勾股定理(公开课)

1、3人教版八年级（下）第十八章人教版八年级（下）第十八章求实南校初二数学组求实南校初二数学组 朱青朱青345 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的的“人人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是宙人是“文明人文明人”，那么他们一定会识别这种语言，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。的。这个事实可以说明勾股定理

2、的重大意义。B BA AC C图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积4 44 48 8S SA A+S+SB B= =S SC C图甲图甲1.1.观察图甲，小方格观察图甲，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面积有什么关系？面积有什么关系？探探索索新新知知A AB BC C2.2.观察图乙，小方格观察图乙，小方格的边长为的边长为1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面积各为多少？面积各为多少？9 916162525正方形正方形A A、B B、C C的的

3、面积有什么关系？面积有什么关系？4 44 48 8A AB BC C图甲图甲 图乙图乙A A的面积的面积B B的面积的面积C C的面积的面积C CS SA A+S+SB B= =S SC CS SA A+S+SB B= =S SC C图甲图甲图乙图乙A AB B图乙图乙S SA A+S+SB B= =S SC CA AB BC CS SA A+S+SB B= =S SC C图甲图甲abcabcC C3.3.猜想猜想a、b、c 之间的关系？之间的关系？a2 +b2 =c2a2 +b2 =c2 如果直角三角形的两直角边长分如果直角三角形的两直角边长分别为别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么

4、 两千多年来，人们对勾股定理的证明两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生颇感兴趣。因为这个定理太贴近人们的生活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，活实际，以致于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此上至帝王总统都愿意探讨它的证明，因此不断涌现新的证法。不断涌现新的证法。证明结论证明结论 请你利用手中的三角形，结合前面的探请你利用手中的三角形，结合前面的探究，也来探讨证明勾股定理的方法吧！究，也来探讨证明勾股定理的方法吧！(4)(2)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2bca(1)(3)2)(baabc2142222babaabc22即

5、即 a2+b2=c2这四个直角这四个直角三角形还能三角形还能怎样拼？怎样拼？ab大正方形的面积该怎样表示大正方形的面积该怎样表示?abcabc2)(baabc2142222babaabc22即即 a2+b2=c2 在在1876年一个周末的傍晚年一个周末的傍晚,美国华盛顿的郊外美国华盛顿的郊外,有一位中年人正在散步有一位中年人正在散步,欣赏黄昏的美景欣赏黄昏的美景,他就是当时他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着他走着走着,突然发现附近突然发现附近的一个小石凳上的一个小石凳上,有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么,时而时

6、而大声争论大声争论,时而小声探讨时而小声探讨.由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去个小孩走去,想搞清楚两个小孩到底在干什么想搞清楚两个小孩到底在干什么,只见一个小男孩只见一个小男孩正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德正俯着身子，用树枝在地上画一个直角三角形，于是伽菲尔德便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：便问，你们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和先生，如果直角三角形的两条直角边分别是和4，那么斜边，那么斜边长为多少呢？长为多少呢？”伽菲尔德答到：伽菲尔德答到：“是呀。是呀

7、。”小男孩又问道：小男孩又问道：“如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边如果两条直角边分别为和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少呢？长又是多少呢？”伽菲尔德不假思索地回答到：伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平那斜边的平方，一定等于方，一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又说道：小男孩又说道：“先生，先生，你能说出其中的道理吗？你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。心探讨小男孩给他留下的难题。

8、“总统总统”证法证法 (a + b)(b + a) = a2 +a2 + b2= c2aabbcc 伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法道理，并给出了简洁的证明方法1876年年4月月1日，伽菲尔德日，伽菲尔德在在新英格兰教育日志新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这

9、一证法称为法称为“总统总统”证法证法。21c2+ 2( )+ ab+ b2= c2abab 2121212121 a2 + b2 = c2a2b2a2c2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法 希腊的著明数学家希腊的著明数学家毕达格拉斯发现了这个毕达格拉斯发现了这个定理，因此世界上许多定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为国家都称勾股定理为“毕达格拉斯毕达格拉斯”定定理为了庆祝这一定理理为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理奉神灵，因此这个定理又有人叫做又有人叫做“百牛定百牛定理理”你知道吗？你知道吗？11勾股树勾股树欣赏欣赏

10、a2 +b2 =c2 如果直角三角形的两直角边如果直角三角形的两直角边长分别为长分别为a，b，斜边长为，斜边长为c，那么，那么注意注意（1）勾股定理反映了直角三角形三边之间的）勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，即已知直角三角形中的任意两边的数量关系，即已知直角三角形中的任意两边的长度，可求出第三边的长度；长度，可求出第三边的长度；（2）使用勾股定理的前提条件是在直角三角）使用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边。形中，并借助直角明确直角边和斜边。abcABC例例1、在长方形、在长方形ABCD中，宽中，宽AB为为1m，长，长BC为为2m ，求，求AC长长1 m

11、2 mACBD2222125ACABBC 解：在解：在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定由勾股定理可知：理可知：例题讲解例题讲解比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！例例2 2、求、求下列直角三角形中未知边下列直角三角形中未知边的长的长: :8 8x171716162020 x12125 5xx=15x=12x=13例例3 3、在、在 ABC ABC中中, C=90, C=90,AC=6,CB=8,AC=6,CB=8,则则 ABCABC面积为面积为_,_,斜边为上的高为斜边为上的高为_._.244.81、已知、已知ABC的三边分别是的三边分别是a,b,c,若若B=90，则有关系式（则有关

12、系式（ ）BABCabc2 2、判断题、判断题. . (1)(1) ABCABC的两边的两边AB=5,AC=12,AB=5,AC=12,则则BC=13 ( )BC=13 ( )(2)(2) ABCABC的的a=6,=6,b=8,=8,则则c =10 ( ) ( ) 巩固练习巩固练习4 4、湖的两端有、湖的两端有A A、两点，、两点，从从与与A A方向成直角的方向成直角的BCBC方向上的点方向上的点C C测得测得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,则则ABAB为为 ( )( ) 3 3、如图、如图, ,一个高一个高3 3米米, ,宽宽4 4米的米的大门大门, ,需在

13、相对角的顶点间加需在相对角的顶点间加一个加固木条一个加固木条, ,则木条的长为则木条的长为 ( )( )A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米CABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A13当当c是斜边时，是斜边时， 当当b是斜边时，是斜边时， 13或或119、本节课我们经历了怎样的学习过程？、本节课我们经历了怎样的学习过程？经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实再到探索定理，最后学会验

14、证定理及应用定理解决实际问题的过程。际问题的过程。、本节课我们学到了什么？、本节课我们学到了什么？通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还知道从理，还知道从特殊到一般特殊到一般的探索方法及借助于图形的的探索方法及借助于图形的面积来探索、验证数学结论的面积来探索、验证数学结论的数形结合思想数形结合思想。、学了本节课后你有什么感想？、学了本节课后你有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受用数学的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化辉煌历史的教育。到了数学文化辉煌历史的教育。小结小结P62540026xP的面积的面积 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_2515201、2、随堂测试随堂测试3 3、在、在RtRtABCABC中中,C=90C=90,A,A,B,B,CC的对边分别为的对边分别为a,b,c。若若a=8=8