的最小元素为，则中任意两元素的差不为否则设，得为的倍数，矛盾将中大于的元素从大到小每个分为一组，设可分成组，余下的个数（）为，显然，组中的每一组至多有个数在中由“好集”的定义知，且和不同在中我们不妨设，否则只需将中大于的元素换成，理由是若中有某个，则将其中的变为，将变为后得到的数与